新高考背景下探究性解題教學的實踐與思考

【摘 要】新高考增強了試題的的探究性。在高中數學教學中，教師應著力培養學生的探究能力，開展探究性解題教學。探究性解題教學回歸本真，強調學生的自主參與，調動所學的知識探索解題的方向、途徑。

【關鍵詞】高中數學；探究性解題教學；數學思想方法；數學思維方法

【中圖分類號】G633.3" 【文獻標志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2025）07-0020-04

【作者簡介】張乃貴，江蘇省興化中學（江蘇泰州，225300）教師，正高級教師，江蘇省數學特級教師。

一、問題提出

1.高中數學解題教學的現狀

在高中數學解題教學中，不少教師只關注各種題型的教學，采用“填鴨式”的教學方式。在學生還沒有理解題意、細致思考、形成解題思路的情況下，就要求學生說出解題方法。當學生遇到困難、疑惑時，老師就直接告知具體的解法。由于沒有引導學生開展數學探究活動，學生沒有自主探索，沒有積累探索性解題活動經驗，當面對高考中的新題、難題，就無法入手。

2.高考命題的要求

《教育部關于做好2024年普通高校招生工作的通知》（［教學2024］2號）中明確提出：注重考查學生的必備知識、關鍵能力和學科素養，引導培養探索性、創新性思維品質。優化試卷結構和試題形式，增強試題的應用性、探究性、開放性。高考的試題設計注重對探索性思維品質的考查，強調在面對問題，特別是新問題新情境時，能夠自主探究分析問題背后的數學模型，抽象出數學結構，利用所學數學知識尋找解決問題的路徑。［1］

面對新高考增強試題探究性、突出理性思維和探究能力的考查，在解題教學中教師應強化探究性教學，讓思維能力培養、探究能力培養和解決問題能力的培養成為最重要的教學任務。［2］

二、探究性解題教學的要義

解題是指從問題的起始狀態出發，對條件進行有機組織，實施連續的操作達到問題解決的最終狀態，解題的關鍵是探索這些操作。探究性解題指學生從閱讀題目開始，依據題目的條件，發現問題、困惑和障礙，明確解題的目標，調動所學的知識，運用觀察、比較與類比、歸納與猜想、分析與綜合、抽象與概括等思維方法主動探索解決問題的方案，并不斷調整，不斷優化。探究性解題教學則指在教師的引導下，學生積極、主動地直面問題，歷經嘗試、實驗、改進、調整、優化等過程，孕育解題思路，探索、研究解決問題方法，推廣解題結果。探究性解題教學著力培養學生面對陌生情境，發現、提出、分析、解決問題的能力、創新能力和實踐能力，提升探索性思維品質。

三、探究性解題教學的策略

探究性解題教學不是把現成的結果、問題的解法直接告訴學生，而是讓學生不斷提出問題、分析問題、解決問題，從而讓學生經歷探究的過程、思考的過程。具體來說，有如下策略。

1.引導反思質疑，增強探究動力

問題是數學探究活動的動力，反思質疑是提出問題的重要方法，因此反思質疑有利于增強學生的探究動力。數學教科書是教學的載體，在數學學習中，教師尤其要重視學生對課本中的概念、定理、公式、解法等的深化理解。

例如，對等差數列的通項公式的推導，蘇教版高中數學教材采用的是疊加法。在教學中，教師可以追問學生，為什么要把n-1個式子疊加起來？其目的是什么？從而引發學生反思，開展探究活動，幫助學生弄清疊加法背后的底層邏輯，把探究活動與有意義地接受新知自然地結合起來。

在新授課上這樣來教學，學生就能理解疊加法的原理，同時積累了探究活動經驗。到了高三復習課上就可以引導學生探究下面問題的解法。

例1：對于給定的正整數k，若數列{an}滿足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對任意正整數n（ngt;k）總成立，則稱數列{an}是“P（k）數列”。若數列{an}既是“P（2）數列”，又是“P（3）數列”，求證：{an}是等差數列。

師：這是一道高考試題的變式題，同學們思考怎樣解決這個問題。

學生嘗試解答：

因為{an}是“P（2）數列”，所以n≥3，an-2+an-1+an+1+an+2=4an， ①

因為{an}是“P（3）數列”，所以n≥4，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an。 ②

學生的思路到此受阻，需要教師進行引導。

師：證明數列是等差數列有哪些方法？

生：定義法，中項法和通項公式函數特征法。

師：就此題而言，你認為哪種方法比較合適？

生：中項法，即要證明an+1-an=an-an-1（n≥2）。

師：為什么要這么選擇？

生：因為題目中出現了數列的項與項之間的關系，根據以往的經驗，就選擇了中項法。

師：接下來，怎么辦？

生：消去多余的項an-3，an-2，an+2，an+3。

師：怎么消？

生：由①得，n≥2，an-1+an+an+2+an+3=4an+1，③n≥4，an-3+an-2+an+an+1=4an-1。④③+④－②得，n≥4，an-3+an+1=2an。即an+1-an=an-an-1。所以數列{an}從第3項起成等差數列，設公差為d。在①中，令n=4得，a2+a3+a5+a6=4a4，所以a3-a2=d。在②中，令n=3得，a1+a2+a4+a5=4a3，所以a2-a1=d。所以數列{an}是公差為d的等差數列。

