巧構造 善推理

摘 要：以圓內接四邊形為背景的幾何綜合題是浙江省中考數學試題的常見問題，也是學生解題的難點。在解題過程中，學生通常難以想到輔助線的構造方法，無法自然形成解題思路。筆者針對2024年中考壓軸題，基于學情，始于教材，從學生思維出發，自然構造輔助線，教會學生借助圖形分析問題，形成解決問題的基本思路，發展學生的模型觀念，從而提升其幾何推理能力。

關鍵詞：構造；模型；推理；解法

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）14-0029-03

收稿日期：2025-02-15

作者簡介：馬飛，碩士，高級教師，從事初中數學教學研究；沈敏輝，本科，二級教師，從事初中數學教學研究。[FQ）]

2023年10月26日浙江省教育廳發布了《浙江省教育廳關于實施初中學業水平考試全省統一命題的通知》，以此穩步實施浙江省初中學業水平考試全省統一命題工作。筆者認為，考慮到絕大部分地區學生的學情，題目的難度一定會有所下降。為了把握新中考后續的命題方向，筆者對2024年浙江省中考數學第24題展開分析，供讀者參考。

1 試題呈現

（浙江省2024年中考數學第24題）如圖1，在圓內接四邊形ABCD中，ADlt;AC，∠ADClt;∠BAD，延長AD至點E，使AE=AC，延長BA至點F，連接EF，使∠AFE=∠ADC。

（1）若∠AFE=60°，CD為直徑，求∠ABD的度數；

（2）求證：①EF∥BC；②EF=BD。

2 解法探究

從問題設置來看，第（1）問低起點，非常簡單，起鋪墊作用，適合大多數學生。第（2）問是重點，學生需要熟練掌握“圓內接四邊形對角互補”性質、平行線判定等知識，并有機結合，適合中等水平學生。第（2）問中的第②小問是難點，其難度較大，考查學生的幾何構造能力與推理能力，適合基礎較好的學生，具有極強的選拔性功能，限于篇幅，筆者主要研究第②小問。

思路1 作平行，構全等。

解法1 如圖2，過點C作CG∥AD，交圓于點G，連接GD，GB。因為CG∥AD，所以∠DAC+∠ACG=180°。因為四邊形ADCG內接于圓，所以∠DAC+∠DGC=180°，所以∠DGC=∠ACG。同理可得∠DGC=∠ACG=∠ADG=∠DAG=90°。又因為AE=AC，所以AE=AC=DG。四邊形ADGB內接于圓，所以∠EAF=∠DGB。又因為∠AFE=∠ADC，所以△EAF≌△DGB，所以EF=BD。

解法2 如圖3，過點B作BG∥AD，交圓于點G，連接GA，GC，GD。因為BG∥AD，所以AG=DB。四邊形ADGB內接于圓，所以∠EAF=∠DGB。因為AG=DB，所以∠ACG=∠DGB。因為∠AFE=∠ADC，所以∠AFE=∠ADC=∠AGC。又AE=AC，所以△EAF≌△ACG，所以EF=AG。故EF=BD。

解法3 如圖4，過點A作AG∥BC，交圓于點G，連接GB，GC，GD。四邊形ADGB內接于圓，所以∠EAF=∠DGB。因為AG∥BC，所以AC=BG=AE。因為AC=BG，所以∠AGC=∠GAB，所以∠AGC

=∠ADC=∠GAB=∠GDB。又∠AFE=∠ADC，所以∠AFE=∠GDB，所以△EAF≌△BGD，故EF=BD。

解法4 如圖5，過點D作DG∥AB，交圓于點G，連接GA，GC，GD。在AF上取一點H，使EH=EA。因為DG∥AB，所以AG=BD，∠ACG=∠DAB。因為EH=EA，所以∠EAH=∠EHA。因為∠EAH+∠DAB=180°，∠EHA+∠EHF=180°，所以∠EHF

=∠DAB，所以∠EHF=∠ACG。因為∠AFE=∠ADC，

∠AGC=∠ADC，所以∠AGC=∠AFE。又因為AE=AC=EH，所以△EHF≌△ACG，所以EF=AG。從而易知EF=BD。

解法5 如圖6，過點D作DG∥BC，交圓于點G，連接GA，GC，GD。由解法1可知，四邊形CGDB是等腰梯形。因為四邊形ADCB內接于圓，所以∠EAF=∠DCB。因為DG∥BC，所以∠EAF=∠DCB

