構(gòu)造對偶式，妙解三角題

摘要：在解決一些相關(guān)的三角函數(shù)綜合應(yīng)用問題時，合理挖掘題設(shè)內(nèi)涵與問題實質(zhì)，借助相應(yīng)三角函數(shù)中對應(yīng)類型的“對偶式”的構(gòu)造與應(yīng)用，可以使得問題解決更加優(yōu)美簡潔.結(jié)合實例，就三角函數(shù)問題中一些常見“對偶式”的構(gòu)造方法與應(yīng)用技巧加以剖析，展示優(yōu)美解法，開拓數(shù)學(xué)思維.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；對偶式；正弦；余弦；應(yīng)用

合理構(gòu)造對偶式，巧妙解題，是解答一些函數(shù)或方程、不等式等相關(guān)問題時的一種巧妙的解題技巧與方法.在解決一些三角函數(shù)的綜合應(yīng)用問題過程中，合理地構(gòu)造形式相似，具有某種對稱關(guān)系的對對偶關(guān)系式，通過對對偶關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮汀⒉睢⒎e、商等運算，并結(jié)合三角恒等變換與應(yīng)用，往往能使三角函數(shù)問題得到巧妙解決，收到事半功倍的效果.

1 和差對偶

對于三角函數(shù)表達(dá)式usin x±vcos x，常規(guī)思維是利用輔助角公式加以變形與轉(zhuǎn)化，而通過平方關(guān)系sin2x+cos2x=1，合理借助和差對偶關(guān)系，構(gòu)造與之對應(yīng)的三角函數(shù)表達(dá)式vsin xucos x.

例1〔2024年河南省南陽一中高三（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷〕已知sin α+2cos α=3，則tan α=.

解析：構(gòu)造三角關(guān)系式sin α+2cos α的對偶式2sin α－cos α.

易得（sin α+2cos α）2+（2sin α－cos α）2=3sin2α+3cos2α=3.

結(jié)合題設(shè)條件sin α+2cos α=3，可得2sin α－cos α=0.

所以tan α=sin αcos α=22.

點評：通過構(gòu)造已知三角關(guān)系式的和差對偶式，利用平方關(guān)系與運算確定對應(yīng)和差對偶式的值，利用對偶式的變形與轉(zhuǎn)化來求解對應(yīng)的三角函數(shù)值.此類問題的解題技巧、方法眾多，但該方法是由于本題對應(yīng)的數(shù)字特殊而所特有的，在一般問題的解題中要加以合理綜合與應(yīng)用.

2 互余對偶

三角函數(shù)中的正弦與余弦是兩個互余的對稱元素，利用互余關(guān)系來構(gòu)造對偶式，借助配對思想可以輕松簡捷地完成有關(guān)三角函數(shù)問題的解答與應(yīng)用.互余對偶法的關(guān)鍵就是借助平方關(guān)系sin2x+cos2x=1來恒等變形與轉(zhuǎn)化.

例2已知x∈，解三角方程：cos2x+cos22x+cos23x=1.

解析：設(shè)P=cos2x+cos22x+cos23x，構(gòu)造對偶式Q=sin2x+sin22x+sin23x，則

P+Q=3，①

P－Q=（cos2x－sin2x）+（cos22x－sin22x）+（cos23x－sin23x）

=cos 2x+cos 4x+cos 6x=2cos xcos 3x+2cos23x－1

=2cos 3x（cos x+cos 3x）－1

=4cos 3x·cos xcos 2x－1=4cos x5cos 2xcos 3x－1.②

①+②，可得2P=4cos xcos 2xcos 3x+2，即

cos xcos 2xcos 3x=0.

所以cos x=0或cos 2x=0或cos 3x=0.結(jié)合x∈[JB（0，π2]，可得x=π2或x=π4或x=π6.

所以，原三角方程的解集為π6，π4，π2.

點評：借助構(gòu)造互余對偶式，結(jié)合兩個三角關(guān)系式之間的和與差運算，并結(jié)合條件加以合理數(shù)學(xué)運算，得到對應(yīng)乘積關(guān)系的三角方程，給三角關(guān)系式的恒等變換與化歸轉(zhuǎn)化創(chuàng)設(shè)條件，借助對偶式打開方便解題的有利局面，思維創(chuàng)新，獨辟蹊徑，出奇制勝.

3 互倒對偶

互倒對偶是針對相應(yīng)三角關(guān)系式的結(jié)構(gòu)，通過已知三角關(guān)系式的某些元素，取倒數(shù)而合理構(gòu)造對應(yīng)對偶式，進(jìn)而來解決相應(yīng)的三角函數(shù)問題.互倒對偶法的實質(zhì)是借助基本不等式等來合理放縮與變形.

