新高考背景下數學運算核心素養提升策略

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）21-0029-04

新高考注重考查學生的學科核心素養和關鍵能力.數學運算作為數學學科核心素養之一，貫穿數學學習的始終，無論是基礎題還是難題，都離不開數學運算.高考對數學運算核心素養的考查，主要體現在學生必須在有限的時間內，根據每道試題的條件，靈活選擇合適的解題方法和運算策略，并準確運用各種數學公式和運算法則進行計算.新高考模式雖然減少了試題數量，但對學生核心素養的考查力度顯著增強，更加注重考查學生的數學思維和解題策略.數學運算核心素養不僅是學生解決數學問題的基礎能力，更是邏輯推理、數學抽象、數據處理等多種素養協同發展的重要支撐.因此，提升學生的數學運算核心素養，已成為高中數學教學的關鍵任務.

1學生數學運算核心素養的現狀及問題分析

（1）基礎知識薄弱，對數學概念理解不透徹，對數學公式記憶錯誤.例如，在運用等比數列前 n 項和公式 時，有些學生記錯公式，有些學生忽略 q 是否為1的討論，還有些學生不理解 n 的含義，無論多少項求和都代入 n 進行運算

（2）書寫不規范、字跡潦草，導致看錯數字、抄錯符號，加上運算習慣不好，學生缺乏對運算結果進行檢驗的意識.例如，學生在運算時將“b”寫成“6”，將\" a_n+1 ”寫成\" a_n+1^? ：

（3）思維定式和缺乏運算技巧，使得學生只習慣按部就班進行常規運算，而不善于觀察題目特點、挖掘潛在的簡便運算方法.例如，在計算三棱錐的體積時，經常可以采用變換底面或割補法來簡化運算[1].

2學生數學運算核心素養的提升策略

2.1 強化基礎知識教學

2.1. 1 深化概念理解

在教學中，教師可通過豐富的實例、圖形、多媒體等手段，幫助學生深人理解數學概念的本質.例如，在全概率問題的教學中，有些學生覺得不寫公式也能夠計算出正確結果，寫了公式反而經常出錯；還有些學生甚至不會根據具體問題來寫公式.這正是由于學生未理解全概率公式的含義.因此，教師在教學時，應先講清楚條件概率公式和乘法公式，再結合Venn圖幫助學生理解全概率公式.

2.1. 2 公式推導與記憶結合

數學公式的教學應引導學生參與推導過程，理解公式的來龍去脈，而非單純記憶.例如，在等差數列前 n 項和的教學中，教師不能僅讓學生記住公式，還需滲透倒序相加法的思想，使學生掌握這種方法及其使用條件.教師還可以通過以下的問題設置，延伸出倒序相乘法.

問題 已知函數 f（x） 滿足對于 ?xgt;0 有 f（x）gt; 0，且 求 （204號

2.2 講透學生的運算“卡點”

學生在運算時經常會遇到一些“卡點”，這些“卡點”或是因為運算公式不熟悉，或是因為運算技巧沒掌握.此時，教師更應重視這些“卡點”，只有將其講懂講透，才能真正提升學生的運算能力.

例如在“橢圓的標準方程”的授課中，對于方程 的變形，有些學生可能會直接將方程兩邊同時平方，導致計算量較大而“卡住”.此時如果教師只是告知學生先將該方程移項變形成 一 ，再進行平方，學生就可以按課本的方法繼續運算，這樣的教學方式，教師僅僅能讓學生了解優化的算法，并沒有解決學生的“卡點”.直接將原方程兩邊同時平方，接下去怎么算？這個問題在之后“雙曲線的標準方程”的授課中，會再次遇到：學生利用雙曲線定義可以得到方程 ，因為絕對值的存在，可能會有更多的學生選擇將方程兩邊平方，那將再次遇到了上述“卡點”.可見，回避并不是最好的方法，教師應講透這個“卡點”.

對于 兩邊平方，令 t=x²+c²+y² ，則

所以

兩邊平方，化簡得 a²t-c²x²=a⁴ 所以 （a²-c²）x²+a²y²=a²（a²-c²）

可見，直接將原方程兩邊平方，也可以化簡出結果，只是中間需要通過 t=x²+c²+y² 換元來簡化運算.教師如果能把這種方法講清楚，不僅能化解學生的“卡點”，還能提高學生的運算能力.

2.3 面對運算，不畏難，勤訓練

高考教學試卷中最大的運算量經常出現在解析幾何題中，這類題目往往思路簡單，但運算比較復雜.大部分學生本就畏懼運算，運算越復雜越容易放棄，而有些教師在講評時，僅分析解題思路，忽略計算過程，導致學生的運算能力始終得不到提高，這種做法是不可取的.解析幾何題是考查數學運算核心素養的重要載體，既然無法回避，教師在教學中就應引導學生敢于面對，使其掌握通解通法，并將訓練由易到難逐步提升運算難度，從而提升學生的運算能力.

例1（2024年全國新高考I卷數學第16題）已知 A（0，3） 和 為橢圓 c gt;0 ）上兩點.

（1）求 c 的離心率；

（2）若過 P 的直線 l 交 C 于另一點 B ，且 ΔABP 的面積為9，求 l 的方程.

