發掘高中數學新教材中的“探究與思考”的作用

肖慶國

【摘要】在“有用的數學”“身邊的數學”的思想指導下，改進了過于強調知識結構的嚴謹性、深刻性的不足，更強調知識的發生發展過程，關注知識的內在規律；突出數學知識與時代發展的聯系；尊重學生個體對數學知識不同層次的需求與選擇.如何充分挖掘教材中的“探究與思考”的作用？通過本人近幾年的教學實踐，教材中的“探究與思考”起著創設問題情境作用，能利用“探究與思考”開展研究性學習，能利用“探究與思考”培養學生的解題能力，利用“探究與思考”在課堂教學中具有鋪墊銜接的作用.

【關鍵詞】教材；探究與思考；作用

新課程實施以來，高中數學新教材與老教材相比增設了許多“探究與思考”的內容，發現新教材能關注學生數學發展的不同需求，內容設計上注意彈性，在保證基礎的前提下為不同的學生提供不同的發展空間，為此，教材開發“觀察與猜想”“閱讀與思考”“探究與思考”等欄目的內容，為學生提供了一些具有探索性、拓展性的內容，通過“觀察”“思考”“探究”、邊空設問、留白填空等方式，引導學生的探索活動，為他們提供自主學習的空間.通過本人近幾年的教學實踐，就如何發掘新教材中的“探究與思考”的作用及其教學價值，談談自己的看法.

一、利用教材中的“探究與思考”創設問題情境

從數學學習的認知本質來看，數學學習離不開情境，從數學課程及數學學習的特點看，情境化設計愈來愈顯示出重要性和必要性，然而，我們不能為情境而情境，更不能虛擬“游離于教學之外”的情境，因此，我們要充分挖掘教材中的“探究與思考”的作用，利用“探究與思考”創設問題情境.

案例1人教版《數學》必修1中的“3.1.2用二分法求方程的近似解”一課中的“思考”：一元二次方程可以用公式求根，但沒有公式可用來求方程lnx+2x-6=0的根，聯系函數的零點與相應方程根的關系，能否利用函數的有關知識來求它的根呢？

從而設置：

問題1方程lnx+2x-6=0有解嗎？

問題2能求出它的近似解嗎？（教師給予學生思考的時間，特別注意課堂的變化.預設兩種情況：第一，讓學生談談思考的方向；第二，如果學生思路仍然受阻，進一步啟發，出示問題3.）

問題3能否以上堂課為出發點找到一個求解的方案？學生：可以轉化為求y=lnx+2x-6的零點問題，用“試值法”可以發現f(2)<0，f(3)>0，因此在區間（2，3）有零點.從而引出新課.

案例2人教版《數學》必修4“221向量加法運算及其幾何意義”中可以利用書本中的探究問題，出示位移的合成、力的合成背景.

放投影片，出示位移的合成、力的合成背景.

（1）如圖1，某對象從A點經B點到C點，兩次位移AB，BC的結果，與A點直接到C點的位移AC結果相同.

（2）如圖2，表示橡皮條在兩個力F1，F2的作用下，沿GE的方向伸長了EO，與力F的作用結果相同.

位移AB與BC合成為AC，力F1與F2的合成為F，那么它們的合成方法一致嗎？合成的含義是什么？

通過位移合成的三角形法則，力的合成的平行四邊形法則，理解矢量合成的含義，歸納抽象出向量加法的意義.

數能進行運算，因為有了運算而數的威力無窮，與數的運算類比，向量是否也能進行運算呢？人們從向量的物理背景和數的運算中得到啟發，引進了向量的運算，觀察投影片中位移合成、力的合成問題，啟發學生思考向量如何合成，從而引出新課.

創設情境從已有的知識背景出發，以激發學生的好奇心和學習興趣，引起學生的求知欲望為目標，這樣才不會使學生對數學感到枯燥、乏味、缺少趣味，才能使學生學習數學的興趣和自信心大增，才能使學生的數學思維能力和分析問題、解決問題的能力得到提高，才能使學生對數學產生良好的情感與態度.

二、利用教材中的“探究與思考”開展研究性學習

有位數學家說過:“數學知識不是教出來的，而是研究出來的.”新課標下每節課的引言前都有探索問題，

案例3新課標《數學》必修1第80頁探究題：在指數函數y=2x中，x是自變量，y為因變量.如果把y當成自變量，x當成因變量，那么x是y的函數嗎？如果是，那么對應關系是什么？如果不是，請說明理由.隨著y=2x和x=log2y的研究，可以發現x是y的函數，同時也發現了兩者圖像間的關系(關于y=x對稱)，進而得到了指數函數與對數函數是一組互為反函數:互為反函數的兩圖像是關于y=x對稱.

