淺談函數與圖像

馬小玲

【摘 要】函數作為高中數學必修課中的重要內容之一，借助圖像來研究其概念、性質是非常有效的一種數學學習方法，同時也凸顯出數形結合思維的重要性。學習函數必須立足于函數的基本概念和基本原理，深入訓練和加強對函數圖像的認識，才能夠做到對高中數學函數題目游刃有余。一旦學生擁有了對函數專題比較自信的習慣，那么對于高中數學的教學而言，就已經成功了一半。本文重點探討高中數學教學過程中，針對函數及其圖像的思考。

【關鍵詞】高中數學；函數；圖像

回顧數學史，我們能夠清晰地看到早在十七世紀的時候就誕生了log以及sin等基本的對數函數和三角函數，在數學長河的發展中，函數一直成為歷代數學家研究和探討的重要對象，因此，高中數學的學習與教學過程中，把握好函數的教授是至關重要的，不僅僅因為函數作為一條重要知識點脈絡貫穿了整個中學數學，還因為學習函數及其圖像，能夠有效地聯系數學各個章節的內容，培養學生良好的數學思維和數學習慣。

一、函數的生活背景

在當下科技日益發展和社會日益進步的時代，我們無時無刻不在面對和應用函數，也許大家并不是十分在意，其實函數在所有人的生活背景中出現并且擔當著非常重要的角色。

當人們炒股的時候，會不斷地查看和分析股票交易圖形，這便是最為基礎的函數圖像；當人們買彩票的時候，也會觀察和討論彩票中獎概率圖，這也是一種函數圖像；當房地產的價格總覽表公布的時候，大家依然會發現這是一幅形狀不規律的函數圖像。各種各樣的圖表更是頻頻映入眼中，出租汽車里程與計價之間就是一種函數關系。還有銀行的存款與利息之間的關系等等，都可見函數的重要社會作用。

其實生活中處處有函數，人們的生活時時刻刻都離不開函數圖像。因此，了解和掌握函數的概念以及原理，借助函數圖像了解函數的性質是中學生必須掌握的一項數學技能。

二、函數的圖像與性質

高中階段學習和研究的函數一般都是初等函數，包括三角函數、反三角函數、冪函數、對數函數等，這些函數的學習過程中，將其圖像畫出并且通過函數圖像來了解其性質，是高中階段函數教學的一個重要特點。教師在教學的過程中往往是讓學生先認識和理解函數解析式，即掌握概念，之后教師要求學生通過描點或者根據函數的特征畫出草圖，最終分析函數的性質。當然有的時候是通過定性分析性質之后，做出準確的圖像。

通過函數圖像我們往往能夠研究函數值y隨著自變量x的變化情況，解決如下幾個問題。

（1）當x增大時函數值增大嗎？

（2）當x在它的變化范圍內變化時，函數值能保持在有限范圍嗎？

（3）函數的圖像是關于y軸或原點對稱嗎？

（4）函數值隨著自變量的變化是周而復始的周期變化嗎？這樣的問題即所謂函數的單調性、有界性、奇偶性、周期性。

三、函數的思想方法

學好函數的精髓就是學會運用函數的思想來思考并解決數學問題，以下總結了幾大類函數的思想方法。

（1）變換與對應的思想。函數總是有三個元素：定義域、自變量和函數，而自變量的變化總會有函數的變化來與其對應，這就是我們強調的變換與對應的思想，因此在研究函數圖像的過程中，一定要注意一一對應關系。

例如求方程log2（x+4）=3x的實根的個數。

一旦畫出y=log2（x+4）與y=3x的圖像，兩圖像的交點數就是實根的個數就會很明顯得到2個。

（2）構造性思想。往往在高中數學解題過程中，我們會強調構造函數的解法，其實當出現一些類似于函數模型的題目的時候，一定要注意運用構造函數的思想來解決，這種方法往往能夠起到事半功倍的效果。

例設四次多項式u=x4+ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c為常數，當x=1，2，3時u的值也相應等于1，2，3當x=4時，u=p，當x=0時，u=q.求：p+q的值。

解： 根據條件特征可以構造函數，y=u-x=x4+ax3+bx2+（c-1）x+d，由于x=1，2，3時，u=1，2，3，則方程u-x=0，

一定有根1，2，3又由于y=u-x是四次多項式，

∴y=（x-1）（x-2）（x-3）（x-r），

由y=4時u=p得 p-4=24-6r

由x=0時，u=q

解得 q=6r故得p+q=28.

（3）數形結合思想。對函數的研究不僅僅通過解析式，也能通過圖像來考慮。例如，用畫函數圖像的方法解不等式：

-2x+3<3x-7.

由一次函數與一元一次不等式的關系可先將其化為一般形式，再畫圖求解。也可以將-2x+3與3x-7.看作是兩個關于x的一次函數即y1=-2x+3，y2=3x-7，

于是不等式的解集即對應著y10，畫出直線y=5x-10，可以看出x>2時這條直線上的點在x軸上方。即這時y=5x-10>0，所以不等式的解集為{x│x>2}.

函數是高中數學中很重要的一部分內容，它實用且貫穿性強，通過函數的學習可以滲透和貫穿到學習數、式、方程、不等式、數列等其他高中數學基礎知識。本文在筆者教授高中數學的實踐中總結的些許經驗，也許對于函數的各個方面的研究還不夠全面，希望廣大同仁們能夠在授課之余多多總結互相探討。

參考文獻：

[1]張景斌.中學數學教學教程[M].北京科學出版社.2000.23-25

[2]梁嘉華、汪明漢.函數·極限·函數的連續性[M].陜西：山西人民出版社，1984.55-57

[3]M克萊因.古今數學思想（1-4冊）[M].上海科學技術出版.1979-1981.75-80