第（1）問比較常規，只要把已知的兩點代入橢圓方程，聯立方程組即可求得 ，從而求出離心率.

第（2）問，將題目條件直譯成數學式子，可得到以下解法：

① 當 l 的斜率不存在時， ，所以 |PB|=3，A 到 PB 的距離為 d=3 ，

此時S△ABP 不滿足條件.

② 當 ξ_l 的斜率存在時，設 ， （設 P（x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，由 消 y 得

（4k²+3）x²-（24k²-12k）x+36k²-36k-27=0， （20號其中 Δ=（24k²-12k）²-4（4k²+3）（36k²- 36k-27）gt;0 ，且 k≠k_AP ，即 所以 所以 因為點 A 到直線 PB 的距離 所以 ，解得 或 k 均滿足題意，

所以直線 l 的方程為 或

這種解法能直接轉化題目條件，屬于通解通法，且思路清晰.只要平時多加訓練，學生完全可以正確運算并作答本題.當然，這種解法也有缺點，其主要問題在于運算量較大，既容易出現失誤，也浪費作答時間.因此，教師需考慮優化運算的方法

2.4 優化算法，降低運算量

對于復雜運算，教師應引導學生尋找簡便的算法.在教學過程中，教師可以選取典型例題，組織學生進行一題多解的討論與練習，通過對比不同方法的優劣，從中選擇最簡便的運算路徑.例如，對于上面這道高考題，可以從以下幾種思路入手，優化算法

思路1 優化三角形面積的計算方法.

當 l 的斜率存在時，設 設 ξ_l 與 y 軸的交點為 Q ，令 x=0 ，得 聯立 消 y ，得 （3+4k²）x²-

其中

36k-27）gt;0 ，且 k≠k_AP ，即 由 得 所以 ，解得 或

均滿足題意.所以直線 l 的方程為 或

思路2 優化直線方程的設法.

① 當直線 AB 的斜率不存在時， B（0，-3） ， ，符合題意，此時直線 l 的斜率 所以直線 l 的方程為 2x-3，即3x-2y-6=0.

② 當直線 AB 的斜率存在時，設直線 AB 的方程

為 ，聯立橢圓方程有 則

（2號 （4k²+3）x²+24kx=0 ，其中 k≠k_AP ，即 ，解得 x=0 或 令 則 因為直線 AP 的斜率為 所

以直線 AP 的方程為 2x+3，即x+2y -6=0.因為 設點

B 到直線 AP 的距離為 d ，因為 ΔABP 的面積

，所以 由

（204號 解得 此時 ，所以直線 ξ_l 的

斜率 （1

所以直線 l 的方程為 ，即 x-2y=0 綜上，直線 l 的方程為 3x-2y-6=0 或 x-2y=0. （2思路3 優化點坐標的求法

在思路2中，直接設 ，由 解得 B（0，-3） 或

當 B（0，-3） 時，此時 直線 ξ_l 的方程為 ，即 3x-2y-6=0 ;當 時，此時 直線 ξ_l 的方程為 即， x-2y=0 綜上，直線 l 的方程為 3x-2y-6=0 或 x-2y=0. （204號思路4 優化點坐標的設法.

對于思路3，設 ，其中 θ∈

^[0，2π） ，則有 所以 （2所以 或 9

舍）.因為 所以 或 所以 B（0，-3） 或

思路5 利用圖形中的幾何性質.

在思路2中，將直線 AP 沿著與 AP 垂直的方向平移 個單位長度，該平行線與橢圓的交點即為點 B ，設該平行線的方程為 x+2y+C=0

由 解得 C=6 或 C=-18

① 當 C= 6 時，聯立 解得（2號

當 B（0，-3） 時，此時 直線 l 的方程為2x-3，即3x-2y-6=0;當B（-3，-）時，此時 直線 l 的方程為 2x，即x-2y =0.

② 當 C=-18 時，聯立 得 2y² （20-27y+117=0 因為 Δ=27²-4×2×117=-207 lt;0 ，所以該直線與橢圓無交點.

綜上，直線 l 的方程為 3x-2y-6=0 或 x-2y=0

2.5 培養學生良好的運算習慣

在平時的教學中，教師應要求學生在作業和考試中嚴格按照運算格式和書寫規范進行作答，書寫工整清晰，避免因書寫不規范出錯.教師在批改作業時，對書寫不規范的情況應及時糾正.同時，引導學生養成做題后進行自我檢驗的習慣，例如通過代人法檢驗方程的解是否正確、利用特殊值法檢驗代數式化簡結果是否合理等，從而逐步提高運算的準確性

3 結束語

在新高考背景下，提升學生數學運算核心素養是一項系統性工程.教學過程中，教師需從基礎知識鞏固、運算技巧培養、習慣養成以及思維拓展等多方面入手，持續引導和訓練學生，使學生的數學運算能力得到切實提升，以更好地適應新高考的要求，為其未來的學習和發展奠定堅實基礎

參考文獻：

[1］高宇.理清三個問題，突破解析幾何運算難關[J].中小學數學（高中版），2022（Z2）：115-117.

[責任編輯：李慧嬌]