數學美與數學教學

謝兆珍

【摘要】美是我們人類一直以來所追求的，然而在我們身邊有許多被忽略或被遺忘的，非常美的。其中數學美是現(xiàn)實生活中美的源泉，數學蘊含著數學知識的美，數學思維的美，數學方法的美等。當我們把這些美結合到數學教學中，能陶冶學生的情操，提高學生對數學的學習興趣，從學習數學中得到一個美的過程：發(fā)現(xiàn)美—鑒賞美—創(chuàng)造美。

【關鍵詞】數學美；思維美；方法美；數學教學

學生對數學的態(tài)度有驚人的差異，這很大程度上歸因于對數學美的領悟和鑒賞。數學美是一種極其嚴肅、雅致和含蓄的美，學生受到基礎知識和審美能力的限制，并不都具有理想的鑒賞能力。因此，喚醒他們對數學的美好情感，倡導對數學美的崇尚是數學教育的任務之一。

一、數學知識的結構美與教學

數學基礎知識主要包括數學概念、命題、法則以及內容所反映出來的數學思想方法。數學知識的和諧美和簡練美是數學知識結構美的兩個主要方面。

數學知識的和諧美是數學的普遍形式。教學時，教師不但要對這種美有較深刻的領悟，且要能藝術地表現(xiàn)出來。例如，在推導橢圓的標準方程時，由定義“到兩定點(c,0)和(-c,0)距離之和為定長2a的點的軌跡” 可直接寫出方程：。這個方程能正確地表達橢圓的代數形式，但比較復雜，更不便于計算，故化簡整理成。方程中的b開始似乎純粹是為了追求方程的和諧美而引進的，但在研究橢圓性質時，可進一步發(fā)現(xiàn)a、b恰好為橢圓的長、短半軸長，b竟有鮮明的幾何解釋。人們內心世界所追求的美恰好在外部世界得到如此完美的表現(xiàn)，這實際上也體現(xiàn)了美與美之間和諧的統(tǒng)一。教師在推導過程中的示范，喚醒了學生的審美意識，學生也進入到美的境界，得到美的享受。在此基礎上，讓學生根據定義畫出橢圓，且要求他們用生動形象的數學語言表達自己的思維活動。這樣，再讓學生感受和體驗美的同時，激勵他們創(chuàng)造美，使數學美在教學中的作用發(fā)揮得淋漓盡致。

數學知識的簡練美是數學的主要藝術特色。事實上，對簡練美的追求是數學研究的一部分，它促進了數學理論的發(fā)展，也有益于知識的系統(tǒng)化。而數學知識的系統(tǒng)性，成為知識發(fā)展的主要特點：數學內容的發(fā)生和發(fā)展都是與它的知識點的形成分不開的，若干個知識點之間的聯(lián)系，既具有縱向的順序性，又具有橫向的層次性。

二、數學思維的協(xié)同美與教學

數學思維是人腦和數學對象交互作用并按一般的思維規(guī)律認識數學規(guī)律的過程。數學思維的協(xié)同美大體上可從以下兩個方面表現(xiàn)出來。

歸納和演繹的相互作用。數學中大量地需要歸納，同時也需要演繹，在許多情況下兩者互為作用的。在數學教學中，總是既用歸納又用演繹。盡管兩者有各自不同的特點，但演繹推理的大前提——表示一般原理的全稱判斷要靠歸納推理來提供。為了增強歸納推理的可靠性，不管是以一般原理作指導還是對歸納推理的前提進行分析，都要用演繹推理。歸納和演繹在思維運行過程中這種辯證統(tǒng)一正體現(xiàn)了兩者之間是交互為用的。

在小學數學中，限于兒童的認知水平，數學知識的出現(xiàn)，較多地依賴于直觀、實驗和歸納，適當地進行演繹，以不斷提高學生的邏輯推理能力。例如加法交換律，最早出現(xiàn)在一年級，顯然不可能進行演繹論證，只能通過計算實踐，由8+5=13,5+8=13等歸納出加法交換律，但在對加法交換律的反復應用中又讓學生領會演繹思想，因此，在教學中要貫徹“歸納與演繹交互為用”的原則。

