“卷進”核心素養 突出能力考查

摘 要：2024年福建省中考數學壓軸題是一道經典的幾何問題。對于此題中的比值問題，主要思考方向是相似三角形的對應邊成比例、三角函數比值或比例的性質。證相似時，需找對應角證相等或對應邊成比例，再根據條件推導關鍵結論，正推逆推相結合。解答壓軸題需要注重審題，條件結論很重要，多轉化，多遷移，抽絲剝繭找關鍵；分板塊，聚焦點，集中火力攻難點。壓軸題是多個知識點的有機結合，在解題過程中，要先抽絲剝繭，把思路搞清楚，再把解題過程分成幾個板塊逐個擊破，對于一些關鍵難點，還要把它先分割，然后獨立出來集中精力思考。

關鍵詞：壓軸題；幾何問題；核心素養；解法；賞析

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）14-0063-03

2024年福建中考數學第25題是一道幾何壓軸題，其綜合性較強，承載著一定的選拔性功能，大部分學生感覺解題壓力很大，甚至直接放棄解答。事實上，這道題的難度并不大，大部分學生通過適當的解題訓練，就非常有可能正確解決此題。追“根”溯“源”，筆者發現這是一道好題，其命制和考查的目的在于“卷進”數學核心素養，突出幾何綜合能力考查，具有一定的研究價值。

1 原題再現

（2024年福建省中考數學第25題）如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，AE⊥OC，垂足為E，BE的延長線交AD于點F。

（1）求OEAE的值；

（2）求證：△AEB∽△BEC；

（3）求證：AD與EF互相平分。

2 思路分析

從圖形結構特征可以看出，△ABC是等腰直角三角形，AD是斜邊上的高線。由此易知△ABD和△ACD也是等腰直角三角形。除此之外，根據圓的有關性質易得到相似三角形。

2.1 第（1）問的求解思路

在解決數學問題時，教師應引導學生從題目的敘述開始，讓學生熟悉題目并理解所求問題與已知條件之間的邏輯關系。對于此問題，線段OE和AE是同一直角三角形的兩條邊，即∠OAE的正切值。解決此題最直接的思路是找等角轉化，根據已知條件可發現∠OCA的正切是容易得到的。此外，也可以這樣考慮，線段OE和AE是△AOE的兩條邊，因此可利用相似三角形的性質，找到與其相似的△COA，從而得到OEAE=OAAC=12。在解決問題的過程中，須從不同角度思考，多方位尋找解決問題的方法［1］。

2.2 第（2）問的求解思路

從圖形結構特征及已知條件可以看出，此題有多種證明方法，旨在考查學生分析問題和解決問題的能力，即如何從結論出發，倒著分析；或從條件出發，順著分析；或從結論條件出發綜合分析。

思路1 （逆推分析）欲證△AEB∽△BEC，只需證明∠AEB=∠BCE，∠EAB=∠EBC，可證明∠ABE+∠EBC=∠ABC=45°，∠OEB=∠BCE+∠EBC，即證∠OEB=45°=∠OBC，只需證明∠BOE

=∠COB，即證明OBOC=OEOB。在此待證的比例式中，注意到OA=OB，因此可把OB用OA替換，得到OAOC=OEOA，只需△AOE∽△COA，此為第（1）問所解決問題。

思路2 欲證△AEB∽△BEC，只需證明∠OEB=45°，易聯想到等腰直角三角形。根據AE=2OE，∠AOE=90°及O是AB的中點，不難想到倍長中線法，如圖2所示。具體證明思路如下：過點B作BM⊥CO，交CO的延長線于點M。易證△BOM≌△AOE，所以BM=AE=2OE=EM，所以△BME是等腰直角三角形，所以∠OEB=45°。

點評 在以上兩種解題思路中，思路1更能體現學生的思維能力，其思維含量大，也能夠體現前后問題的銜接。第（2）問的證明可化歸到第（1）問所證明的相似三角形，而且不需要添加輔助線。思路2也是比較自然的，由第（1）問求解出的線段2倍關系，結合圖形條件聯想到構造倍長中線，進而利用等腰直角三角形得到45°角，從而破題。雖然兩種解法有異，但都是從結論的逆推入手的。由此可以看出，為有效解決問題，一定要做好推理和分析，結論的逆向推導更能體現解決問題的目標性。

