高中數學新課程中的三角函數與三角關系

摘要：隨著教學的改革，高中數學新課程內容有較大變化，需要教師在整體上進行教學設計并提高教學質量.“三角函數與三角關系”這部分內容在高中數學新課程中的教學編排上有一些變化，對這些關系進行分析可以提高學生思維能力和判斷能力.本文中結合高中數學新課程對三角函數與三角關系的正確應用進行了分析，并提出了教學建議.

關鍵詞：高中數學；新課程；三角函數與三角關系

三角函數是高中數學新課程中的重難點內容，學生需要花費較多時間、精力去學習，方可將其理解、吃透和靈活運用.深入學習三角函數就會獲悉，其看似是在討論“角”的問題，但實則是在探討函數的周期，這一點易讓學生忽略.此外，在學習中掌握解析數學方法尤為重要，關乎學生對幾何問題的深入鉆研以及對周期問題的全面了解等，所以，高中數學教師有必要圍繞三角函數做精心設計、策劃，引導學生逐步掌握相關知識，避免學習表面化、低效化.

1 “三角函數與三角”在新課程中的重要性

從歷史視角對“三角函數與三角關系”進行分析，研究三角的時間更早，可追溯到16世紀，當時已經出現了較完整的三角關系研究理論，至今有借鑒和參考價值，其研究涉及面積、長度、角度等內容，研究范圍比較寬泛.17世紀，三角形常量數學研究出現并開始引人關注.后來，解析幾何領域中出現變量數學，也對三角函數的發展起到了推波助瀾的作用.簡而言之，有關三角函數的研究正在深入發展，成為了解、把握三角幾何的重要切入口，也將三角函數視為三角幾何的重要組成部分，后續才開始實現獨立發展，基于實變函數做了相應的分析與調和.在20世紀末，針對調和分析和小波分析在實際中的應用進行了研究，逐漸在多個領域廣泛應用三角函數以及相關數學知識，尤其是三角函數的作用更加突出，這也是“三角函數與三角”在教學內容上發生改變的主要原因.但是，當前仍舊有諸多學生難以吃透和靈活有效運用三角函數知識，這與學生孤立看待三角函數和三角有關，所以二者并未被有效聯系起來，學生也并未實現整體性的探究，在理解概念、解決問題等方面能力不足.因此，教師需要充分認識到“三角函數與三角”在高中數學新課程中的重要性，并在教學中培養學生數形思維能力，指導學生快速理解并應用這些知識［1］.

2 新課程中的三角函數與三角關系教學思路

2.1 利用數形結合思維，培養學生的轉化能力

在教學中發現，部分學生難以在短時間內捕捉到三角函數的要點，難以概括、總結三角函數同普通函數的差異，獲取三角函數問題正確的解題思路也存在不小難度.諸如此類的問題還有很多，皆表明學生學習三角函數的過程是不順利的，存在諸多阻礙與挑戰，易讓學生對三角函數和三角關系產生誤解.數形思維成為攻克這些問題的關鍵所在［2］.

例如，下面這道數學習題：

例1已知sin α＞sin β，下面正確的命題是（）.

A.如果α與β是第一象限角，那么con α＞tan β

B.如果α與β是第二象限角，那么tan α＞tan β

C.如果α與β是第三象限角，那么cos α＞cos β

D.如果α與β是第四象限角，那么tan α＞tan β

教師在指導學生思考這道例題時，如果用常規的計算方式進行解析會增加很多程序，但是若利用數形結合進行思考，則解決問題時就會比較簡便.教師可以按照圖1來引導學生思考.

從圖1中可以看到，邊、角、坐標均用函數描述，如果學生在解析這種問題時結合圖形將抽象的三角函數值轉化為點的坐標的問題，就能利用三角函數的性質進行判斷，最終得出正確答案為選項D.