形式邏輯與辯證邏輯的并重和統(tǒng)一。一方面，數學中大量存在相對穩(wěn)定的狀態(tài)，我們能用形式邏輯思維的方法進行分析和研究數學對象。另一方面，也存在顯著的運動狀態(tài)，如有限與無限的相互轉化，代數、幾何、三角各學科之間的轉化以及數學各種相關運算方法的發(fā)展與對立統(tǒng)一等，故能用辯證思維的方法認識數學概念的形成和關系的不斷發(fā)展變化。因此，在教學時要貫徹形式邏輯思維與辯證邏輯思維并重和統(tǒng)一的原則，發(fā)展學生的數學思維能力。以數學概念教學為例，按形式邏輯思維規(guī)律，對于每一個數學概念的認識要前后一致，而且不容許存在不相容。如果存在著兩個互相排斥的認識，那么其中必有一真一假，概念數學必須遵循上述邏輯規(guī)則進行。但同時也應指出，用運動和發(fā)展的觀點來思考，數學概念也是隨著學生學習的數學知識的結構的發(fā)展而發(fā)展的。許多對立的概念可以統(tǒng)一起來（如實數和虛數同處于復數中），一個概念在不同的場合或不同的條件下可能有不同的認識（如三角函數的概念，最初學習的是銳角的正弦、余弦、正切和余切，被理解為直角三角形中一個銳角的對邊比斜邊、鄰邊比斜邊、對邊比鄰邊和鄰邊比對邊，以后發(fā)展到任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割）。我們知道，數學的發(fā)展歸根到底是數學概念的不斷發(fā)展，這種發(fā)展又有自身的規(guī)律。人們常說的概念是在發(fā)展中形成，而且又是在形成后不斷發(fā)展的，所以一個數學概念具有確定性和靈活性兩個特點。就像“乘法”這個概念在整數和分數中具有不同的數學含義一樣。正如列寧所說“所有的定義都只有有條件的、相對的意義，永遠也不能包括充分發(fā)展的現(xiàn)象的各方面聯(lián)系”。這正是辯證邏輯思維在數學中的體現(xiàn)，與形成邏輯思維相比更高一級。

三、數學方法的奇異美與教學

恩格斯認為，數學是一門研究思想事物的抽象的科學。確實，數學具有兩重屬性，這兩重性可簡單地概括為：一是數學知識，二是數學思想方法。而數學方法是數學中最本質的東西，數學方法的奇異美常常成為產生新思想、新方法和新理論的起點，使規(guī)律化、程式化的世界出現(xiàn)意外的、帶有獨創(chuàng)性的成果，令人興奮和激動。

如：“凸n(n＞4)邊形的對角線最多有幾個交點？”這個問題，按照習慣，也許會從四邊形開始，逐步通過五邊形、六邊形……來構造對角線的交點，從中歸納出一般規(guī)律。當一次次構造的嘗試都未獲得理想的結果時，我們要敢于放棄傳統(tǒng)方法，另辟蹊徑：一個交點是由兩條對角線相交而成，兩條對角線由四個頂點確定，而凸n邊形任意四個頂點都能且只能確定一個交點，于是問題就轉化為“在n個頂點中任意取四個，共有幾種取法？”新穎的方法帶來了意想不到的效果，這便是化歸法的奇異美所在。我們在傳授數學知識的同時，更應注重數學方法的滲透，要求學生掌握方法的同時，能構造出解題模式，使數學美得到升華。

數和形是數學中最基本的兩大概念，是數學研究的兩個重要側面，所以數形結合法是數學研究的重要思想方法。教學時，可利用數形結合來啟發(fā)學生的直覺思維。

綜上所述，數學正如羅素所說：“數學，如果正確地看它，不但擁有真理，而且有至高的美。”在數學教學中，要充分挖掘數學美的因素，引導學生對美的追求，使他們擺脫“苦學”的束縛，走入“樂學”的天地。