聚焦問題解決 助推素養進階

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）21 -0045-03

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作探究并最終解決問題的過程，具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論1.基于這一理論指導，教師在教學中應如何發現和提出有意義的數學問題并對其進行深度探究？下面筆者將，與各位同行交流

1 教學分析

1. 1 內容分析

立體幾何是高中數學教學的重難點，是培養數學核心素養的重要載體，也是高考的必考內容.立體幾何考查呈現“重點必考，主干多考，次點輪考”的特點.其中，位置關系證明、幾何量大小運算是必考內容，這兩類題難度不大，但涉及面廣，既包含知識技能檢測，又關聯直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養的考查，考生在這兩類題上得分率不高，因而成為考生的“魔咒”

1.2 教學目標

在教學中聚焦立體幾何面面角問題，引導學生深度探究用綜合法（幾何法）和坐標法處理的兩種思路.通過對這兩種思路的深層次挖掘，提煉通性通法，激發學生思維活力，從而突破立體幾何中檔題瓶頸，促進學生思維能力的發展.

2 教學過程

2.1 知識回顧，問題提出

例1已知四棱錐 P-ABCD ， ΔPAD 是邊長為4的等邊三角形，滿足 AB=2BC=4，AB⊥BC，BC//AD.

（1）求證： PC⊥AD ：

（2）若 PD 與平面ABCD所成的角為 ，求二面 角 P-CD-A 的余弦值.

第（1）問難度不大，一般幾何方法即可證明.學生在面對第（2）問的時候容易不明確應選擇哪種方法解決問題.

2.2 清晰分類，重點剖析

2.2.1 破綜合法求角之難點

在立體幾何二面角求解中，主要有綜合法（幾何法）和坐標法兩種方法.學生在運用綜合法求解時，往往會遇到以下困難：難以找到合適的垂線或垂面作出二面角的平面角；對于復雜的立體圖形，難以確定角的位置和大小；即便找到角，也會因計算能力不足導致失分.

破解方法1 厘清概念，訓練空間想象能力

正確理解空間角的定義，找到兩個面的公共交線，利用定義作交線的垂線，若垂足在同一位置，即可直接得到二面角的平面角;若垂足不在同一位置，只需將其中一條垂線平移至相交，再解平面三角形即可.

解法1如圖1，取 AD 的中點 E ，過點 E 作 EM ⊥CD 交 CD 于點 M ，過點 P 作 PG⊥CD 交 CD 于點G ，將EM平移到 _GO ，連接 oP ，根據定義可得 ∠PGO 是二面角的平面角.

圖1 幾何角示意圖

由 PG⊥CD，OG⊥CD ，可知 CD⊥ 面 POG ，所以PO⊥CD 由（1）可知 AD⊥ 面 PCE ，則 AD⊥PO ，所以PO⊥ 平面ABCD.

由 PO⊥OG，PO⊥OD ，可知 ∠PDO 為 PD 與面ABCD 所成角，即∠PDO = ，則

由等面積法可得 ta ，則

破解方法2 概念外延，加強空間作圖方法，

在深刻理解二面角概念以及空間中線面關系的基礎上，通過三垂線定理等知識的學習，豐富作圖的方法和手段，快速準確地找角作角，如本題中可以按以下方法作圖找角.

解法2如圖1，取 AD 的中點 E ，過點 P 作 PO ⊥CE ，連接 oD ，由（1）可知 PO⊥ 面 ABCD

則 ∠PDO 就是 PD 與平面ABCD所成的角所以

過點 o 作 OG⊥CD ，連接 PG ，由三垂線定理可知 ∠PGO 就是二面角 P-CD-A 所成的角.

過點 E 作 EM⊥CD ，由等面積法可知

所以 ，tan

則

破解方法3 遷移構造，拓寬求角路徑

細細品味尋找二面角平面角的過程，卻別有味道，由該方法可知 將等式右邊上下同乘 ，結果豁然開朗，這就是面積射影定理.

