中點構(gòu)造與對稱變換

1引言

在初中幾何學(xué)習(xí)中，輔助線的添加是解決幾何問題的關(guān)鍵步驟之一.本文將重點解析這兩種輔助線方法，以及平行線法和垂線法，通過對它們的深入分析和例題演示，揭示其在幾何解題中的應(yīng)用技巧.

2 中點構(gòu)造法

中點構(gòu)造法是指當(dāng)題目涉及中點、中線、中位線等條件時，通過構(gòu)造與中點相關(guān)的輔助線，來發(fā)現(xiàn)新的幾何關(guān)系或全等三角形的解題方法.

例1如圖1，在四邊形ABCD中， AB=CD ，E，F(xiàn) 分別是 BC，AD 的中點， EF 延長線交BA于 G 點， CD 交 EF 于 H 點.求證： ∠BGE=∠CHE

解析作 BD 中點 J ，連接 JE，JF ，則 JE_?JF 分別是△ADB、 ΔCDB 中位線，因此 JE 平行且等于 ，

JF 平行且等于 ，則 ∠BGE=∠JFE ，∠JEF=∠CHE 0而 AB=CD ，則 JE=JF ，所以 ∠JEF=∠JFE .所以 ∠BGE=∠CHE

3 對稱變換法

對稱變換法利用軸對稱或中心對稱的性質(zhì)，將原圖形或其中一部分進行對稱變換，構(gòu)造出對稱圖形.

例2如圖2，在正方形ABCD中， E 是 AB 上的一點， F 是 AD 上的一點，且 ∠ECF=45^° .求證：EF=BE+DF.

解析 延長 AD 到 G ，使 DG=BE 在 ΔCBE 和 ΔCDG 中 （2

根據(jù)SAS（邊角邊）判定定理，

可得 ΔCBE?ΔCDG

所以 CE=CG ∠BCE=∠DCG

因為 ∠BCD=90^°，∠ECF=45^°

所以 ∠BCE+∠DCF=45^°

又因為 ∠BCE=∠DCG ，

所以 ∠DCG+∠DCF=45^°

即 ∠GCF=∠ECF=45^°

在 ΔECF 和 ΔGCF 中 （2號

根據(jù)SAS（邊角邊）判定定理，

可得 ΔECF?ΔGCF

所以 EF=GF ：

因為 GF=DF+DG ，且 DG=BE ，

所以 EF=DF+BE ：

4平行線法

平行線法是指在幾何問題中，通過作平行線來構(gòu)造相似三角形、平行四邊形或其他具有特定性質(zhì)的圖形，從而利用平行線分線段成比例定理、相似三角形的性質(zhì)等來解題.

例3如圖3，在 ΔABC 中， D 是 BC 上的一點，且 BD：DC=2：1，E 是 AD 上的一點，且 AE：ED =3：1，BE 的延長線交 AC 于 F .求 AF：FC

解析過點 D 作 DF^′ // BE ，交 AC 于 F^′

由于 DF^′//EF ，

可得 ΔADF^′～ΔAEF ，

則 AF：FF^′=AE：ED=3：1.

在 ΔBCF 中，由平行線分線段成比例定理，

得 FF^′：F^′C=BD：DC=2：1 ，

得 AF^′：F^′C=2：1

設(shè) FF^′=2k F^′C=k ，

則 AF=3FF^′=6k ：

因此 FC=3k ，

則 AF：FC=2：1

5垂線法

垂線法是在幾何問題中，通過作垂線來構(gòu)造直角三角形、矩形或其他具有特定性質(zhì)的圖形，利用勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識來解題的方法.

例4如圖4，在 RtΔABC 中， ∠ACB=90^°，D 是 AB 上的一點，且 CD⊥AB，E 是 AC 上的一點，且 DE⊥AC 求證： ΔCDE～ΔABC

解析 確定作垂線的位置：已知 CD⊥AB DE⊥AC

可得 ∠CED=∠ACB=90^°

且 ∠CDE=∠BAC

應(yīng)用結(jié)論解題：由AA相似定理可得 ΔCDE^° △ABC.

6結(jié)語

中點構(gòu)造法、對稱變換法、平行線法和垂線法作為初中幾何輔助線的四大典型添線方法，在解題中具有重要的應(yīng)用價值.這些方法的運用有助于培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維能力和創(chuàng)新意識.在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生理解這些方法的原理和步驟，

參考文獻：

[1]喬姣姣.輔助線構(gòu)造在初中平面幾何教學(xué)中的研究[D].洛陽：洛陽師范學(xué)院，2024.

[2]羅山.輔助線在初中平面幾何解題教學(xué)中的應(yīng)用研究[D]重慶：西南大學(xué)，2020.