立體幾何中的二面角問題及其解法探究

1引言

在高中數學立體幾何的學習中，二面角問題是培養學生空間想象能力與邏輯推理能力的核心內容，也是高考考查的重難點之一.作為描述兩個平面夾角的關鍵概念，二面角的求解需綜合運用幾何構造、代數運算及空間向量等多種工具，對學生的數學思維提出了較高的要求.

2 二面角問題的典型例題及解法

2. 1 三垂線法

三垂線法借助三垂線定理，通過在已知條件下確定兩個面的夾角平面，巧妙地解決了部分二面角問題.下面將介紹三垂線法的應用以及在平行四邊形構造中的運用.

例1如圖1所示，在正方體 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，K∈BB₁，M∈CC₁ ，且 ，求平面AKM與平面ABCD所成銳角的正切值.

解析在正方體 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，點 K 位于 BB₁ 上，點 M 位于 CC₁ 上，且滿足 BK= 延長 MK，CB 交于點 P .連接AP ，那么 AP 是平面 AKM 和平面 ABCD 的交線，即二面角的棱.

如圖2所示，作 BO⊥AP 于點 O ，連接 KO .根據三垂線定理，可以確定 ∠KOB 即為平面 AKM 與平面ABCD所成二面角的平面角.

設正方體的棱長為4，則 CM=3 ， BK=1 ， BC=4 ，因此 BP=2 于是， 由此可得： 因此，平面AKM與平面 ABCD 所成銳角的正切值為：BO ，

2.2 射影法

射影法通過面積射影公式，將二面角問題轉化為面積與角度的關系，為二面角問題提供了一個獨特的解題視角.例2將探討射影法在二面角求解中的技巧.

例2如圖3所示，四棱錐 S-ABCD 的底面為正方形， SD⊥ 底面 ABCD ，且 SD=AD=a 點 E 位于 SD 上，滿足 DE=λa （其中 0lt;λlt;1） ，且 AC⊥ BE.若二面角 C-AE-D 的大小為 60^° ，求 λ 的值.

解析如圖4所示，首先，連接點 E 和 AC 的中點 F .由題意可知 ΔAEC 是等腰三角形，所以 EF 是底邊 AC 上的高和中線.為了求解 EF 的長度，先計算 AE .根據勾股定理，有 AE²=AD²+DE²= a²+（λa）²=a²（1+λ²） .因此， .接下來計算 EF ，利用 EF 為點 E 到 AC 的垂線距離，可以得出：

接著，利用射影法的面積比公式，根據已知二面

角 C-AE-D 的大小為 60^° ，可得

計算面積比時，分子為 ΔAED 的面積，分母為

ΔAEC 的面積，因此 將余弦值代入并化簡，得到 進一步求解可得

2.3 向量法

向量法通過確定兩個平面的法向量，再求出它們之間的夾角，進而得到所求二面角的大小或其補角.向量法的核心在于將幾何問題轉化為向量之間的關系，通過計算法向量的夾角來簡化對二面角的分析，使得問題更加直觀和易于操作.

例3如圖5所示，已知平面 BCC₁B₁ 是圓柱的軸截面（經過圓柱的軸的截面），BC是圓柱底面的直徑， O 為底面圓 ∴E 為母線 CC₁ 的中點，已知

AB=AC=AA₁=4 ，求二面角 B₁-AE-O 的余弦值.

解析 由題知： AA₁⊥ 平面ABC， ∠BAC= 90^° .建立如圖6所示的坐標系 A-xyz ，則有 A（0） 0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），O（2，2，0），B₁（4，0，4） 平面 AEO 的法向量為 ，設平面B₁AE 的法向量為 ，則有： 即 令 x=2 ，則 n=（2，1 ，—2），所以

3結語

二面角問題是高中立體幾何中的重要內容，作為描述兩個平面夾角的核心概念，正確求解二面角是學生深入理解空間幾何關系的關鍵.解決二面角問題的核心在于準確構建平面角，并通過幾何或代數方法求得角度大小.本文介紹了三垂線法、射影法和向量法三種常見解法，并通過例題解析展示其具體應用.這些方法各具特色，為解決高中數學中的二面角問題提供了多樣化的思路.

參考文獻：

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