高中數學應用題教學中建模能力的培養探究

【摘要】本文聚焦于當前高中數學應用題教學中對數學建模能力培養重視不足的現狀，深入闡述數學應用題教學應遵循的原則。結合教學實踐，詳細探討從模型假設、模型構成、模型解答以及模型檢驗四大關鍵環節提升學生數學建模能力的有效方法與策略。著重強調借助多元化的建?；顒?，全方位提升學生的數學核心素養與社會實踐能力。

【關鍵詞】數學建模；應用題教學；教學實踐

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》著重指出，高中數學教學需高度重視學科融合，全力提升學生運用數學知識解決實際問題的能力，即數學建模能力。筆者通過問卷調查與分析發現，學生數學建模能力普遍較低，具體表現為社會實踐經驗匱乏，實際情境“數學化”能力薄弱，數學模型儲備量嚴重不足。鑒于此，切實培養學生的數學建模能力已成為當務之急。

一、數學建模與數學應用題概念概述

數學建模是對現實情境進行分析，發現其中可以用數學視角來描述的現象，從中抽象出數學關系，并運用數學知識與方法求解，最終解決現實問題。

廣義的數學應用題解答包含數學建模的全過程，分為模型假設、模型構成、模型解答、模型檢驗四部分。高考對于數學應用題的考查由于時間、場地和閱卷的限制，采取了“掐頭去尾留中段”的辦法，著重考查模型構成與模型解答部分，這也就是狹義的數學應用題解答的概念。本研究過程將基于全面提升學生數學核心素養的目標，從廣義應用題解答出發探索培養學生數學建模能力的有效路徑。

二、數學應用題教學應遵循的原則

1.教學案例的選材要“接地氣”

高中課本數學建模與探究內容可作實例，也可選取貼近學生生活、學生感興趣且力所能及的問題。如教材中的“茶水溫度與時間關系研究”，可拓展為“冰箱中食物溫度與時間關系研究”；多視角研究現實生活案例，研究“包裝盒面料用料最省研究”，亦可探討“包裝盒彩帶用料最省問題”等。

2.應用題教學要注意雙重整體性

首先是數量上的整體性：數學建模不應局限于部分學生的競賽活動，而應著眼于全體學生的能力培養。雖不要求所有學生都能完成復雜且完整的建模過程，但應確保每位學生都有機會參與簡單的建?；顒?，親身體驗數學建模的全過程。其次是個人知識、能力的綜合性：要求學生既具備宏觀的全局視野，又能夠對細節進行精細雕琢，擁有處理實際情境的技能以及將實際問題數學化的能力，既要有扎實的數學基礎又能將數學成果應用于實際問題的解決之中。

3.應用題教學要發揮學生主體作用

應用題教學中，教師應尊重學生個體差異，賦予學生主動權。鼓勵學生通過自主閱讀、實踐、使用互聯網等途徑獨立或合作解決建模難題，促進其“主動探索”“合作交流”“創新思考”能力的提高，力爭讓每個孩子都能主動提出自己的建模方案，經歷完整的數學建模過程，切實提升解決實際問題的能力。

4.應用題教學要注重多元性評價

數學建模具有開放性與包容性，學生可依據實際情境自由假設變量構建模型。由于過程長且無唯一標準，評價需綜合學生自評、互評、教師評價、過程性與終結性評價。學生自評可促進自我反思，互評能讓學生相互學習借鑒，教師評價給予專業指導，過程性評價關注建模過程表現，終結性評價考量最終成果。多元評價有助于全面客觀地評估學生建模能力與努力程度，激勵學生不斷進步。

三、在應用題教學中培養學生建模能力

1.在應用題教學中培養模型假設能力

模型假設旨在對復雜的現實問題進行去粗取精的處理，精準地抓住核心要素，通過簡化或摒棄次要元素，合理設定變量之間的關系，從而構建一個純粹的 “數學化” 場景。若模型假設過于簡單或不合理，將會導致建模思路出現嚴重偏差，最終建立的模型可能與實際情況大相徑庭甚至相互矛盾；反之，若模型假設過于繁瑣復雜，則可能使數學建模過程陷入困境，甚至無法順利推進后續工作。由此可見，培養學生的模型假設能力是數學建模的關鍵環節。

那么，在數學應用題教學實踐中，如何培養學生的模型假設能力呢？老師可在課前拋出一個現實情境或者讓學生提出生活中遇到的問題，通過學生獨立、小組合作以及師生共同探討的方式，進行模型假設的教學實踐，下面以“包餃子”問題為案例，闡述應用題教學中對模型假設能力的培養方法。

