探討“比較法”在職教數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

黃惠卿

【摘要】在當(dāng)前職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用比較法來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，拓寬學(xué)生的解題思路，豐富學(xué)生的解題方法，提高學(xué)生運(yùn)用比較法解決實(shí)際問題的能力，從而達(dá)到提高課堂教學(xué)質(zhì)量的目標(biāo).

【關(guān)鍵詞】比較法；職教數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)思想

當(dāng)前職業(yè)學(xué)校的招生門檻低，生源素質(zhì)差，在職教數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，往往教師教得很辛苦，學(xué)生學(xué)得很痛苦，形成教師難教、學(xué)生難學(xué)直至不學(xué)的局面.要改變這種現(xiàn)狀，我們必須針對(duì)中職學(xué)生的實(shí)際情況，探索有效的教學(xué)策略和措施，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.

比較法是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)最常用的基本方法之一，數(shù)學(xué)中有許多內(nèi)容既有聯(lián)系又有區(qū)別，往往一字一句之差，其意義和解法就不同.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中科學(xué)合理地使用比較的方法，有助于突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)遷移能力和邏輯思維能力，讓學(xué)生形成正確、嚴(yán)密的解題思路及判斷能力.筆者在多年的職業(yè)教育數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)踐中，應(yīng)用比較法進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，取得了很好的效果，現(xiàn)結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，從五個(gè)方面談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)使用比較法的認(rèn)識(shí).

一、比較異同，找出共性

教材中許多知識(shí)點(diǎn)或例題、習(xí)題，存在著共同點(diǎn)，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生與前面的知識(shí)點(diǎn)或題目作比較，把握它們的共同點(diǎn)，尋找出兩者間的規(guī)律和解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)，再思考如何化異為同，最后以相同的方法掌握、解決不同的知識(shí)點(diǎn)或題目.

例1（1）已知2x-y-4+x+y-5=0，求xy的值.

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，4+x+3有最小值？最小值是多少？

分析在（1）中，因?yàn)閍≥0（a≥0），所以2x-y-4，x+y-5只能同時(shí)為零.

在（2）中，同樣根據(jù)a≥0（a≥0），所以當(dāng)x=-3時(shí)，4+x+3有最小值為4.

又如，在學(xué)習(xí)a的n次方根時(shí)，遇到n為偶數(shù)或?yàn)槠鏀?shù)的問題，可以結(jié)合初中數(shù)學(xué)的平方根與立方根概念，從中找出相同點(diǎn)和區(qū)別，可以采用圖表的方式，加以歸納概括，比較如下：

求法開平方開立方

通過圖表比較，容易找出a的偶次方根與奇次方根的異同，學(xué)生在比較過程中發(fā)現(xiàn)它們解題的依據(jù)相同，解法不同，找出這類題型的共性，抓住解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)，容易做到舉一反三.

二、比較同類，促進(jìn)思維

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程對(duì)于某些具有相同或類似結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的對(duì)象加以比較，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出另外一些相同或類似的性質(zhì)，這種比較通常被稱為聯(lián)想類比，具體做法就是根據(jù)面臨的問題，聯(lián)想起已經(jīng)解決的類似問題，將新問題的特征與舊問題的特征進(jìn)行比較，抓住新舊問題的共同特征，將已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)與當(dāng)前問題建立聯(lián)系，利用處理過類似的舊問題的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)處理新問題，或把新問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)已解決的熟悉的問題，從而迅速找到解題的突破口，拓展解題思路.例如，出現(xiàn)a2+b2時(shí)，我們可以聯(lián)想到勾股定理，也可聯(lián)想到點(diǎn)(a，b)到點(diǎn)(0，0)的距離，還可聯(lián)想到向量x=(a，b)的模，還可聯(lián)想到不等式a2+b2≥2ab；在出現(xiàn)x+y1-xy時(shí)，可聯(lián)想到兩角和的正切公式；在出現(xiàn)a2+b2-ab時(shí)，可聯(lián)想到余弦定理；在出現(xiàn)ab，bc時(shí)，可聯(lián)想到三角形或矩形的面積公式；看到x-yz-h時(shí)，可聯(lián)想到直線的斜率等等.以下以具體實(shí)例說明.

例2已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，求證：a2+b2+c2+d2≥(a-c)2+(b-d)2.

分析聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，可設(shè)A(a，b)，B(c，d).

在△ABO中由三角形三邊之間的關(guān)系|OA|+|OB|≥|AB|，知a2+b2+c2+d2≥(a-c)2+(b-d)2.

同類比較，在課堂教學(xué)中，必須讓學(xué)生根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)展開聯(lián)想，結(jié)合學(xué)過的定理、公式、公理，主動(dòng)通過交流與討論解決問題.讓學(xué)生親歷獲取新知識(shí)的過程，在這過程中，特別要引導(dǎo)學(xué)生善于比較問題，尋找有效解決問題的途徑.

