高觀點下初等數學的教學問題

苗震

【摘 要】本文研究的內容是高觀點下初等數學的教育問題，研究的背景是基于我國初等數學的學習與高等數學的學習存在著或多或少的脫節性，包括我在內的很多師范專業的學生并不能從初高中時期的全面發展，過渡到大學中的專攻一科，并且他們對于大學在學期間學習高等數學存在著些許質疑，大多數人認為學習高等數學對于他們未來的工作，即中小學老師，幫助是不太大的。本文從高觀點下來看初等數學教學問題。

【關鍵詞】初等數學教育；高等數學；數學思想；數學方法

一、緒 論

北京師范大學、華東師范大學、首都師范大學等等高等院校的數學教育專業，都是以培養優秀的中小學數學教師為目標，而這個專業的學生畢業之后也大都從事的是初等數學教育工作。大學在學期間，一個不爭的事實是，學生們大都學習的是高等數學，他們覺得，像“中學數學解題研究”、“中學數學教材教法（微格教學）”、“教育心理學”這類直接可以派上“用武之地”的課程幾乎在一個學年就可以學習完畢，學習其他高等數學的東西和未來從事的工作是“不對口”的。

菲利普斯·克萊因《高觀點下的初等數學》中明確表示，教師應當具備較高的數學觀點。其理由是，觀點越高，事物就顯得越清楚[1]。而近年來，隨著新課程的全面實施和全國命題制度的全面改革，越來越多的高等數學思想在初等數學領域進行了潛移默化的滲透。這足以證明，我們正在努力解決初高等數學的脫節性問題。

二、高等數學思想在中學數學中的滲透

（一）教材與考試中高等數學思想的滲透

（三）二次型思想的滲透

最后我們再來單獨說一下利用高等代數中的知識點可以解決的中學問題，順便來看一下高等代數中哪些在思想在中學數學中哪些知識點里會有體現。

三、高觀點下的初等數學教學問題

（一）運算律的教學問題

在運算的基本定律方面，系統地講解結合律、交換律、分配律這些運算律是不在中學的考慮之列的。怪不得我們真真正正接觸高等代數的向量空間的定義、抽象代數中群、環、域的定義時，我們覺得很別扭，畢竟我們高等數學中學習的那些概念都是這個集合中的元素滿足不止一兩個定律就可以的，比如Abel群，不僅要滿足集合中元素的封閉性、結合律、幺元、逆元還要滿足交換律，而連續記住那一大堆什么什么律是有些難度的。如何避免我們的學生在接觸高等數學的時候遇到的這些問題呢？很簡單，在學生對數的運算有了具體的了解并已經掌握牢固之后，準備過渡到字母符號運算的時候，我們當老師的就應該借機會敘述一下，至少應該敘述一下結合律、交換律、分配律，并舉出許多明顯的數字例子來加以說明[1]。這時候我主張，每年大學的教授可以來到中學做一次從這些運算律引入，深入到群論等的講座，至少應該讓大家耳濡目染一下。這樣一來，事半功倍。

（二）純粹數學與應用數學

在說到我們下一個算術的問題——數的擴張之前。我想先談一談關于數學的邏輯和直覺之間的關系、純數學和應用數學之間的關系。

其實數學的發展像是一棵大樹，根扎的越深，枝葉的生長速度也就越快。克萊因說，我們今天可能當成最終原則來敘述的東西過了一段時間也必然會被超越[1]。這就與馬克思主義哲學中的發展問題扯到了一起。數學的教育水平與受教育水平也是如此。我非常欣賞克萊因先生的這一段描述或比喻“把應用拒之于數學門外，就等于只從骨架中找活生生動物的活力，而不是考慮肌肉、神經和組織，不考慮動物的本能，宗旨就是不考慮動物的生命本身”[1]。

四、再談高觀點下的初等數學

（一）負數的引入

先說一下負數，中學里面負數的引入是極為困難的一步，因為學生們已經習慣于直觀形式，而現在他們會覺得運算的符號和結果與以前不盡相同了。我們在上《中學生教材教法（微格教學）》時，小組里面有一位同學試講過兩次負數的引入問題，效果并不算好，而課本上的負數的定義寫道“正數前面加個‘負號就是負數”。我在這里告訴大家，負數及負數的運算在發展中是緩慢的有機的發展，是與事物廣泛的打交道的結果，是字母記號的運算將負數交給了人，而過了很長一段時間，人們才有了理性的，知道我們已經發現了一個與嚴格的邏輯相容的法則，這就是我前面所提到的邏輯和直覺的關系。