=∠GDC=∠GAC。又因為∠AFE=∠ADC=∠AGC，

AE=AC，所以△AEF≌△ACG，所以EF=CG。從而易知EF=BD。

解法6 如圖7，過點E作EG∥BF，構造平行四邊形EFBG，連接EC，GD。因為EG∥BF，所以∠G+∠ABC=180°。因為∠EDC=∠ABC，所以∠G+∠EDC=180°，即E，D，C，G四點共圓，所以∠DEC

=∠DGC。因為AE=AC，所以∠DEC=∠ACE=∠DGC。設∠DEC=∠ACE=∠DGC=x，則∠EAC

=180°-2x，∠DBC=180°-2x，∠GDB=180°-∠DGC-∠DBC=180°-x-（180°-2x）=x，所以∠DGB=∠BDG，所以BD=BG。又因為四邊形EFBG是平行四邊形，所以BD=BG=EF。

思路2 作平行，構相似。

解法7 如圖8，延長DA，CB交于點G。易證△EFA∽△GBA，所以EFBG=AEAG，即AGBG=AEEF。又因為∠ADB=∠ACB，所以△GAC∽△GBD，所以ACBD

=AGBG，ACBD=AEEF。因為AE=AC，所以EF=BD。

解法8 如圖9，過點D作DG∥EF。易證△EFA∽△DGA，故GDAD=EFAE。因為∠DCA=∠DBA，∠AFE=∠ADC=∠DGA，所以△DAC∽△GBD，所以GDAD

=BDAC，故ACBD=AEEF。因為AE=AC，所以EF=BD。

3 試題評價

3.1 全面考查“四基”，堅持素養立意

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出，以核心素養為導向的考試命題要關注數學的本質，關注通性通法，綜合考查“四基”“四能”等核心素養[1]。在本題第（1）問中，“CD為直徑”是關鍵詞，容易想到“直徑所對圓周角為直角”，結合所給角度∠AFE=60°，易得出同弧所對圓周角的度數。第（2）問以∠AFE=∠ADC為題眼，以EF∥BC為指引方向，圖形結構簡單，易于引發聯想。一方面考查圓內接四邊形圓的性質與平行線的判定等核心知識，另一方面考查學生運用數學思維思考與數學語言表達的能力，讓學生“跳一跳”就能夠得著，體現了人文關懷，堅持了素養立意。

3.2 重點考查四能，凸顯育人導向

本題圖形結構簡單、問題表達清晰，涵蓋了幾何證明的主要方法，注重考查學生思維過程，滲透了化歸思想。本題通過構造全等三角形、相似三角形或平行四邊形，讓學生經歷分析和解決問題的過程，并用數學語言嚴謹表達思維過程，實現了對核心素養導向的數學課程學業質量的全面考查，具備選拔功能。

4 教學導向

4.1 強化基礎知識，練就基本技能

在初中數學教學中，教師應該研讀《課程標準》，注重教學內容的結構化，強化對數學本質的理解，關注數學概念的發生發展。在把握學情的情況下，關注學生解決問題時遇到的實際障礙，采取精準講解、小組合作等形式培養學生解決問題的能力。

4.2 關注一題多解，發展推理能力

一題多解可以開闊思路、發散思維，促進學生多角度分析和解決問題；而多解歸一可以加深學生對數學原理、通性通法的認識，提高解題技巧和能力。在教學中，師生需共同對不同解法進行提煉、優化與歸納。與此同時，

教師要注重學生參與的廣度和深度，在解決問題過程中發展學生邏輯推理能力。

4.3 注重反思歸納，確保素養落地

在初中數學教學中，教師應引導學生做好

歸納總結：一是引導學生用整體的知識結構整理本題包含的知識點；二是解題路徑與方法的總結；三是數學思想的提煉。這樣才能確保核心素養真正落地。

5 結束語

筆者研究了2024年浙江省中考數學試卷的壓軸題，分析了題目中的條件和結論，并結合知識考點，從不同角度探究其解答，還分析了試題所蘊含的數學邏輯，剖析其所要培養的數學素養，旨在幫助教師更好地掌握中考數學命題方向。

參考文獻：［1］ 中華人民共和國教育部。義務教育數學課程標準（2022年版）[M]。北京：北京師范大學出版社，2022。

［責任編輯：李慧嬌］