三、比較優(yōu)劣，擇優(yōu)運(yùn)用

認(rèn)知心理學(xué)的研究表明，數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)不是教師傳授得越多，學(xué)生就習(xí)得得越多，掌握得就越牢固.數(shù)學(xué)解題教學(xué)也是如此.不是教師講的解題方法越多，學(xué)生的解題思路就必然越廣，解題能力就必然越強(qiáng).所以數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要研究，面對(duì)多種教法和多種解法，我們?nèi)绾吻蟆吧啤睋瘛皟?yōu)”呢？這就需要比較.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該從中職學(xué)生的思維特點(diǎn)和理解能力水平出發(fā)，找出最適當(dāng)?shù)姆椒ńM織教學(xué)，以便于學(xué)生接受、理解和掌握有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，把已有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)“同化”“順應(yīng)”為自己的認(rèn)識(shí)知構(gòu).而在解題實(shí)踐中，則應(yīng)把最基本的思路和方法教給學(xué)生，讓學(xué)生多做題、勤總結(jié)，以形成敏銳的“題感”；讓學(xué)生多分析、善判斷，以形成良好的“題感”.這樣在解題時(shí)，就可以抓住關(guān)鍵，單刀直入，直搗核心，從而提高解題本領(lǐng).

例3已知a=12-3，求16-8a+a2a2-4a的值.

這樣的求值題，在教學(xué)中可讓學(xué)生先用一般方法解題，即直接代入，顯然，多數(shù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)計(jì)算很繁雜，容易在計(jì)算過程中半途而廢，或者得到錯(cuò)誤的結(jié)論，這時(shí)再引導(dǎo)學(xué)生改用先化簡，然后再代入.

解∵a=12-3=2+3(2+3)(2-3)=2+3，

∴16-8a+a2a2-4a

=(a-4)2a(a-4)=a-4a=2+3-42+3

=(3-2)(3-2)(2+3)(3-2)=43-7.

相比之下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)求代數(shù)式的值的有效方法是：先化簡代數(shù)式再代入求值.先化簡再代入求值是求代數(shù)式的值的有效方法，學(xué)生容易接受這一解題方法，因此從中可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，并讓他們感受到掌握一定的解題思路和解題方法的必要性.

四、比較數(shù)形，化難為易

數(shù)與形的關(guān)系是非常密切的，華羅庚先生曾經(jīng)精確地描述過這種關(guān)系，“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)難入微”，解題時(shí)若能將所要研究的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形語言，以“形”助“數(shù)”，以“數(shù)”思“形”，數(shù)形結(jié)合，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，便可使問題變得直觀，從而使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，達(dá)到化難為易的效果.

例4求函數(shù)y=|x+3|-|x+1|的值域.

分析這是一個(gè)給了定義域求值域的函數(shù)，若只采用代數(shù)的方法思考問題，則過于抽象，顯得無從下手，但如果就自變量x的取值范圍討論去掉絕對(duì)值，將函數(shù)表示為分段函數(shù)，畫出分段函數(shù)的圖像，由圖像即可得y的取值范圍.

函數(shù)的圖像如右圖：

f(x)=2，x≥-1，

2x+4，-3≤x≤-1，

-2，x≤-1.

由函數(shù)圖像可得y∈［-2，2］.

例中根據(jù)函數(shù)的定義，引入圖像，使所求的問題具體化，答案可從圖中一目了然，達(dá)到事半功倍的效果.所以從中可使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合能將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、形象化，能使問題靈活直觀地獲解，從而懂得把握、運(yùn)用這種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

五、比較生活，激發(fā)興趣

數(shù)學(xué)的概念或式子有些是由生產(chǎn)、生活實(shí)際問題中抽象出來的，有些是由數(shù)學(xué)自身的發(fā)展而產(chǎn)生的.但數(shù)學(xué)的高度抽象性常常使學(xué)生誤認(rèn)為數(shù)學(xué)是脫離生活實(shí)際的，其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓砸彩箤W(xué)生縮手縮腳，其應(yīng)用的廣泛性更使學(xué)生覺得高深莫測(cè)，望而生畏，從而阻礙了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性.為了吸引凝聚學(xué)生的注意力，激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)探究的興趣，促成學(xué)生學(xué)習(xí)情緒高漲，步入智力振奮狀態(tài)，充分調(diào)動(dòng)起學(xué)生探求新知識(shí)的積極性和自覺性，在中職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，筆者盡量從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)知識(shí).

行話說“教學(xué)有法”“教無定法”，在實(shí)際的中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，要從培養(yǎng)“完善的人”的總目標(biāo)出發(fā)，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)性質(zhì)、目的要求和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與知識(shí)儲(chǔ)備的具體情況，靈活選用恰當(dāng)?shù)谋容^方法，設(shè)計(jì)科學(xué)合理的教學(xué)方案和學(xué)案，力爭實(shí)現(xiàn)三維目標(biāo)的協(xié)調(diào)發(fā)展.

【參考文獻(xiàn)】

［1］羅增儒，李文銘.數(shù)學(xué)教學(xué)論.陜西師范大學(xué)出版社.

［2］姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模.北京：高等教育出版社.

［3］劉新平，劉存?zhèn)b.教育統(tǒng)計(jì)與測(cè)評(píng)導(dǎo)論.北京：科學(xué)出版社.