問題驅動思維，推動實踐進階

摘要：本文圍繞尺規作圖在數學綜合與實踐中的應用展開教學探究，以問題驅動思維通過作線段、平行四邊形一邊、三角形一邊三等分點，培養動手操作能力，發展空間觀念和空間想象力，提高幾何綜合題目的解決能力，增強了數學學習的信心與興趣。

關鍵詞：尺規作圖 "問題探究 "綜合與實踐 "數學思維

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出幾何直觀是義務教育第四學段數學核心素養的主要表現之一，并且在第四學段課程目標中明確要求“通過尺規作圖等直觀操作的方法，理解平面圖形的性質與關系”。在學生已掌握三角形、平行四邊形的性質前提下，通過尺規作圖三等分點的練習，輔以啟發式問題鏈，豐富學生的數學活動經驗和體驗；以2022年上海市中考25題為檢測，提高幾何綜合題目的解決能力，增強數學學習的信心與興趣。

1教學目標

1.1通過尺規作圖確定線段的三等分點，鞏固平行線分線段成比例定理等所學知識，掌握基本圖形的應用。

1.2通過作正方形一邊、線段、平行四邊形一邊、三角形一邊三等分點，體會“特殊—一般—特殊”的研究方法，提高動手操作的能力，發展空間觀念和空間想象力。

1.3通過尺規作圖的直觀操作，加強對平行四邊形、三角形性質的理解，提高幾何綜合題目的解決能力，增強數學學習的信心與興趣。

2教學過程

問題1：請同學們思考可以通過尺規作圖進行哪些基本作圖。

學生：作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角，作一條線段的垂直平分線，作一個角的平分線。

教師（追問）：同學們可以利用這四種基本的尺規作圖完成過直線外一點作這條直線的平行線嗎？

學生：可以通過尺規作圖作一個角等于已知角，根據內錯角相等，兩直線平行，完成作圖。

教學說明：引導學生利用學過的基本尺規作圖方法，結合兩平行線的判定定理來完成，發展學生的邏輯推理和幾何直觀能力。

問題2：請同學們思考如何通過尺規作圖三等分線段。

如圖，已知線段AB，在線段AB上求作一點C，使AC：CB = 1：2或AC：CB = 2：1.

思路：如圖，過點A作射線AM，以A為圓心，AD長為半徑作弧，交射線AM于點D，在射線AM上依次截取DE = EF = AD；聯結BF，過點D作DC∥BF交AB于點C，則點C即為所求.

追問：如何證明呢？

理由：由DC∥BF，根據平行線分線段成比例定理可得[ADAF=ACAB].因為AD = DE = EF，所以[ADAF=13]，所以[ACAB=13]，故點C為符合條件的AB的一個三等分點.

教學說明：本活動引導學生進行個人思考、小組討論與動手實踐探究的完整過程，結合平行線分線段成比例定理，有效鍛煉學生的逆向思維，提高其綜合知識運用能力。

問題3：如何利用圖形的性質確定平行四邊形一邊的三等分點？如圖，已知?ABCD，求作邊AD的一個三等分點.

思路：聯結AC、BD相交于點O，作OA中點E，聯結BE并延長交AD于點F，點F即為所求作的點.

理由：因為平行四邊形的對邊平行，易得[AFBC=AECE].因為平行四邊形的對角線互相平分，所以點O為AC的中點.因為AE = OE，所以[AECE=13].易得[AFAD=13]，所以點F是AD邊上的一個三等分點.

教學說明：在尺規作圖線段三等分點的通性通法中，將研究視角轉向平行四邊形，加強學生對平行四邊形的相關性質的理解，拓寬解決問題的思路，展現了數學中從一般到特殊的重要思想。

問題4：如何利用圖形的性質確定三角形一邊的三等分點？如圖，已知△ABC，求作邊AB邊上的一個三等分點G.

思路：取AB中點D，AC中點E，聯結CD、BE相交于點F，過點F作FG∥AC交AB邊于點G，點G即為所求邊AB的一個三等分點.

理由：因為BE、CD是△ABC的中線，所以F為△ABC的重心.根據三角形重心的性質，可知AF = 2EF.因為FG∥AC，所以[BGAG=BFEF]，易

得[AGAB=13]，所以點G即為所求.

教學說明：三角形的中線作為其重要的“三線”之一，本活動通過尺規作圖作三角形一邊的三等分點，巧妙結合三角形重心的性質，加強學生逆向思考的能力，發展邏輯推理能力。