基于立體幾何的深度理解構建高品質課堂

摘要：本文中以直線與平面所成的角的求法為例，以“面面垂直的性質”作為課堂靈魂，利用一題多解的形式培養學生對直接法、轉移法求解線面角的運用能力；最后，對構建高品質課堂的策略進行了分析.

關鍵詞：高品質課堂；深度理解；立體幾何；直觀想象

1 構建高品質教學課堂之價值

高品質課堂是指教師在傳統教學模式基礎上，以學生的認知發展為培養目標，以高品質、高質量、高成效為原則，構建的有針對性的課堂.與此同時，高品質課堂也聚焦數學核心素養，教師教學中會盡可能豐富教學內容和優化教學形式，能夠讓學生深入理解數學素養的內涵.新課標新課程背景下，高品質課堂展現出較高的育人價值，以學生的“最近發展區”為根本，通過問題多角度感受知識的價值，進而提高學生的綜合學習能力[1].

2 構建高品質教學課堂之案例分析

2.1 知識回顧

學生回顧直線與平面所成角的定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角.復習本節課貫穿使用的平面與平面垂直的性質定理：兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.

2.2 例題講解

例題如圖1，已知五棱錐PABCDE，AE∥BC，AC∥DE，AB∥CD，PA=AB=22，BC=2AE=4，∠ABC=45°，PA⊥平面ABCDE.

（1）證明：平面PAC⊥平面PCD；

（2）求PB與平面PCD所成角的大小.

學生活動：獨立思考，完成第（1）問的證明.

教師活動：學生回答證明思路，點出只需證明CD⊥平面PAC.解決第（2）問時引導學生發現利用直接法作出線面角時，過點B作平面PCD的垂線，垂足落在幾何體外.

思路探析：結合試題內容來看，可以用直接法和平移法對上述試題進行分析.

（1）直接法

直接法包括垂足在幾何體內、垂足在幾何體外兩種情況.

教師活動：引導學生利用平面與平面垂直的性質定理過點B作平面PCD的垂線，即需要將平面PAC平移到過點B.

思路探析：過點B作BG，使得BG∥PA，BG=PA，BF∥AC，BF=AC，即得平面BGF∥平面PAC.過點B作平面PCD的垂線BH，連接PH，則∠BPH為PB與平面PCD所成角，如圖2.

教師活動：直接法將垂線作在幾何體外，難度較大，是否可以通過平移的思路解決直線與平面所成角？

（2）平移法

平移法包括平移點、平移線、平移面.

學生活動：給予學生充分的時間思考如何通過平移解決作角的問題.

教師活動：解決線面角的大小問題，實際難點是求出點B到平面PCD的距離h.一條與平面PCD平行的直線上的點到平面PCD的距離是相等的.可以利用這個性質將點B轉移.

思路探析：易證AB平行平面PCD，即只需過點A作PC的垂線段AG，如圖3，則PB與平面PCD所成角的正弦值為AGPB=12.

教師活動：請同學們思考，除了轉移點，能否將直線PB轉移呢？轉移的目的是為了能利用垂面PAC.

思路探析：連接BD交AC于點O，取PD靠近點D的三等分點N，得到ON∥PB，ON與平面PCD所成角即為PB與平面PCD所成角.過點O作OM⊥PC，可證OM⊥平面PCD，則∠ONM為所求線面角的平面角.如圖4.

2.3 練習鞏固

變式探究1如圖5，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，且AC＝[KF（]3[KF）]，BC＝[KF（]6[KF）]，AA1＝2AB，D是棱BB1的中點，E是棱CC1上的點，滿足CE＝5EC1.

（1）證明：AD⊥平面A1DE；

（2）求直線AE與平面ABB1所成角的正弦值.

思路探析：易證平面A1DE⊥平面A1B1BA.

法1：直接法.

過點E作EH⊥A1D，則EH⊥平面A1B1BA，∠EAH為所求線面角的平面角.

法2：平移法.

易證C1C∥平面A1B1BA，將點E到平面A1B1BA的距離轉換到C1到平面A1B1BA的距離，即過點C1作C1G⊥A1B1，則所求線面角平面角的正弦值為C1GAE.

變式探究2如圖6，已知PA⊥平面ABC，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，AD⊥PB于點D，AE⊥PC于點E.

（Ⅰ）求證：PC⊥DE；

（Ⅱ）若直線AB與平面ADE所成角的正弦值為[SX（]23[SX）]，求PA的值.

思路探析：易證平面PCB⊥平面ADE.過點B作BF∥DE，將點B到平面ADE的距離轉換為點F到平面ADE的距離，即EF=43.

3 構建高品質課堂之策略分析

3.1 深度理解學生

《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出培養學生直觀想象的核心素養，目的在于加強學生建立數與形的聯系，提升學生的空間想象能力[2].教師培養學生這一核心素養的主要時期便是學習人教A版《數學（必修第二冊）》第八章立體幾何初步.而學生在這一章節最大的學習難點之一便是如何作出直線與平面所成角的平面角.教師往往認為在學習了選擇性必修一第一章空間向量與立體幾何后，學生便能用坐標法解決問題，因而在教學過程中減弱對幾何法作直線與平面所成平面角的探究，錯失了這一階段對學生直觀想象核心素養的培養.學生無論是在初中還是在高中學習階段，如何添加輔助線都是弱項.而用幾何法解決直線與平面所成角時，若題目中沒有現成的線面垂直可用，就要自己過點作面的垂線.那往哪條線段作垂線，垂足在哪里？大部分學生都會出現卡頓.因此，設計了這節基于深度理解的線面角解法的習題課.

3.2 深度挖掘教學內容

人教A版《數學（必修第二冊）》第八章中直線與平面所成角的例題所體現的方法便是利用線面垂直找到斜線的射影，繼而找到直線與平面所成角的平面角.平時教學中并不會局限于此種方法的教學，教師會提供等體積法、坐標法等其他方法.等體積法將垂線段長度轉化成三棱錐的高，減少了找垂線的步驟，坐標法思路簡單，程序化.但是這些方法弱化了學生的空間想象能力.本節課內容將如何過點作平面的垂線總結為直接法和轉移法.直接法中，作垂線牢牢抓住平面與平面垂直的性質，垂足可能在幾何體內也可能在幾何體外.當垂足在幾何體外時，就進行補形.轉移法可以通過平移點、平移線、平移面使得過點作面的垂線直觀化.

3.3 深度探究教學方法

立體幾何的教學中更側重學生的思考，教師的引領.例如，在例題的平移法教學過程中，轉換點B到點A的目的在于能更好地利用平面PAC⊥平面PCD.平移PB使得ON∥PB，目的也是將點B轉移到平面PAC上.教師要做好解題目的性的指導，使得學生能夠更準確尋求解題思路.在練習鞏固題目的選取上要做到“量不在于多，在于落實；題不在于新，在于挖掘”.

參考文獻：

[1]張麗萍.基于品質課堂構建的高中數學教學研究[J].理科愛好者，2022（5）：106108.

[2]郭濤.核心素養視域下高中數學高品質課堂的構建分析[J].試題與研究，2022（32）：5254.