再探索，比如說知道了y=x3-1，作關于y=x的對稱圖像，那么它的解析式是什么?進而去研究：關于y軸對稱呢?x軸對稱呢?原點呢?然后學生一一作答.這樣既搞清了反函數的概念，又弄清了圖像間的一些關系.

案例4在高一新課標《數學》必修1第71頁中，探究與發現內容“購房中的數學”，這是數列的應用內容，教師可以好好應用這一內容開展研究性學習.要上好這一內容，老師可以在課前布置一些作業，讓學生去查閱資料，搞清幾個概念，如“什么是教育儲蓄？”“什么是助學貸款？”“等額本金與等額本息兩種貸款方式的區別？”等.學生的準備工作做充分了，那么老師在課堂上就容易展開討論，讓學生們能同時享受到自己和別人的調查結果.當老師在課堂內用例子讓學生用兩種不同的貸款方式計算后，學生就能更好地了解和掌握等額本金和等額本息的貸款方式，當然最重要的是讓學生體會到了等差數列和等比數列的實際應用.

課后，老師可以布置類似的練習題用來鞏固知識，同時可以布置一些特殊的作業，如讓學生反思總結：

這節課——使我感觸最深的是……我感到最困難的是……我學會了……我發現了生活中……等.

學生通過這些作業能更好地理解數學知識的實際應用價值，也能更好地在生活中去發掘與數學有關的內容.經常開展這些有意義的數學研究性學習，能真真切切地提高學生對數學的學習興趣，提高對數學知識的應用能力.

研究性學習的開展需要有合適的載體，即使是學生提出的問題也要加以整理歸類.作為研究性學習的載體應有利于調動學生學習數學的積極性，有利于學生創造潛能的發揮.實踐證明，利用新課等形式開展研究性學習，能培養學生的研究能力.

這種“螺旋上升”的教學設計，在學生嘗到了勝利果實的同時，更能體現出新課標下學生主動性的原則，也鍛煉和培養了學生的三大能力(運算能力、空間想象能力、分析和解決實際問題的能力).素質化的數學課堂教學，就是要在學生頭腦中建立起發展數學認知結構的過程，構造一種主動“再創造”的情境，使每名學生在自己的可“同化區域”內改變認知結構，實現知識重組，形成解決問題的能力素質，其指導思想是“重過程，重情境，重創造能力的發展”.

三、利用教材中的“探究與思考”培養學生的解題能力

新課標指出：“學生的數學學習活動不應該只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應該倡導自主探討、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式，這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生學習過程成為‘再創造過程.”而“探究與思考”有良好的親和力、啟發性、前瞻性，激發興趣，啟發學生進行深層次的探究和“再創造”，能有效地培養學生的解題能力.

案例5新課標《數學》必修4第44頁“思考”：你能求y=sinπ3-12x，x∈［-2π，2π］的單調遞增區間嗎？通過此思考題能使學生對復合函數單調區間的問題有一個完整的認識，實際上，無論x的系數是正是負，其求解思路是一致的.

解法一令z=π3-12x，由于z是x的減函數，即x增加時z減小，要使x增加時y也增加，則z減小時y要增加.于是函數y=sinz的減區間就是原函數的增區間.函數y=sinz的單調遞減區間是π2+2kπ，3π2+2kπ，由π2+2kπ≤π3-12x≤3π2+2kπ，得-7π3-4kπ≤x≤-π3-4kπ，k∈Z.因此，函數y=sinπ3-12x，x∈［-2π，2π］的單調遞增區間是-2π，-π3和5π3，2π.

解法二先把函數y=sinπ3-12x化為y=-sin12x-π3，然后求函數y=sin12x-π3的單調遞減區間即可.

充分利用“探究與思考”的潛在作用，發掘學生學習的主動性，使學生學習過程成為“再創造”過程，培養學生的解題能力.

四、利用教材中的“探究與思考”在課堂教學中起鋪墊銜接的作用

對于初中教材刪除的，而高中又必需的知識應在需要的地方及時補充，否則造成知識的斷路“空投”，知識生成會太突然，讓學生難于接受.利用“探究與思考”做好鋪墊，使知識銜接過渡自然和諧.另外，“探究與思考”可條分縷析地將前后知識巧妙地糅合鏈接起來，達到溫故知新的效果.