（二）有理數和無理數的引入

再來談一下有理數和無理數。中學里面引入有理數的概念是學習了分數與負數之后，具體指的是整數和分數，而無理數則是10進制下的無限不循環小數。具體提到高等數學與初等數學的融合，我希望中學老師能夠在引入有理數概念的時候，著重講一下有理數點在坐標軸是處處稠密的思想。就是任意一個區間，都有無數多個有理數的點，簡單的講法就是數形結合，畫一個坐標軸，告訴學生們，每一個空當之間都還有無數多個有理數，這對于我們大學中的高等數學學習是推波助瀾的一筆。而無理數在中學頂多也就是那幾個例子，之類的，想一想我們接觸無理數時候的心理吧！我們當時大多都是不愿意去相信這個世界上存在無限不循環小數的，所以我認為對于普通程度的學生，讓他們知道這個世界上存在無理數就夠了，頂多再給他們舉一些個例子，讓他們確信，僅此而已。

我們知道虛數同負數一樣，剛剛開始進入算術計算并為得到所有人的贊同，它只是運算需要被證明了它有“用”，萊布尼茲曾說：“虛數是圣靈的完美而奇妙的避難所，也差不多是介于存在和不存在之前的兩棲類。”這就是超越性逐漸被人們所認知的過程，就像初等數學教學，學生們對于一個新的概念總是喜歡問為什么會有它，它是怎么被發現之類的問題，然而當他們在練習題或是實際生活中用到了這個概念或者知識，他們就會發現這個概念不得不提及，“迫使需要”這四個字就是不言而喻的了。

五、高觀點下初等數學的教學進程問題

拘泥于課本，沒有聯系高等數學的內容來進行初等數學教育，會造成許多不良后果，我本人就是一個例子，下面就我本人我案例，談一談初高等數學的教育進程。

我大一的數學學習充滿了艱辛，到我真正“開竅”，是到了三個學期以后。在思考自己本身的不足以外，還思考了很多關于出高等數學的教育進程問題，我認為如果我們換一種教育進程，從而可以避免要“開竅”的這個過程，讓初等數學學習者自然而然的進入高等數學的研究，會不會有更好的效果。

從最簡單的函數、多項式以及以正比例函數、反比例函數、二次函數為代表的一元有理函數的圖象表示開始，由此得出的曲線與坐標軸的交點就是對應多項式的零點等知識；

在純數學的積分過程中，其結果往往不能用有理函數表示，往往會產生一些新的函數，所以在這個時候從邏輯推邏輯就顯得十分自然，引入新的函數也就是前后統一的過程。

通過一個統一的原理，即Taylor定理，研究函數的無窮冪級數展開式；

最后這一步是上一步驟的推進，得出柯西—黎曼復變解析函數論。

這個進程就把重點放在了各個局部領域的結合與聯系上，使一切變得自然而然，讓直觀和邏輯緊密相連，如果教育部真的能夠利用這種方法進行初等數學尤其是中學數學的教育，那么初高等數學的脫節性問題能夠解決，學生們不會再需要那么長的時間適應大學的數學學習生活，作為初等教育工作者的我們也會深感欣慰。

參考文獻：

[1]菲利克斯·克萊因.高觀點下的初等數學[M].復旦大學出版社，2013.

[2]單和平.高等數學思想在初等數學中的滲透[J].高職教育，2012（11）：225-226.

[3]劉先忠.初等數學與高等數學的融合[J].荊州師專學報（自然科學版），1994，17（5）：21-22.

[4]LivioM.數學沉思錄—古今數學思想的發展的演變[M].人民郵電出版社，2010.

[5]郭聿琦，王正攀.談談/高觀點下的初等數學——以基礎代數學為例[J].大學數學，2011，27（1）：4-7.

[6]裘曉嵐.關于高觀點下初等數學教育的探討a[J].福建師范大學學報（自然科學版），1999，15（3）：116-119.