例題：家用1kg面和1kg餡包100個餃子，某次餡做多了而面不變，為了把餡全包完，是應該讓每個餃子小一些多包幾個，還是每個餃子大一些少包幾個？如果回答是包大餃子，那么如果100個餃子能包1kg餡，問50個餃子可以包多少餡？很多人會根據“大餃子的肉餡多”的主觀判斷，選擇包大餃子，但沒有科學的理由讓人信服。因此要求學生利用數學方法找出令人信服的證據，找出肉餡與面皮之間的數量關系，建立數學模型，解答上述問題。課堂上，幾乎所有學生都能立即想到所包餃子的數量與餃子的餡和面皮有關，部分學生會選擇用物體體積與表面積的概念來表示餃子的餡和面皮（V和S表示大餃子餡的體積和面皮面積，v和s表示小餃子餡的體積與面皮面積）。在計算餃子的體積時，學生采用了小組合作探討的方式，認為可以假設所有餃子的形狀均為球體，以便于計算和比較大小餃子餡體積；再次假設面粉、肉餡的質地均勻，得出餃子餡體積和面皮的質量公式：V=k1R3，S=k2R2，v=k1r3，s=k2r2；表達式中系數k1、k2均相等。但學生在計算餃子的體積與表面積時，會發現餃子面皮厚度是一個不可忽略的因素。為了簡化模型，老師引導學生假設所有餃子面皮的厚度相同，在這樣的假設下，大餃子和小餃子面皮的面積滿足等式S=ns。

考慮到學生生活經驗和知識面的不完整，課堂上可以采取學生獨立、小組合作以及師生共同探討的方式進行研究，將模型假設不斷進行修改和優化，最終形成書面表達。

2.在應用題教學中培養模型構成能力

模型構成是指準確地運用數學語言和符號，描述對象的內在規律，構建數學模型。包括定義問題、明確目標、確定核心變量及相互關系、構建數學表達式和類比選擇模型。模型的選擇與優化決定著數學建模活動的繁簡與有效性。因而，培養學生模型構成能力是數學應用題教學的核心?，F實問題的數學化和目標的量化是模型構成的關鍵，亦是難點。在應用題教學中，要特別注重學生數學閱讀理解能力的培養，注意精讀關鍵字、詞、句，注意聯想問題的實際背景，利用列表、作圖分析核心變量之間的數量關系，下面以汽車剎車距離應用題教學為例，闡述對學生模型構成能力的培養方法。

在現代城市生活中，提高道路通行效率和行車安全是城市交通面臨的重要課題之一。生活常識告訴我們，車輛速度越快，道路通行效率越高。但是速度快了，剎車距離必然變大，導致交通安全受到影響，下面將對汽車剎車距離進行建模。

在教學過程中，首先引導學生全面思考影響剎車距離的各類因素。經過全體學生的深入思考與熱烈討論，總結出如下主要因素：（1）剎車前汽車行駛的速度；（2）駕駛人員的反應快慢；（3）車輛的剎車性能；（4）道路狀況、天氣狀況等隨機因素。

那么如何用數學表達式表示剎車前汽車行駛的速度和駕駛人員的反應快慢對剎車距離的影響呢？結合同學們學習的物理知識和向物理老師請教的結果，經過大家的共同研討，初步建立剎車距離模型，即“剎車距離=反應距離+制動距離”。

學生認為，反應距離是反應時間與汽車速度的函數，反應時間是指司機意識到剎車和實施剎車操作所經歷的時間，汽車速度是司機在意識到剎車之前汽車的速度。雖然時間較短，但由于車速較大，必須考慮這段距離；制動距離可以看成是剎車動力與汽車速度的函數。剎車動力來源于輪胎與路面的摩擦力，其大小約等于摩擦力。設剎車距離為d，反應距離為d1，制動距離為d2，上述模型可表示為d=d1+d2。

如何得出反應距離的表達式呢？課堂上經過學生的小組討論，認為由于反應時間較短，可以假設汽車在該段時間做勻速直線運動，所以反應距離d1與反應時間t、汽車速度v均成正比，這個關系可表示為d1=atv（a為大于0的常數）。老師適時引導學生，由于實際操作時反應時間較短，很難得出精確數值。因此我們只需將反應距離表示為汽車速度的正比例函數，即d1=αv。

