例談構造法在初中數學解題中化繁為簡的實踐

構造法是學習初中數學知識時非常適用的方法，也是應用非常廣泛的一種數學方法.可以在代數中應用，如完全平方公式的應用，也可以在幾何問題中應用，如構造三角形，利用三角形的性質解決問題.本文就七年級數學中的構造法進行探究，具體以例題的形式進行討論，將從構造平方差、完全平方公式，構造三角形求角，構造中位線等三個方面展開例談.

1構造平方差、完全平方公式

這種題型主要是考查學生對平方差公式和完全平方公式的應用.為了能簡單地解決問題，通過構造的方法創造平方差公式和完全平方公式的應用條件，然后利用平方差公式和完全平方公式進行解答.

例1 已知 a-b=-4，ab=2 （1）求 a²+b² 的值；

（2）求 （a+b）² 的值.

解（1）已知 a²+b²=a²-2ab+b²+2ab= （a-b）²+2ab ，

因為 a-b=-4，ab=2 ，

所以 a²+b²=（a-b）²+2ab=（-4）²+2× 2=16+4=20

（2）因為 （a+b）²=a²+2ab+b²

=a²-2ab+b²+4ab

=（a-b）²+4ab.

因為 ，

所以 （a+b）²=（a-b）²+4ab=（-4）²+ 4×2=16+8=24. （20

評注該題是平方差公式和完全平方公式的應用，已知 a-b=-4，ab=2 ，要求 a²+b² 和（a+b）² 的值.根據題目類型，要能快速地解決問題，需要將 a²+b² 和 （a+b）² 的形式構造成已知a-b=-4，ab=2 的形式，代入就可以解答.其中a²+b² 是通過減 2ab 的形式構造成了 （a-b）²+ 2ab;（a+b）² 是通過加 2ab ，構造成了 （a-b）²+ 4ab 的形式，然后代入求解即可.

2 構造三角形求角

有的幾何問題要求多邊形的角，可以根據三角形的內角和定理，構造出三角形，從而求出需要求的角的角度大小.

例2如圖1，已知ABCDE是正五邊形（5條邊相等的五邊形），求 ∠ABC 的度數.

解如圖2所示，將正五邊形構造成5個全等三角形，

則有 ∠AFB=∠BFC=∠CFD=∠DFE=

又因為 AF=BF=CF=DF=EF ，

所以 ∠ABF=∠CBF=∠BCF=∠DCF= ∠CDF=∠EDF=∠DEF=∠AEF=∠EAF =∠BAF ，

則 所以 ∠ABC=∠ABF+∠CBF=2×54^°=108^°.

評注該題是利用三角形的內角和定理求角的度數，但是題目所給的不是三角形，而是正五邊形，在解決問題時，需要在正五邊形里面構造出三角形，然后利用三角形內角和定理進行求解.具體做法是如圖2所示，在正五邊形ABCDE內構造出5個全等三角形，根據周角可得到 ∠AFB 的大小，然后根據等腰三角形ABF，可以求出 ∠ABF 的度數，進一步可得 ∠ABC 的度數.

3構造三角形的中位線

中位線是三角形中重要的輔助線，在解三角形問題時，經常需要構造中位線進行處理，這是初中數學中常見的情形之一.

例3如圖3，矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點 $^ { ＼var O ， E }$ 是BC上一點， F 是DE的中點，若ΔBED 的周長為10，求 ΔOCF 的周長.

解如圖3，連接 OF，CF

因為矩形 ABCD ，

所以 AC=BD

∠BCD=90^°

所以

又因為 F 是 DE 的中點，

所以 OF 為 ΔBDE 的中位線，

所以 0

所以 因為 ΔBED 的周長為10，所以

所以 ΔOCF 的周長為5.

評注該題是矩形中，已知 ΔBED 的周長為10，求 ΔOCF 的周長.已知條件中沒有體現 ΔBDE 的中位線，需要用輔助線作出，再進行求解.已知 F 是 DE 的中點，連接 OF，CF ，則 OF 為 ΔBDE 的中位線，根據中位線進行線段長度的轉移即可求出ΔOCF 的周長.在三角形中，主要利用三角形的中位線等于底邊的一半，在很多時候需要用其進行長度的轉化，包括梯形和平行四邊形的中位線，都是經常應用的東西，所以在解決問題時，應根據需要進行中位線構造.

4結語

本文是以北師大版初中七年級數學為研究背景，探究構造法在解題中的應用效果和長期作用.構造法適用的題型很多，可以是代數問題，也可以是幾何問題.本文從能利用構造法的題型中篩選出三個典型的方面，一是平方差公式和完全平方公式的應用方面，二是構造三角形利用三角形內角和定理求角度問題，三是解決三角形問題時構造中位線.本文以具體例題進行討論，探究了構造法的具體適用方法，以及構造法的應用技巧，以點帶面，以供大家參考.

參考文獻：

[1]李琴霞.幾何構造法在初中數學解題過程中的妙用[J]中學數學，2023（20）：67-68.

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[3]李斐.淺議構造法在初中數學解題中的有效運用[J].數理化解題研究，2019（5）：33-34.