學生在消元法的統領下，把變通后的疊加法遷移到新的情境下解決問題。基于以上探究可以看到，例1的解法來源于課本，由此可見研讀課本，反思探究，深入探究、挖掘課本內容背后蘊藏的數學思想方法，對解決高考試題是大有幫助的。

2.采用啟發性提問，促進探究活動

探索性解題常見的啟發性提問有：“解題的目標是什么？次目標是什么”“為了實現解題目標，怎么辦？”“數學對象有怎樣的性質？數學對象之間有怎樣的關系”等。

例2（2024年月九省高考適應性考試第14題）以maxM表示數集M中最大的數。設0lt;alt;blt;clt;1，已知b≥2a或a+b≤1，則max{b-a，c-b，1-c}的最小值為_________。

師：問題要求三個數b-a，c-b，1-c中最大數的最小值，可以分類討論，具體找出哪個數是最大的，但運算麻煩，可不可以，不具體找出哪個數解決問題呢？

生：運用方程中設出未知數的方法，設b-a，c-b，1-c中最大數為t。

師：t有怎樣的性質呢？用不等式怎樣表示t與這三個數之間的關系？

生：[ t≥b-at≥c-bt≥1-c]。

師：怎樣運用已知的不等式0lt;alt;blt;clt;1，b≥2a或a+b≤1，求出t的最小值呢？要求t的最小值，就是從以上的這些不等式，推出t≥s（s是常數）。

以上探索出要解決問題的目標。

師：怎樣實現這一目標？

生：利用不等式的性質，消去字母a，b，c。

師：先考慮在b≥2a條件下，怎樣消去字母a，b，c？

生：注意到只有t≥b-a（1）中含有字母a，將（1）兩邊同乘以2得2t≥2b-a （2）

為了消去字母c，將兩個不等式t≥c-b，t≥1-c相加得2t≥1-b （3）

由（2）+（3）得4t≥b-2a+1≥1，于是t≥[14]。

師：再考慮a+b≤1條件下，怎樣消去字母a，b，c？

解題的關鍵是設出三個數中的最大值為t，依據約束條件，在目標t≥s（s是常數）的指引下。探索不等式之間的關系，利用數學運算、不等式的性質，消去變量a，b，c。由于關系比較隱蔽，可以借助換元法，凸顯數量關系，減少思維量，優化解題過程。

3.關注數學思維方式，優化探究活動

數學思維方式是運用數學方法和邏輯來思考和解決問題的思維活動形式。數學思維方式從數學的角度，發現、提出、分析和解決問題，用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界。

例如，依據直角坐標系下坐標的特征，橫坐標是水平的，縱坐標是豎直的，所以向橫縱兩個方向轉化是解析幾何中的基本的思維方式。解析幾何中斜率公式、兩點間的距離公式、弦長公式、向量坐標公式、點到直線的距離公式、定比分點公式、焦半徑公式、直線的參數方程、一元一次不等式表示的平面區域表示等的推導都體現這一思維方式。2021年八省市新高考適應性考試第21題第（2）問，要證明兩個角之間的關系，運用這一思維方式，探索出把兩個角之間的關系轉化為兩個角的正切之間的關系。正切的意象是豎直與水平之比，正好與坐標的特征相符合，解析幾何中的角往往轉化為角的正切，和坐標發生聯系，體現解析幾何的坐標化思想。

例3（2024年新高考全國Ⅰ卷第16題）已知A（0，3）和P [3，32]為橢圓C：[x2a2]+[y2b2]=1（agt;bgt;0）上兩點。

（1）求C的離心率；

（2）若過P的直線l交C于另一點B，且△ABP的面積為9，求l的方程。

對于第（2）問，如圖3，不同的表達△ABP面積的方法，導致此題的解法繁簡有別，△ABP的邊AP，AB，BP都可以作為三角形底，但注意到[AP]=[352]，預測選擇AP作為底邊的解法是比較簡潔的。如果進一步注意到所給數據的特殊性，運用向橫縱轉化的思維方式，探索得到下面的最簡解法。

解析幾何考查的要點是數形結合。充分挖掘圖形的幾何特征、性質，有助優化運算的途徑，減少運算量。只有多想方能少算。解析幾何運算是認識幾何特征下的運算，不是純粹的代數運算。

4.精致數學表達，深化探究活動

表達與交流是最基本的數學素養，書面表達是把自己的思維成果寫出來與他人分享與交流，這種表達要合乎邏輯。數學解題不但要探索出解題思路，還要探究如何書寫，嚴謹和準確表達。精致數學表達，用清晰的形式化數學符號準確地表達，不斷把數學探究引向深入，既有利于發展用符號語言表達的能力，更有利于發展理性思維。

