探究一幅圖生成的二次函數(shù)問題

摘 要：二次函數(shù)在初中數(shù)學中占有重要地位，是歷年中考壓軸題的重要命題對象。為此，筆者基于一幅簡圖，逐漸添加已知條件，復習二次函數(shù)整章內容，節(jié)約教學時長，使二次函數(shù)復習過程靈活化、個性化和高效化。同時，在教學過程中，使學生體會“斜化直”轉化的數(shù)學思想，感受知識間的融會貫通，推動學生基本數(shù)學思想和素養(yǎng)的形成。

關鍵詞：二次函數(shù)；轉化思想；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）14-0069-03

收稿日期：2025-02-15

作者簡介：邵浩宇，研究生，一級教師，從事初中數(shù)學教學研究。

數(shù)學是一門邏輯性很強的學科，能夠有效培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內容，也是學生比較難掌握的知識，在整個初中階段有著豐富的內涵和外延，也能為高中曲線的學習奠定基礎。波利亞曾說過，學習任何知識的最佳途徑都是通過自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的內在規(guī)律、性質和聯(lián)系。因此，在初中數(shù)學課堂教學中，教師要給學生思考、探究、互動交流的空間[1]。基于此，在二次函數(shù)復習教學中，筆者通過創(chuàng)設情景、設計師生活動，讓學生在活動中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并解決問題，在活動中認識數(shù)學，以此提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

1 二次函數(shù)復習目標

二次函數(shù)的復習目標為根據(jù)二次函數(shù)圖象讀出符號、性質等信息，會求二次函數(shù)解析式，靈活運用二次函數(shù)知識解決面積、動點等最值問題；體會“斜化直”轉化的數(shù)學思想，把不同的問題轉化為同一類問題解決。教師通過課堂上的師生活動，激發(fā)學生積極參與、自主設計問題，感悟問題之間的聯(lián)系，體會數(shù)學的基本思想。

本節(jié)課是一節(jié)開放型的復習課，教師從一個簡單的二次函數(shù)圖象入手，逐步添加題目的主干條件，讓學生自主設計問題，并解決問題。經(jīng)過分析討論，學生能夠發(fā)現(xiàn)這些問題所蘊含的通性通法，總結解題策略，從而提高分析問題和解決問題的能力。

2 教學過程

2。1 與二次函數(shù)有關的定點問題

師導入：古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯說，在數(shù)學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道的。希望通過這節(jié)課的學習，同學們能夠對“怎么知道的”有清晰的認識。

如圖1，這是什么圖形？

生：這是一條拋物線，它是二次函數(shù)的圖象。

師：如果把二次函數(shù)的圖象放在平面直角坐標系中，那么就可以確定其解析式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）中的符號，研究二次函數(shù)的性質。

問題1 如圖2，觀察二次函數(shù)的圖象，請問你能得到哪些結論？

生：agt;0，blt;0，clt;0，Δgt;0，a+b+clt;0，它有最小值，能夠得到它的增減性。

問題2 現(xiàn)在能求出該函數(shù)的表達式嗎？添加一個條件呢？請舉例說明。

學生添加一個坐標，如（3，0），然后選擇解析式三種形式中的一種求解，得到此函數(shù)的表達式為y=x2-2x-3。最后，生生互評、對比優(yōu)化方法，發(fā)現(xiàn)設頂點式、交點式的求解過程較簡單。

通過上述師生活動，復習了二次函數(shù)的三種解析式：頂點式、交點式和一般式。在利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式時，應注意根據(jù)題目的條件選擇合適的解析式求解，以此簡化解題過程。

問題3 在圖2的基礎上，作直線BC，如圖3所示，請問你能提出哪些問題？

生：（1）求直線BC的解析式；

（2）二次函數(shù)與一次函數(shù)的函數(shù)值相等時，求對應的方程的根；

（3）二次函數(shù)的函數(shù)值大于一次函數(shù)時，求自變量的取值范圍。

學生自主探究，解決上述問題。

問題4 如圖3，連AC，AB，你能設計哪些問題？

生：△ABC的面積是多少？

生生互動分析、總結解題方法：“斜”三角形可以用分割的方法或補充的方法求解，或發(fā)現(xiàn)該三角形是直角三角形后直接用面積公式求解。師生共同點評，對比優(yōu)化學生的方法，總結求“斜”三角形面積的最佳解題策略，其面積公式為S=12×鉛錘高×水平寬。