案例6新課標《數學》必修1第96頁探究題：如圖3，觀察二次函數f(x)=x2-2x-3的圖像，我們發現函數f(x)=x2-2x-3在區間［-2，1］上有零點，計算f(-2)與f(1)的乘積，你能發現這個乘積有什么特點？在區間［2，4］上是否有這個特點呢？

讓學生觀察對應的二次函數在區間端點上的函數值之積的特點，引導學生發現連續函數在某個區間上存在零點的判定方法.從而引出新的教學內容.

案例7新課標《數學》必修4第7頁“探究”：如圖4，半徑為R的圓，圓心與原點重合，角α的始邊與x軸的正半軸重合，交圓于點A，終邊與圓交于點B，請在下面的表格中填空，并思考：如果一個半徑為R的圓的圓心角α所對的弧長是l，則α的弧度數是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制，它們之間如何換算？

【摘要】在“有用的數學”“身邊的數學”的思想指導下，改進了過于強調知識結構的嚴謹性、深刻性的不足，更強調知識的發生發展過程，關注知識的內在規律；突出數學知識與時代發展的聯系；尊重學生個體對數學知識不同層次的需求與選擇.如何充分挖掘教材中的“探究與思考”的作用？通過本人近幾年的教學實踐，教材中的“探究與思考”起著創設問題情境作用，能利用“探究與思考”開展研究性學習，能利用“探究與思考”培養學生的解題能力，利用“探究與思考”在課堂教學中具有鋪墊銜接的作用.

【關鍵詞】教材；探究與思考；作用

新課程實施以來，高中數學新教材與老教材相比增設了許多“探究與思考”的內容，發現新教材能關注學生數學發展的不同需求，內容設計上注意彈性，在保證基礎的前提下為不同的學生提供不同的發展空間，為此，教材開發“觀察與猜想”“閱讀與思考”“探究與思考”等欄目的內容，為學生提供了一些具有探索性、拓展性的內容，通過“觀察”“思考”“探究”、邊空設問、留白填空等方式，引導學生的探索活動，為他們提供自主學習的空間.通過本人近幾年的教學實踐，就如何發掘新教材中的“探究與思考”的作用及其教學價值，談談自己的看法.

一、利用教材中的“探究與思考”創設問題情境

從數學學習的認知本質來看，數學學習離不開情境，從數學課程及數學學習的特點看，情境化設計愈來愈顯示出重要性和必要性，然而，我們不能為情境而情境，更不能虛擬“游離于教學之外”的情境，因此，我們要充分挖掘教材中的“探究與思考”的作用，利用“探究與思考”創設問題情境.

案例1人教版《數學》必修1中的“3.1.2用二分法求方程的近似解”一課中的“思考”：一元二次方程可以用公式求根，但沒有公式可用來求方程lnx+2x-6=0的根，聯系函數的零點與相應方程根的關系，能否利用函數的有關知識來求它的根呢？

從而設置：

問題1方程lnx+2x-6=0有解嗎？

問題2能求出它的近似解嗎？（教師給予學生思考的時間，特別注意課堂的變化.預設兩種情況：第一，讓學生談談思考的方向；第二，如果學生思路仍然受阻，進一步啟發，出示問題3.）

問題3能否以上堂課為出發點找到一個求解的方案？學生：可以轉化為求y=lnx+2x-6的零點問題，用“試值法”可以發現f(2)<0，f(3)>0，因此在區間（2，3）有零點.從而引出新課.

案例2人教版《數學》必修4“221向量加法運算及其幾何意義”中可以利用書本中的探究問題，出示位移的合成、力的合成背景.

放投影片，出示位移的合成、力的合成背景.

（1）如圖1，某對象從A點經B點到C點，兩次位移AB，BC的結果，與A點直接到C點的位移AC結果相同.

（2）如圖2，表示橡皮條在兩個力F1，F2的作用下，沿GE的方向伸長了EO，與力F的作用結果相同.

位移AB與BC合成為AC，力F1與F2的合成為F，那么它們的合成方法一致嗎？合成的含義是什么？

通過位移合成的三角形法則，力的合成的平行四邊形法則，理解矢量合成的含義，歸納抽象出向量加法的意義.