例4高三復習課上，再次推導等差數列的前n項和公式Sn=[n（a1+an）2]，探究倒序相加，是如何配對的？用數學符號怎樣表示？

師：怎樣推導等差數列的前n項和公式？

生：用倒序相加法，Sn=a1+a2+a3+…+an，Sn=an+an-1+an-2+…+a1，兩式相加得2Sn=n（a1+an）。

師：你能說清楚是怎樣的項配對相加的嗎？

生：首尾配對的。

師：還能表達更清楚一些嗎？

生：項數和為n+1的項配對的。

師：用符號語言怎樣表達？（學生感到困難）可否引入一個變化的字母來表達？

生：設等差數列第k項為ak（k=1，2，…，4），把第k項ak與第n+1-k項an+1-k配對。

師：用求和符號怎樣寫出詳細的證明過程？

生：證明：Sn=a1+a2+a3+…+an=[k=1nak]，Sn=an+an-1+an-2+…+a1=[k=1nan+1-k]，兩式相加得2Sn=[k=1nak]+[k=1nan+1-k]=[k=1n（ak+an+1-k）]，因為{an}是首項為a1，公差為d的等差數列，所以ak+an+1-k=2a1+（n-1）d=a1+an。于是2Sn=[k=1n（a1+an）]=n（a1+an），Sn=[n（a1+an）2]。

師：能感受到用求和符號來表達的好處嗎？（引導學生感悟數學中引入求和符號來表達的必要）

生：用求和符號來表達，不再用省略號來表達了，表達更清晰了。同時哪些項配對也表達清楚了，真精妙！

四、結語

探究性解題教學要關注學情，以人為本。充分尊重學生的思考，調動學生學習的主動性、積極性。讓他們主動反思質疑，提出猜想，探究解題思路，探索推廣問題結果等。在教學中，數學解題探究要把握好學生獨立探究與教師啟發提示的度。根據學生的課堂反應，適時采用啟發性提示語促進探究活動，把探究逐步引入深入。讓學生領悟到解決問題的難點在什么地方，是怎樣克服這些困難與障礙的，積累探究性解題活動經驗。

探究性解題教學讓學生經歷從不完善到完善的探究過程，學會調整，反思，糾正出現的錯誤，從不嚴密到嚴密。重視解題探索過程的暴露，讓學生歷經探究過程。學生歷經數學探究，知道探究什么，學會怎樣探究，形成數學探究活動經驗。在新的情境中，形成遷移，探究一些新題、難題的解法。

探究性解題首先要從大的方面來著眼，猜測、預估大體的解題方向、前景。其次考慮處理問題有幾種方法，并且對每一種方法進行預測，預測所選方法的繁、簡，解題路徑的長短，解題的難度，等等。再次根據預估、判斷及時調整變通思路、優化解題途徑。讓學生體會精巧的解法不是一蹴而就的，是不斷學習、反思的結果。培養學生良好的探究性解題習慣，從觀念層面的探究，到方法層面的探究，再到具體的解決。大處著眼，小處著手，從想法到算法，讓學生通過數學學習，學會思考，學會探究，發展核心素養。

探究性解題要找準著眼點，抓住關鍵點。發揮解題目標的定向作用，有了目標，運用數學思維方法、數學思想方法，開展探究活動，探索實現目標的途徑；如果沒有目標，或目標不具體，就要探索次目標。

探究性解題需要全面的、組織良好的基礎知識和基本方法。探究不是無本之木，無源之水。2021年八省市新高考適應性考試第20題，以大興機場為生活情境，給出刻畫空間彎曲性曲率的定義。考查對空間圖形的認識，基本概念頂點、棱、面，常識相鄰兩個面有一條公共棱，是解決問題的基礎。進而對頂點處角的和的轉化，由關注頂點處角的和，到關注面中角的和，從而聯想到用多邊形的內角和公式解決問題，要求學生處理好部分與整體的關系、轉換數學對象、化生疏為熟悉。對探究性思維的有較高的要求。

以探究性解題教學為契機，幫助學生領悟掌握數學思想方法。數學思想方法是數學的靈魂。探究是在深入思考中完成的，數學探究活動本質是數學思維活動。一方面在探究活動中抽象、概括數學思想方法；另一方面，應用數學思想方法和思維方法促進數學探究活動開展。

形成探究性解題的一般觀念。如果問題是一個代數問題，要關注變元的個數，往往要消元，通過構造函數把變元組織起來，運用函數的性質解決問題。如果問題是一個與圖性有關的問題，往往首先要研究圖形的幾何性質、特征，再進行代數化，等等。反復運用這些一般觀念和探究性解題策略解決更多的數學問題，進一步提升探究性解題能力。

教師要加強學習，不斷更新教學觀念，提升自身探究性解題能力和教學能力。

【參考文獻】

［1］翟嘉祺，趙軒，郭淑媛.高中數學探索性思維的培養與考查［J］.中學數學教學，2024（4）：1-5．

［2］教育部教育考試院.優化試卷結構設計" 突出思維能力考查［J］.中國考試，2024（7）：79-85．

［3］涂榮豹.數學教學設計原理的構建：教學生學會思考［M］.北京：科學出版社，2018．

［4］［美］G·波利亞著.涂泓，馮承天譯.怎樣解題［M］.上海：上海科技教育出版社，2017．