對于這道例題，教師通過一道判斷題引導學生利用相關概念來尋找解題思路，巧妙融入數形結合思想，從而快速正確解答問題.此外，學生運算過程中，還可以將數學問題轉化為三角函數題，也能準確解答與角度有關的問題.在這個轉化過程中需要教師提醒學生注意觀察這些問題，培養學生的觀察能力和轉化意識，對問題進行正確判斷.學生要具備正確判斷能力，明確哪些問題可以利用數形結合的方式進行轉化，明確問題類型并找到三角函數與三角問題，這樣學生的學習能力才有望大幅度提升.

2.2 利用函數思想，提高學生的思維水平

求解三角函數與三角數值問題時，學生易出現各式各樣的錯誤，原因在于并非所有計算都可以用計算方式來解決，這時函數思想就會起到重要作用，幫助學生找到計算方法并準確求解［3］.比如，以下這道三角函數習題就可以嘗試應用函數思想、分類討論思想、與數形結合思想來解決：

例2已知函數f（x）＝ 12（sin x＋cos x）－ 12｜sin x－cos x｜，求f（x）的值域.

面對這道題，學生開始會摸不著頭腦，也會思考兩個相加的函數是否屬于特殊函數，認真思考后，便會察覺這個問題可進行轉化，主要是利用分類討論思想進行化簡，數形結合得出最終結果為-1，22.這種方式就是將以上問題轉化為兩個三角函數的問題.當sin x≥cos x；f（x）=cos x；當sin x＜cos x時，f（x）=sin x.畫出兩個三角函數的圖象，如圖2所示.

在解決以上問題時需要教師的引導.首先要觀察數學問題中是否有三角函數特征，可以按照常見函數的方式進行數形結合降低解題難度.但是，有些三角函數與三角問題需要學生進行詳細觀察，正確判斷.由于三角函數具有特殊性，教師要培養學生的數學轉化思維，在遇到不確定問題時要指導學生通過函數與方程或數形結合進行思考，選擇最佳方式解決三角函數與三角中的問題.

2.3 幫助學生轉換思路，強化學生的發散思維

當學生理解三角函數與三角問題的求解方法以及基本特征之后，教師還需要指導學生明確解題思路，知道哪些問題適合使用三角函數，哪些問題不適合使用，這樣才能提高學習效率.例如，下面這道題：

例3為了迎接“10.1”開展美化城市活動，在某城區主干道布置了大量花卉綠植，對大型花盆進行統一規劃，對規格有這樣的要求：花盆口直徑2 m內部設置了不同區域種植不同顏色的花草，于蝶形區域栽種四季美，如圖3，蝶形中包含四個全等三角形，其中一個三角形OAB的頂點為圓心O，設計要求為∠ABO=120°.

（1）請設置一個變量ｘ，再寫出這個蝶形區域的面積S關于ｘ的函數表述式；

（2）ｘ為多少時，這個蝶形區域的面積最大？

在解答這個問題時，學生開始大多會習慣性地利用圖形中的長度設定變量，這種設置方式不能快速解決關鍵問題，教師可以提醒學生利用角度設置變量，如設∠AOB=x.思路

轉換之后學生會理解“利用角度來表示線段長度和區域面積”這種方式解答更簡便.

當學生掌握數學知識之后在不確定使用哪種方法時，要發散學生思維，使其聯想到三角函數的特征，即正弦、余弦、正切、余切等特性，只要抓住一種特征完成轉化，然后應用三角函數與三角的性質，就能夠正確解決這些問題.

總而言之，高中數學新課程中的三角函數與三角這部分內容的教學需要循序漸進，教師在教學中根據學生具體情況給予合理指導，幫助學生提高判斷能力和轉換能力，最終能夠順利解決數學問題.

參考文獻：

[1]王富美. 如何提高中等學生第一輪復習效率——例析一輪復習課《三角函數基本關系及誘導公式》[J]. 中學教學參考，2018（8）：3132.

[2]王成. 整體把握高中數學新課程中的三角函數與三角[J]. 新課程導學，2016（35）：90，96.

[3]王尚志，張思明，胡鳳娟，等. 整體把握高中數學新課程中的三角函數與三角[J]. 中學數學教學參考，2008（15）：4，9.