若F表示剎車動力，則汽車剎車時所作的功為

=Fd2，根據能量守恒得（1），其中m為汽車質量。如果剎車時的加速度是a，根據牛頓第二定律得到（2）F=ma。將（2）式帶入（1）式可

以得到，即制動距離，制動距離與汽車速度平方成正比，可記為d2=v2，其中待定。最終得到模型d=d1+d2=αv+v2。

可見，模型構成需要學生有扎實的數學基礎知識、相關學科的專業知識、想象力、生活經驗及數學模型的累積等。

3.在數學應用題教學中培養模型解答能力

模型解答是指用解方程、畫圖表、算法優化及數據分析等方法，借助計算機軟件與技術對模型進行求解。模型解答的過程多為純數學問題，是高考考查的重點且課堂教學中多有涉及，下面就以上剎車距離模型函數d=d1+d2=αv+v2（α，為常數）為例，闡述對學生模型解答能力的培養方法。

生活常識告訴我們，α，的值通過理論計算得不到準確數值，因為在模型假設中忽略掉了很多次要因素，而這些因素確實影響著剎車距離，雖然影響程度不大。因而在模型解答中，α，的值就必須通過數據統計的方法得到，表1是一組美國公路局公布的實驗數據。

上述數據來源于真實的實驗，可以作為對參數α，的估算依據，通過計算，α，的平均值分別為0.210，0.006，得到剎車距離的模型d=0.21v+0.006v2。

由此可知，剎車距離是速度的二次函數。實際數學模型求解難度多樣，教學中可通過大量實例練習，讓學生熟練掌握不同類型模型的解答方法，提高運用數學工具解決問題的能力。

4.在數學應用題教學中培養模型檢驗能力

模型檢驗是將模型的求解結果與實際數據進行細致比較，以此來檢驗模型的合理性與實用性，它是連接現實世界與數學學科的重要橋梁。在高中應用題教學中，這一環節通常容易被忽視或簡化處理。然而，我們應秉持嚴肅認真的態度對待模型檢驗工作，通過反復對比分析，如果發現模型預測值與實際數據之間存在較大偏差，則需要回溯到模型假設與構建環節，深入查找原因，對模型進行完善、修補甚至重新建模，直至得到滿意的結果。例如在上述剎車距離模型中，如果發現模型預測值與真實剎車距離偏差較大，可能是由于模型假設中對某些因素考慮不夠周全，如路面凹凸不平、斜坡坡度等因素對剎車距離的影響，此時就需要及時調整模型假設條件，重新構建模型并再次進行檢驗。在教學過程中，教師應注重引導學生養成良好的模型檢驗習慣，讓學生深刻認識到檢驗環節是完善模型不可或缺的重要組成部分，從而逐步培養學生嚴謹的科學態度。

5.在應用題教學中培養建模綜合能力

學生通過應用題課堂教學，完成了建?；顒?個子能力的訓練，接下來就讓學生經歷真實、完整的數學建?；顒印Ｕ鎸崝祵W建?；顒雍臅r久，非課堂短時間能完成。為培養學生應用與實踐能力，可利用假期開展。學生需經歷發現問題、了解背景、收集數據信息、深入調查、學習相關學科知識、明確建模目標、建立數學表達式、選擇模型與研究方法等過程。可采用多步驟、小組合作等方式，讓每位成員參與各階段研討，熟悉建模流程，能闡述建模報告主要結論與方法。活動結束后撰寫反思總結并全班交流展示，教師給予肯定與獎勵，激發學生數學學習興趣，提升綜合素養。例如，在研究當地城市交通擁堵問題建模時，學生分組收集交通流量、道路狀況、高峰時段等數據，分析影響因素，構建不同模型如線性規劃模型、二次函數模型、三次函數模型、指數型函數模型，以優化交通信號燈時間設置并進行比較，選擇出最優化數學模型。在建模過程中鍛煉團隊協作、數據處理、問題解決等多方面能力。

在今后應用題教學中，應在鞏固傳統教學成果基礎上，強化學生建模假設與檢驗能力培養。通過多維度教學策略與多元化建?；顒?，激發學生數學學習興趣，全面提升學生數學建模核心素養與社會實踐能力，使數學建模活動在高中數學教學中發揮更大價值，為學生未來發展奠定堅實基礎。

【參考文獻】

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[2]蘭小銀，朱文芳.數學建模進入中學課程的意義與價值[J].數學教育學報， 2023（03）.

（基金項目：本文系2022年度海南省教育科學規劃專項課題 “基于應用題教學的高中生數學建模素養培養實踐探究”的研究成果，課題編號為QJH202210109）