巧設問題，助推深度學習

摘要：問題是數學的心臟，問題能引導學生思考，推動其探究，促使其實踐，從而發展思維. 巧設問題驅動，從而引發學生展開真思考、真探究、真表達.本文中從一個核心問題出發，多維度深度探究，從而促進深度學習的發生，發展學生的高階思維，讓學生的核心素養得以生成.

關鍵詞：問題驅動；深度學習；高階思維

問題設計是思維觸發的基礎，問題探究是思維進階的核心，問題遷移是思維升華的關鍵，課堂文化和思維評價是思維生長的保障［1］.

1 問題呈現

問題1已知函數f（x）=x|x－a|.

（1）若a=1時，則函數f（x）在［0，2］上的最大值為.

（2）若f（x）在［0，2］上的最大值為1，則a=.

本題第（2）小問來自于浙江省學考，綜合考查含參、含絕對值二次函數的運用，課堂上設置了低起點的第（1）小問作為過渡，用低階問題激發學生探究的興趣，也為解決第（2）問做好鋪墊.

2 問題破解

2.1 第（1）問的破解

由已知，可得

f（x）=x2－x，1≤x≤2，－x2+x，0≤x＜1.

函數f（x）的圖象如圖1所示，可知f（x）在0，12，（1，2）上單調遞增，在12，1上單調遞減，所以f（x）max=f（2）=2.

解后反思：通過第（1）問，復習鞏固絕對值的處理方法，啟發學生數形結合，深入探究參數a和函數圖象之間的關系，以低階問題為起點，高階問題為導向，促進學生深入思考，深度理解，促進深度學習，助推高階思維的發展. 課堂上，教師與學生一起浸潤式地探討，總結得到函數f（x）=x|x－a|圖象可能有如圖2所示的幾種情況.

2.2 第（2）問的破解

方法1：分類討論.

①當a≤0時，f（x）在［0，2］上單調遞增，則f（x）max=f（2）=4－2a=1，得a=32，不符舍去；

②當a2≥2，即a≥4時，f（x）在［0，2］上單調遞增，則f（x）max=f（2）=2a－4=1，得a=52，不符舍去；

③當a2＜2＜（1+2）a2，即4（2－1）＜a＜4時，f（x）max=fa2=a24=1，得a=2；

④當0＜（1+2）a2≤2，即0＜a≤4（2－1）時，f（x）max=f（2）=4－2a=1，得a=32.

綜上所述，a=2或32.

解后反思：根據題設，學生最能直接想到的方法就是對參數進行分類討論，求出函數最值，難點在于分類討論時臨界點的找取. 對于小題，這樣的計算量，顯然不是最優方法，這里可以引導學生繼續深入探究和思考.

方法2：必要性探路.

由已知可知f（x）的最大值可能在x=2，x=a2處取得.

若f（x）max=f（2）=2|2－a|=1，則a=32或a=52.

當a=52時，f（x）=x[JB（|]x－52[JB）|]，此時f54=2516gt;1，不符合題意.

若f（x）max=fa2=a24=1，則a=2或a=－2.

當a=－2時，f（x）=x|x+2|，此時f（2）=8gt;1，不符合題意.

經檢驗知，a=2或32符合題意.

綜上所述，a=2或32.

解后反思：通過必要性探路，縮小參數范圍，優化運算，學生馬上可以體驗到此方法計算量相對于方法1急劇減少，但是需要較強的數形結合意識和分類討論能力.

方法3：轉換為最值問題，全分參.

將最值問題轉化為：

對于x∈［0，2］，f（x）≤1恒成立，且等號成立.

當x=0時，a∈R；

當x∈（0，2］時，由x|x－a|≤1，得x－1x≤a≤x+1x，則只需x－1xmax≤a≤x+1xmin，且有一端等號成立即可，所以32≤a≤2且有一端等號成立，故a=32或a=2.

綜上，a=32或a=2.

解后反思：參變分離，把問題轉換為恒成立問題，要把握對最大值為1的理解——①x∈［0，2］，f（x）≤1恒成立；②x0∈［0，2］，使得f（x0）=1成立.

這里可以追問：若f（x）≤1在［0，2］上恒成立，則a的取值范圍為.

讓學生深入思考最值問題和恒成立問題的區別與聯系.

方法4：轉換為恒成立問題，半分參.

將最值問題轉化為：

對于x∈［0，2］，f（x）≤1恒成立，且等號成立.

當x=0時，a∈R；

當x∈（0，2］時，不等式x|x－a|≤1恒成立，也即|x－a|≤1x恒成立，且等號成立.

函數y=|x-a|與y=1x的圖象如圖3所示.

由圖3可知，32≤a≤2且有一端等號成立，所以a=32或a=2.

綜上，a=32或a=2.

解后反思：轉化為V型函數y=|x－a|和反比例函數y=1x兩個基本函數，數形結合，求出極限狀態時的情況，從而求出參數值.

3 深入探究

問題2若不等式2x2－（x－a）|x－a|－2≥0對任意x∈R恒成立，求實數a的最小值.

方法1：必要性探路+分類討論.

令f（x）=2x2－（x－a）|x－a|－2.

由題意可知，只需f（x）min≥0即可.

必要性探路，得f（0）=a|a|≥2成立，則a≥2.

易得f（x）=x2+2ax－a2－2，x≥a，3x2－2ax+a2－2，x＜a.

若a≥2，由圖4知，f（x）min=fa3=23a2－2≥0.

解得a≥3，所以amin=3.

方法2：半分參.

由題意可知2x2－2≥（x－a）|x－a|對x∈R恒成立，由圖5可知y=2x2－2與y=－（x－a）2相切時，a取到最小值.

由2x2－2=－（x－a）2，得3x2-2ax+a2-2=0，則Δ=－8a2+24=0，解得a=3.

4 結論

合理設計問題，點亮學生的思維火花. 開展一題多解教學，培養學生多元化解題思維. 一題多解可以很好地幫助發散學生思維，引領學生從多個角度找到解題切入點，引導學生挖掘題目中蘊含的數學知識點，并從中選取最簡便的計算方法［2］. 在融洽的探究氛圍中提高學習主動性，激發出他們的學習潛能. 教師要注意引導學生對知識的內化吸收，構建規范的知識架構，提煉總結出適合自己的學習方法.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]羅增儒. 數學解題學引論[M]. 西安：陜西師范大學出版社，1997：343，352.