數能進行運算，因為有了運算而數的威力無窮，與數的運算類比，向量是否也能進行運算呢？人們從向量的物理背景和數的運算中得到啟發，引進了向量的運算，觀察投影片中位移合成、力的合成問題，啟發學生思考向量如何合成，從而引出新課.

創設情境從已有的知識背景出發，以激發學生的好奇心和學習興趣，引起學生的求知欲望為目標，這樣才不會使學生對數學感到枯燥、乏味、缺少趣味，才能使學生學習數學的興趣和自信心大增，才能使學生的數學思維能力和分析問題、解決問題的能力得到提高，才能使學生對數學產生良好的情感與態度.

二、利用教材中的“探究與思考”開展研究性學習

有位數學家說過:“數學知識不是教出來的，而是研究出來的.”新課標下每節課的引言前都有探索問題，

案例3新課標《數學》必修1第80頁探究題：在指數函數y=2x中，x是自變量，y為因變量.如果把y當成自變量，x當成因變量，那么x是y的函數嗎？如果是，那么對應關系是什么？如果不是，請說明理由.隨著y=2x和x=log2y的研究，可以發現x是y的函數，同時也發現了兩者圖像間的關系(關于y=x對稱)，進而得到了指數函數與對數函數是一組互為反函數:互為反函數的兩圖像是關于y=x對稱.

再探索，比如說知道了y=x3-1，作關于y=x的對稱圖像，那么它的解析式是什么?進而去研究：關于y軸對稱呢?x軸對稱呢?原點呢?然后學生一一作答.這樣既搞清了反函數的概念，又弄清了圖像間的一些關系.

案例4在高一新課標《數學》必修1第71頁中，探究與發現內容“購房中的數學”，這是數列的應用內容，教師可以好好應用這一內容開展研究性學習.要上好這一內容，老師可以在課前布置一些作業，讓學生去查閱資料，搞清幾個概念，如“什么是教育儲蓄？”“什么是助學貸款？”“等額本金與等額本息兩種貸款方式的區別？”等.學生的準備工作做充分了，那么老師在課堂上就容易展開討論，讓學生們能同時享受到自己和別人的調查結果.當老師在課堂內用例子讓學生用兩種不同的貸款方式計算后，學生就能更好地了解和掌握等額本金和等額本息的貸款方式，當然最重要的是讓學生體會到了等差數列和等比數列的實際應用.

課后，老師可以布置類似的練習題用來鞏固知識，同時可以布置一些特殊的作業，如讓學生反思總結：

這節課——使我感觸最深的是……我感到最困難的是……我學會了……我發現了生活中……等.

學生通過這些作業能更好地理解數學知識的實際應用價值，也能更好地在生活中去發掘與數學有關的內容.經常開展這些有意義的數學研究性學習，能真真切切地提高學生對數學的學習興趣，提高對數學知識的應用能力.

研究性學習的開展需要有合適的載體，即使是學生提出的問題也要加以整理歸類.作為研究性學習的載體應有利于調動學生學習數學的積極性，有利于學生創造潛能的發揮.實踐證明，利用新課等形式開展研究性學習，能培養學生的研究能力.

這種“螺旋上升”的教學設計，在學生嘗到了勝利果實的同時，更能體現出新課標下學生主動性的原則，也鍛煉和培養了學生的三大能力(運算能力、空間想象能力、分析和解決實際問題的能力).素質化的數學課堂教學，就是要在學生頭腦中建立起發展數學認知結構的過程，構造一種主動“再創造”的情境，使每名學生在自己的可“同化區域”內改變認知結構，實現知識重組，形成解決問題的能力素質，其指導思想是“重過程，重情境，重創造能力的發展”.

三、利用教材中的“探究與思考”培養學生的解題能力

新課標指出：“學生的數學學習活動不應該只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應該倡導自主探討、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式，這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生學習過程成為‘再創造過程.”而“探究與思考”有良好的親和力、啟發性、前瞻性，激發興趣，啟發學生進行深層次的探究和“再創造”，能有效地培養學生的解題能力.

案例5新課標《數學》必修4第44頁“思考”：你能求y=sinπ3-12x，x∈［-2π，2π］的單調遞增區間嗎？通過此思考題能使學生對復合函數單調區間的問題有一個完整的認識，實際上，無論x的系數是正是負，其求解思路是一致的.

