探討外積法在求解平面法向量中的應用

林自強

【摘要】立體幾何中的平面法向量的求解方法多樣，外積法就是其中的一種.利用外積法求解法向量比內積法更具優越性，此方法的引入，將對高考立體幾何中求二面角大小、證明垂直、求空間距離等變得更為輕松，特別是求二面角的平面角方面.本文通過求解有關二面角的例子重點探討外積法求平面法向量的應用，為一線教師對學生的輔導和考生備考提供一定的參考價值.

【關鍵詞】外積；平面法向量；二面角；應用

一、引言

本文緣于筆者一學生的習作.在批改學生的習作時發現學生采用了外積法在求解平面法向量，新的方法打破了常規解題的思維，為求平面法向量另辟蹊徑.縱觀近幾年的高考數學真題，立體幾何以其獨具的“姿色”占有12分值，若是方法過于拘泥，該題得分將會大打折扣！應用外積法求解法向量避免內積法的三元一次方程的求解過程中的風險，達到避繁就簡的功效.

二、有關定義與定理

為了進一步認識外積法，下面引入兩個有關的定義以及一個定理.

定義1如果向量a⊥α（如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作a⊥α），那么向量a叫做平面α的法向量.

圖1

定義2兩個非零向量a與b的外積指的是一個向量，記為a×b，它的模（長度）是|a×b|=|a||b|sin〈a，b〉，它的方向與a，b均垂直，且按a，b，a×b的順序構成右手系［O；a，b，a×b］（圖1）.如果a，b中有一個是零向量，規定a×b＝0.向量的外積也稱為向量積或矢量積.

定理設［O；i,j,k］是一個右手直角坐標系，在這個坐標系下向量a，b的坐標分別是(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)，那么，向量a×b的坐標是(y1z2-y2z1，z1x2-z2x1，x1y2-x2y1)，或y1z1

y2z2,z1x1

z2x2，x1y1

x2y2 .

為了便于記憶，我們可以把這個結果形式寫成：

a×b=ijk

x1y1z1

x2y2z2 .

證明略.

（注：對外積坐標更好地理解，引入補充知識做準備:二階行列式ac

bd=ad-bc.）

例1在空間直角坐標系中，已知a=(1,2,3)，b=(-1,0,1)，計算外積a×b.

解a×b=23

01,31

1-1，12

-10=(2,-4,2).

由本例結合定義2（圖1）可知，向量a，b所在平面的一個法向量可取為a×b=(2,-4,2).

三、外積法在求解平面法向量中的具體應用

下面筆者給出兩道立體幾何的題目作為例題，應用外積法來求解平面的法向量.

例2在四棱錐P-ABCD中，側面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2.設Q為側棱PC上一點，PQ=λPC，試確定λ的值，使得二面角Q-BD-P為45°.

圖2

解以D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖2的空間直角坐標系D-xyz.則B(1,1,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，P(0,0,1).由于Q為側棱PC上一點，不妨假設Q點的

根據數量的外積定義，不妨取平面AMN的一個法向量為m=(1,1,-1).

∵AD⊥平面PAB，

∴可取AD=(0,2,0)作為平面PAB的一個法向量.

設平面AMN與平面PAB所成的銳二面角為θ，從而就有：

cosθ=m·AD|m|·|AD|=33.

故平面AMN與平面PAB所成的銳二面角的大小為arccos33.

四、結語

外積法在求解中學數學立體幾何有關二面角大小方面的問題時，它不是孤立的，解題中并非是“單打獨斗”.外積是在求平面法向量時能避開內積引出的三元一次方程的繁雜，做到數學上的簡潔美.時下正直新課改，外積相關知識將會在新課標中作為一個模塊的知識供高中師生學習，有關學習勢在必行.正因如此，筆者在教學中，巧妙地引進此法，大膽嘗試，并且收效良好.

值得一提的是，在解決整個立幾的問題中，還是需要內積一起出擊，方能將整個問題順理成章地解決.由上述的例題中，不難看出，當外積求出法向量后還需內積（數量積）求角，可謂內積、外積相得益彰.

【參考文獻】

［1］人民教育出版社中學數學室.全日制普通高級中學教科書（必修）《數學》第二冊（上）［M］.北京：人民教育出版社，2011.

［2］易忠.高等代數與解析幾何［M］.北京：清華大學出版社，2007.