例3（改編題）已知x，y，z∈0，π2，求證：11-sin x+sin y+11-sin y+sin z+11-sin z+sin x≥3.

證明：由于x，y，z∈0，π2，則sin x，sin y，sin z∈（0，1），可得1－sin x+sin ygt;0，1－sin y+sin zgt;0，1－sin z+sin xgt;0.

設(shè)M=11-sin x+sin y+11-sin y+sin z+11-sin z+sin x，

構(gòu)造對偶式N=（1－sin x+sin y）+（1－sin y+sin z）+（1－sin z+sin x）=3.

結(jié)合基本不等式，

所以11-sin x+sin y+11-sin y+sin z+11-sin z+sin x≥3.

點評：解決此類三角不等式問題，在解題過程中巧妙構(gòu)思，挖掘三角關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，合理對分式三角關(guān)系式進(jìn)行取倒數(shù)構(gòu)造，進(jìn)而結(jié)合互倒對偶的創(chuàng)設(shè)，引入到問題中，加以合理變形與轉(zhuǎn)化，從而突破難點，化生為熟，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)（基本不等式的放縮）來合理化解，實現(xiàn)三角不等式的證明.

4 輪換對偶

輪換對偶是針對多個三角函數(shù)名稱的三角關(guān)系式問題，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，通過輪換字母位置與變化情況來構(gòu)造對偶式，巧妙解決相應(yīng)的三角函數(shù)問題.輪換對偶法的關(guān)鍵是三角關(guān)系式的特殊結(jié)構(gòu)特征，給問題的推理與應(yīng)用創(chuàng)造條件.

例4（改編題）已知x，y，z∈0，π2，求證：sin 2xsin x+sin y+sin 2ysin y+sin z+sin 2zsin z+sin x≥sin x+sin y+sin z2.

證明：由于x，y，z∈0，π2，則sin x，sin y，sin z∈（0，1）.

設(shè)X=sin 2xsin x+sin y+sin 2ysin y+sin z+sin 2zsin z+sin x，

則可構(gòu)造對偶式Y(jié)=sin 2ysin x+sin y+sin 2zsin y+sin z+sin 2xsin z+sin x.

結(jié)合基本不等式，

可得X+Y=sin 2x+sin 2ysin x+sin y+sin 2y+sin 2zsin y+sin z+sin 2z+sin 2xsin z+sin x≥sin x+sin y2+sin y+sin z2+sin z+sin x2=sin x+sin y+sin z，當(dāng)且僅當(dāng)sin x=sin y=sin z時等號成立（這里主要通過不等式的基本性質(zhì)a2+b2a+b≥a+b2加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用）.

又因為X－Y=sin 2x-sin 2ysin x+sin y+sin 2y-sin 2zsin y+sin z+sin 2z-sin 2xsin z+sin x

=（sin x－sin y）+（sin y－sin z）+（sin z－sin x）=0，

所以X=Y≥sin x+sin y+sin z2.

所以sin 2xsin x+sin y+sin 2ysin y+sin z+sin 2zsin z+sin x≥sin x+sin y+sin z2.

點評：此類涉及多變元（三變元及以上）的三角不等式問題，三角關(guān)系式具有一定的輪換效果，挖掘三角代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征或進(jìn)行恒等變換處理，巧妙構(gòu)造輪換對偶式，借助函數(shù)與方程思維、不等式思維，特別是基本不等式等加以合理應(yīng)用，往往是突破此類復(fù)雜三角不等式證明與求解的一個突破口.

在數(shù)學(xué)解題過程中，要合理挖掘?qū)?yīng)三角函數(shù)問題的本質(zhì)，依托對偶式的構(gòu)建，有時還要借助三角關(guān)系式的次數(shù)加以合理綜合，巧妙類比拓展與應(yīng)用，實現(xiàn)問題的巧妙轉(zhuǎn)化與合理突破.

在解題研究中，不局限于三角函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，如果我們恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造對偶關(guān)系式，進(jìn)而加以合理邏輯推理與數(shù)學(xué)運算等，不僅能有效提高解題速度，而且能收到以簡馭繁、巧妙轉(zhuǎn)化、拓寬思路等良好功效.同時讓人萌生一種“春雨斷橋人不渡，小舟撐出綠陰來”的美妙感覺，可以發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)解題習(xí)慣，有效激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣等.