2.2 二次函數(shù)的動點問題

師：上述問題都是定點問題，下面研究二次函數(shù)的動點問題。

問題5 如圖4，設動點P為直線BC下方拋物線上的點，過P作PN∥y軸交直線BC于N點，則PN的最大值是多少？

教師引導學生回顧求線段最值的方法：一個動點找軌跡；兩個動點則通過構建目標函數(shù)解決。本題中有兩個動點，學生自主構建函數(shù)模型PN=yN

-yP，然后配方得PN的最大值。

師：你能設計出哪些問題？

問題6 生：（1）△PBC面積的最大值是多少？

生生互動，討論該“斜”三角形面積最值問題的求解策略，教師可適當提示和指導。

生：運用上述活動推導出的面積公式S=12

×鉛錘高×水平寬，△PBC面積的最值問題最終轉化為求“直”線段PN的最值問題。當過P點的直線與該拋物線相切時，△PBC的面積最大。

問題5和問題6相互聯(lián)系，都是構造函數(shù)模型，應把不同問題轉化為同一類問題解決。教師將問題6中“斜”三角形面積的最值問題最終轉化為問題5中的“直”線段PN的最值問題求解，讓學生體會轉化的思想。

問題7 你還能設計出哪些問題？

生：（2）點P到直線BC的距離PM的最大值是多少？

師：引導學生把“距離”看作三角形的“高”，相當于求問題6中△PBC面積的最大值，最終也轉化為求問題5中“直”線段PN的最大值。

教師因勢利導，引導學生換個思維，易發(fā)現(xiàn)45°角，△PNM是等腰直角三角形，PN=2PM，求PM最大值相當于求PN的最大值，在解題過程中可以運用“斜化直”的數(shù)學思想。

師：是否可以求△PNM周長及面積的最大值？

學生解答，互評總結，然后引導學生設計問題。

生：（3）是否存在P點，使△PBC的面積等于△ABC的面積？

（4）是否存在P點，使△PBC為直角三角形？

（5）是否存在P點，使△PBC為等腰三角形？

學生自主探究，構建方程模型，解決上述問題。

教師通過求線段的最值，引導學生自主設計問題，探索過程中發(fā)現(xiàn)“斜”線段、“斜”三角形面積、周長的最值問題都可以轉化為求“直”線段PN的最值問題來解決，進而引導學生總結不同問題的通性通法。

2.3 學以致用，直擊中考題

例1 （2021年無錫中考題）如圖5，在平面直角坐標系中，點C為y軸正半軸上的一個動點，過點C的直線與二次函數(shù)y=x2的圖象交于A，B兩點，且CB=3AC，P為CB的中點，設點P的坐標為P（x，y）（x＞0），y關于x的函數(shù)表達為。

圖5 例1圖

分析 本題運用“斜化直”的思想。過A作AD⊥y軸于D，過B作BE⊥y軸于E，如圖6所示。由CB=3AC，得CE=3CD，BE=3AD，把“斜”線段CB，AC轉化為“直”線段CE，CD，BE，AD求解。設AD

=m，可得P（32m，6m2），所以y=83x2。

例2 （2023年無錫中考題）已知二次函數(shù)y

=22（x2+bx+c）的圖象與y軸交于A點，且經(jīng)過點B（4，2）和點C（-1，2）。

（1）請直接寫出b，c的值；

（2）直線BC交y軸于點D，點E是二次函數(shù)y=22（x2+bx+c）圖象上位于直線AB下方的動點，過點E作直線AB的垂線于點F，求EF的最大值。

分析 過點E作y軸平行線交AB，BD于G，H。易得cos∠FEG=63，所以EF=63EG，“斜”線段EF轉化為“直”線段GE求解。設出E點的橫坐標，則可得到EG=yG-yE，根據(jù)二次函數(shù)的性質求解即可。

點評 兩道中考題都運用了“斜化直”思想，學生運用所學知識解決問題，既實現(xiàn)了學以致用的目標，又使所學知識得到了及時反饋，起到了鞏固提高的作用。

3 教學小結

通過研究一幅圖生成的二次函數(shù)問題，復習了面積問題、最值問題、直角三角形問題、等腰三角形問題等常見題型。學生由此掌握了自主探究構建目標函數(shù)和方程模型的解題策略，從二次函數(shù)知識點的復習到數(shù)學問題的解決，體會到了基本數(shù)學思想。同時，這堂復習課教學讓學生形成了一個單元知識的閉環(huán)，完成了大單元知識的建構［2］。

4 結束語

二次函數(shù)的復習探究對提高學生的數(shù)學水平具有重要作用。基于一幅圖的個性化、靈活化的復習策略，與時俱進，摒棄了傳統(tǒng)的復習課教學模式，更能激發(fā)學生的興趣。本節(jié)課是基于新課程標準背景下的有效課堂教學，是一節(jié)充分發(fā)揮教師為引導、學生為主體的復習課，使學生在探索中敢于創(chuàng)新，從而提升

綜合素養(yǎng)。

參考文獻：

［1］姚楚舒。深化課堂教學，讓“創(chuàng)新”之花美麗綻放[J]。數(shù)理化解題研究，2015（8）：13。

[2] 羅文華。初中數(shù)學二次函數(shù)問題的解題策略探析[J]。數(shù)理天地（初中版），2024（11）：16-17。

［責任編輯：李慧嬌］