由數列遞推公式求通項公式的幾種方法及在高考中的應用

劉麗

【摘要】數列在高中數學學習中占有相當重要的一部分，不僅在高考中占有很大的比例，而且有些涉及數列的高考題難度也很大.其中根據數列的遞推關系求數列的通項公式是很多同學學習的一個難點，也是高考中的一個考點.為了幫助大家突破這一難點，在這里對常見的由遞推數列求通項的類型及方法作一歸納，并就近幾年高考中涉及由數列遞推公式求通項公式的題目做一介紹.

【關鍵詞】數列；通項公式；求法；應用

數列的通項在數列中處于關鍵地位，知道了數列的通項，才能很好地研究數列的性質.在高考數列題中，求數列的通項有著承上啟下的作用，因此求出數列的通項是決定數列這道題能否解出的關鍵點.下面我們來介紹由數列遞推公式求數列的通項公式的常見類型.

類型1an+1=an+f(n).

解析把原遞推公式轉化為an+1-an=f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解.通常f(n)是一次函數、指數函數，或者說是易掌握的能夠求和的類型.

例1(2011年高考四川卷理科8)數列{an}的首項為3，{bn}為等差數列且bn=an+1-an(n∈N*).若b3=-2，b10=12，則a8等于（）.

A0

B3

C8

D11

解析選B.由已知得bn=2n-8，an+1-an=2n-8，由累加法得(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=-6+（-4）+（-2）+0+2+4+6=0輆8=a1=3.

例2（2010年遼寧理數16）已知數列{an}滿足a1=33，an+1-an=2n，則ann的最小值為.

答案：212.

解析an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2［1+2+…+(n-1)］+33=33+n2-n，

∴ann=33n+n-1.

設f(n)=33n+n-1，令f′(n)=-33n2+1>0，

則f(n)在(33，+∞)上是單調遞增，在(0，33)上是遞減的.

∵n∈N+，∴當n=5或6時f(n)有最小值.

又∵a55=535，a66=636=212，

∴ann的最小值為a66=212.

類型2an+1=f(n)an.

解法把原遞推公式轉化為an+1an=f(n)，利用累乘法求解，其中f(n)多為分式結構.

例3（2000年全國卷）設數列{an}是首項為1的正項數列，且(n+1)a2n+1-na2n+anan+1=0（n=1，2，3，…)，則它的通項公式是.

解析對上式因式分解，得

［(n+1)an+1-nan］(an+1+an)=0.

∴an+1an=nn+1，則

a2a1·a3a2·a4a3·…·anan-1=12·23·34·…·n-1n=1n，

∴an=1n(n∈N+).

類型3an+1=pan+q（其中p，q均為常數，pq(p-1)≠0）.

此類數列解決的常用辦法是用待定系數法將其構造成一個新的等比數列，再利用等比數列的性質進行求解.設an+1+m=p(an+m)，展開整理an+1=pan+pm-m，比較系數有pm-m=b，所以m=bp-1，所以an+bp-1是等比數列，公比為p，首項為a1+bp-1.

例4（2010年上海文數21）已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*.證明：{an-1}是等比數列.