解法3 如圖1，由（1）易知 PO⊥ 面 ABCD ，則ΔCOD 的面積是 ΔPCD 在平面ABCD上的射影面積.過點 P 作 PO⊥CE ，連接 OD

由（1）可得 PO⊥ 面 ABCD ，則 ∠PDO 為 PD 與平面 ABCD 所成的角，即∠PDO=

可知 ， 所以 EO=2

可知 o 是 CE 中點， ΔPCE 是等腰三角形，因此 .又 CE=4，ED=2 ，則

由海倫公式變形可得

與解法2類似，面積射影定理的關鍵在于找到面的垂線段，這要求學生熟練掌握空間線面關系，尤其是線面垂直的性質定理和判定定理.線面垂直也是坐標法中建系的關鍵環節.

2.2.2 破坐標法求角之難點

很多學生在求空間角時往往優先選擇坐標法，這種方法對學生的空間想象、邏輯推理能力要求較低，但對數學運算等素養要求更高.學生在運用坐標法求解時，往往會遇到以下問題：無法合理建系，甚至建系錯誤；空間點的坐標無法準確定位；計算錯誤，等等疏堵策略1 熟用模型和場景輔助建系.

教師通過實物模型、多媒體展示等方式，可以幫助學生培養空間想象能力，加深對立體圖形的認識和理解；引入一些實際案例和應用場景，幫助學生理解立體幾何的應用價值，同時提高分析和解決問題的能力.例如，借助“旗桿”模型理解線面垂直，用“墻面與地面”模型對應面面垂直，用“墻角”模型類比空間坐標系，以此幫助學生掌握合理建系的方法.

圖2“旗桿“建系示意圖

解法1由（1）可知 PO⊥ 面ABCD（找到“旗桿”了，建系沒有問題了，坐標原點可以建在點 o ，也可以適當平移，本例平移到點 E ）.建立如圖2空間直角坐標系， C（4，0，0），D（0，2，0）

由 可知

則

所以 （20號

設平面PCD 的法向量為 ，滿足 取 ，又平面 ABCD 的法向量為 m=（0，0，1） ，則

向量法在整個解題過程看似行云流水、水到渠成，但其實很多學生在處理點坐標時容易出錯.那么，還有什么方法可以確定點坐標？

疏堵策略2 巧用條件、待定系數 霸道建系.

解法2 建立如圖2所示空間直角坐標系，設P（x，0，z） ，則 ，易知平面ABCD的法向量為 m=（0，0，1） ，且 ，

計算可知 ， x=2 ，則

同理可知平面 PCD 的法向量為 則

當一時找不到“旗桿”“墻面”等模型，無法順利建系時，學生往往可以從所給條件出發“強行建系”——設出點坐標，通過已知關系建立方程，再解方程確定點坐標，從而完成建系，進而解決問題

2.3 試題呈現，學以致用

例2四棱錐 P-ABCD 中， PA⊥ 底面 ABCD ， （20

（1）若 AD⊥PB ，證明： AD// 平面 PBC ：

（2）若 AD⊥DC ，且二面角 A-CP-D 的正弦值 為 求 AD

3 結束語

立體幾何中概念眾多，尤其在解答題中，立體幾何側重平行、垂直的證明和空間角的求解.在求解過程中，學生可能因對數學本質理解不到位而失分.因此，理解立體幾何的基礎知識、掌握概念的本質，是理解數學知識的本質、積累解題經驗、獲取解題技能、參悟數學思想與方法的有效途徑

一道題因思考的角度不同可產生多種不同的思路，多種求解方法有助于學生拓寬解題思路、發展數學思維、提高分析問題的能力.在立體幾何解答題中，學生需要注意的是：練習不在于多而在于經典，不在于盲目而在于靈活多變.

在立體幾何中，深入挖掘知識之間的內在聯系，找準解題的“著力點”，是巧妙突破解答難點的關鍵，從知識的內涵和外延人手探尋知識本源，能夠有效提升學生的知識遷移能力.

參考文獻：

[1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020. [責任編輯：李慧嬌]