2.3 第（3）問的求解思路欲證明AD與EF互相平分，只需連接DF，DE，證明四邊形AFDE是平行四邊形即可。

具體解題思路分析如下：易知∠AEF=45°，因為∠DFB=∠DAB=45°，所以∠DFB=∠AEF，所以DF∥AE。在此基礎上，只要證明DF=AE或AF∥DE即可解決問題。顯然，證明DF=AE相對困難，此處優先考慮證明AF∥DE。欲證明AF∥DE，已知∠AFE=90°，只需證∠FED=∠BED=90°，或證明∠ADE=∠DAF。考慮到∠DFE=45°，只需證明△DEF是等腰直角三角形。為此，只需要證明EF=DE，或證明∠CED

=45°，或證明∠EDF=45°。

2.3.1 利用四點共圓證明AF∥DE

根據圖形結構特征，易發現A，C，D，E四點共圓，如圖3所示。故可以考慮利用四點共圓轉化角證明平行。具體證明過程如下：因為AB是⊙O的直徑，所以∠CDA=∠CEA=90°，所以A，C，D，E四點共圓，所以∠ADE=∠ACE=∠DBF=∠DAF，從而易知AF∥DE。

2.3.2 利用垂徑定理證明ED=EF

易知∠AEF=45°，所以∠DFE=∠AEF，即DF∥AE，又因為AE⊥CO，從而DF⊥CO。根據垂徑定理可得CO垂直平分DF，從而可得EF=DE。具體證明過程如下：如圖4，連接DE，EF。因為∠BEO=∠DAB=45°，所以AE⊥BE，所以∠AEF=∠DAB=∠DFB=45°，所以DF∥AE，所以AE⊥CO，所以CO垂直平分DF，從而可得ED=EF。

2.3.3 利用相似三角形的性質證明∠BED=90°

如圖5，連接DE。易知△AEB∽△BEC，所以BEAE=BCAB=2，所以BDAO=2BDAB=2，所以BEAE=BDAO，從而可知∠EBD=∠EAO，所以△BDE∽△AOE，所以∠BED=∠AEO=90°。

2.3.4 利用相似三角形的性質證明∠CED=45°

如圖6，連接DE。易得△CAE∽△COA，由相似三角形的性質可知CE·CO=CA2=CD·CB，所以△CDE∽△COB，所以∠CED=∠CBO=45°。

2.3.5 利用相似三角形的性質證明∠EDF=45°

如圖7，連接OD，DE，DF，AF，易知∠EOD=∠FAD，所以AFOE=2AFAE=2，又因為ADOD=2，所以AFOE=ADOD，所以△ADF∽△ODE，所以∠EDF=∠ADO=45°。

當然，第（3）問還有很多種解法，這里不一一展示。解題是一種實踐性技能，學生可以通過模仿和實踐學會任何一種實踐技能。在初中數學教學中，教師可以通過訓練，讓學生在有限的時間內準確地找到問題的切入點，充分發揮自身的數學素養，快速展現思維分析過程，從而達到高效解題的目的［2］。

3 教學啟示

在幾何問題教學中，教師可通過“會想”“會畫”“會說”“會寫”四個步驟引導學生學習。“會想”是發展幾何推理的邏輯源頭，即想一想如何由結論出發倒著分析、從條件出發順著分析、從結論和條件出發綜合分析。

“會說”是“會寫”的前提，即能用自己的語言說出分析幾何問題的思路、說出解決問題的大致過程，進而形成幾何證明的思路。

“會寫”就是將符號語言、圖形語言和文字語言進行整合，將整個幾何證明過程用規范的幾何語言進行書寫，使整個幾何證題過程清晰且嚴謹。

4 結束語

由以上解題過程可以看出，幾何壓軸題的思維量比較大，綜合性較強，對學生而言具有一定的難度。在初中數學教學中，教師要引導學生克服對這類題型的畏難心理，注重對幾何基礎知識、基本技能、基本方法和幾何模型的理解與掌握，通過一題多思、多題一思等訓練，培養學生的數學核心素養，提高其分析問題和解決問題的能力。

參考文獻：

［1］ 波利亞。怎樣解題：數學思維的新方法[M]。涂弘，馬承天，譯。上海：上海科技教育出版社，2011。

[2] 張景中。數學家的眼光[M]。北京：中國少年兒童出版社，2007。

［責任編輯：李慧嬌］