解法一令z=π3-12x，由于z是x的減函數，即x增加時z減小，要使x增加時y也增加，則z減小時y要增加.于是函數y=sinz的減區間就是原函數的增區間.函數y=sinz的單調遞減區間是π2+2kπ，3π2+2kπ，由π2+2kπ≤π3-12x≤3π2+2kπ，得-7π3-4kπ≤x≤-π3-4kπ，k∈Z.因此，函數y=sinπ3-12x，x∈［-2π，2π］的單調遞增區間是-2π，-π3和5π3，2π.

解法二先把函數y=sinπ3-12x化為y=-sin12x-π3，然后求函數y=sin12x-π3的單調遞減區間即可.

充分利用“探究與思考”的潛在作用，發掘學生學習的主動性，使學生學習過程成為“再創造”過程，培養學生的解題能力.

四、利用教材中的“探究與思考”在課堂教學中起鋪墊銜接的作用

對于初中教材刪除的，而高中又必需的知識應在需要的地方及時補充，否則造成知識的斷路“空投”，知識生成會太突然，讓學生難于接受.利用“探究與思考”做好鋪墊，使知識銜接過渡自然和諧.另外，“探究與思考”可條分縷析地將前后知識巧妙地糅合鏈接起來，達到溫故知新的效果.

案例6新課標《數學》必修1第96頁探究題：如圖3，觀察二次函數f(x)=x2-2x-3的圖像，我們發現函數f(x)=x2-2x-3在區間［-2，1］上有零點，計算f(-2)與f(1)的乘積，你能發現這個乘積有什么特點？在區間［2，4］上是否有這個特點呢？

讓學生觀察對應的二次函數在區間端點上的函數值之積的特點，引導學生發現連續函數在某個區間上存在零點的判定方法.從而引出新的教學內容.

案例7新課標《數學》必修4第7頁“探究”：如圖4，半徑為R的圓，圓心與原點重合，角α的始邊與x軸的正半軸重合，交圓于點A，終邊與圓交于點B，請在下面的表格中填空，并思考：如果一個半徑為R的圓的圓心角α所對的弧長是l，則α的弧度數是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制，它們之間如何換算？

AB的長OB旋轉的方向∠AOB的弧度數∠AOB的度數

π·r逆時針方向

2π·r逆時針方向

r〖3〗1

2r〖3〗-2

〖3〗-π

〖3〗0

〖4〗180°

〖4〗360°

教科書設置“探究”的意圖是先根據所給圖像對一些特殊角填表，然后概括一般情況.通過教師引導學生填空，思考問題，交流，討論，得出角度制與弧度制的換算關系.

五、需注意的幾個地方

（1）發掘教材中的“探究與思考”的作用，應該根據教學內容而適當安排，不能盲目的不合實際展開，因此，要細研教材，精確定位，深刻領會教材對教學的作用.

（2）倡導自主學習，培養學生的自學能力，新教材強調“以人為本”的教育理念，倡導“自主、合作、探究”的學習方式.教師理應做學生學習的引導者、組織者、促進者，使學生以探索者、研究者的身份，動腦思、動眼看、動筆寫、動耳聽，全身心地參與到學習中去，從而培養學生的自學能力，使學生成為一個發現者、研究者、探索者.讓課堂煥發出生命的活力，為學生的終身學習打下良好的基礎.

總之，“探究與思考”不僅承載體驗知識發現與創造的歷程，而且又能讓正文內容更加鮮活、生動，主體更加突出、彰顯.創設有利于引導學生主動學習的課程實施環境，提高學生自主學習、合作交流以及分析和解決問題的能力，教材是課程目標和教育內容的具體體現.正確使用教材，充分發掘教材在培養學生能力方面的功能是高中數學教師值得研究的課題.教材為提高學生能力提供了豐富的素材，不可多得，不能須臾離開.教材通過設置“觀察與猜想”“閱讀與思考”“探究與發現”等欄目，一方面為學生提供一些具有探索性、拓展性、思想性、時代性和應用性的選學材料，拓展學生的數學活動空間和擴大學生的數學知識面，另一方面也體現了數學的科學價值，反映了數學在推動其他科學和整個文化進步中的巨大作用.

【參考文獻】

［1］謝增生.對新課標下高中教材的幾點思考［J］.中學數學教研，2007(11).

［2］董入興.對高中數學教材中的“旁白”的幾點認識［J］.中學數學教學參考，2008(4)

［3］曹毓.使用A版教材教學的體會［J］.試教通訊員，2006(4).