“情境—問題—思維”視域下的課堂問題教學探析

摘"要：新課程改革的核心內容之一是實現“課程內容結構化”與“學科知識結構化”的統一，在“情境—問題—思維”視域下，通過設計問題鏈幫助學生完成知識之間的關聯，將點狀知識線性化，尋找特例背后的一般化結論，通過“情境—問題—思維”系列問題推進教學，培養學生的數學核心素養.

關鍵詞：情境創設；問題設計；核心素養；解直角三角形

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）明確指出，課程總目標是通過義務教育階段的數學學習，學生逐步“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界（簡稱‘三會’）”，要求學生能“在探索真實情境所蘊含的關系中，發現問題和提出問題，運用數學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題”.^［1］問題情境是指創設與課堂教學目標、數學內部體系及學生認知結構、認知心理相關聯，能引發認知沖突，形成核心問題，促進學生主動思考的學習探究氛圍.^［2］"這與新課標的理念完美契合，本文以蘇科版《義務教育教科書數學九年級下冊》第7章“銳角三角函數”第7.5節“解直角三角形”的第一課時為例，探索從情境創設到問題激發再到思維提升的有效路徑.

1"教學分析

1.1"內容分析

本節內容為蘇科版《義務教育教科書數學九年級下冊》第7章“銳角三角函數”的中間小節，起到承上啟下的作用.它是正切、正弦、余弦、特殊角的三角函數、由三角函數值求銳角之后內容，本課時綜合應用前面的內容，又為用銳角三角函數解決問題作好鋪墊.教學設計以如何測量旗桿高度引入，然后回顧直角三角形各元素之間的關系，探究至少知道幾個元素可以解直角三角形，最后通過例題教學解直角三角形，從而解決了情境問題，形成閉環.讓學生經歷了“情境—問題—思維”發展的全過程.

1.2"目標分析

通過學習，學生能理解直角三角形中五個元素的關系，會運用勾股定理、直角三角形兩銳角的互余關系及銳角三角函數解直角三角形.學生通過綜合運用各知識點解直角三角形，提高分析問題、解決問題的能力.

1.3"學情分析

學生在小學階段已學習了三角形、直角三角形等知識，在七年級下學期學習了“認識三角形”，知道了直角三角形兩銳角的互余關系；在八年級上學期學習了“勾股定理”，知道了直角三角形的三邊關系；本章第一、二節學習了“銳角三角函數”，建立了邊角之間的關系的認知，為解直角三角形奠定了堅實的基礎，本節課通過“現實問題思考—數學問題解決—數學思維發展”的過程，以實現知識關聯建構，數學核心素養提升、理性精神養成的育人目標.

2"教學設計

2.1"章頭情境，躍動思維

數學源于生活，并服務于生活.真實的情境更能激發學生的斗志，教師在教學前可以出示第7章章頭圖（如圖1），激活學生的思維.

教師根據章頭圖和教學目標設計如下問題.

（1）你如何測量學校旗桿的高度？

（2）觀察抽象出的測量示意圖（如圖2），需要準備哪些工具，為什么？

（3）為什么測量了∠BAC和AC，就能求出BE呢？

2.2"情境深入，生成思維

想要知道三角形中的某些元素，又無法直接測量，那就要借助三角形中各元素之間的關系，教師可以安排知識回顧環節.

知識回顧——三角形各元素之間的關系.

師：直角三角形中（如圖3），五個元素間有哪些相等關系？

生1：三邊之間關系為a²+b²=c²"（勾股定理） ；兩銳角之間關系為∠A+∠B=90°；邊角之間的關系為sinA=ac，

cosA=bc，

tanA=ab.

師：把∠B的三角函數也寫在導學案上，觀察每個等式中含有幾個元素？

生2：除了“∠A+∠B=90°”含有兩個元素，其余都含有三個元素.

【設計意圖】設計知識回顧環節，可以回應情境中已知一邊長度和一角度數可以求出另一邊的情況.另外，在學習新課前，讓學生儲備相應的基本知識，再通過挖掘知識之間的內部聯系，建構知識網絡.最后一個問題為后續教學埋下伏筆，引出本質問題——解直角三角形的條件.

2.3"活動操作，發展思維

合作探究一：至少已知幾個元素的直角三角形可解.

問題1"在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.你能求出其他元素嗎？

生3：可以求出∠B，但求不出三條邊的長度.

師：思考為什么已知一個銳角度數，不能求出剩余元素？

小組討論.

生4：因為一個銳角度數無法確定唯一的三角形，如大屏上的三角形、老師手里的三角板以及我手里的三角尺都有一個角為30°，但大小不同.

師：這些三角形之間有什么關系？

生：相似.

師：添加一邊的長度呢？

生：三角形唯一確定.

【設計意圖】設計問題1時用特殊角30°對學生來說更熟悉，且得出的結論也不受特殊角的桎梏.問題1是為了讓學生通過深入思考、合作探究領會已知一個角的度數不能解直角三角形，同時讓學生初步感受可解的直角三角形必須是確定的.

問題2"在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1.你能求出其余的元素嗎？

生5：∠A＝30°與∠A＝45°時，確定的兩個三角形形狀完全不同.

師：非常棒！繼續思考滿足要求的三角形你能構造多少個？如何構造？

小組討論.

生6：直線AC上有無數個點，我們只要連接除C以外的任何一個點都能得到一個直角三角形，這樣的三角形有無數個.

師：是的，通過合作交流，大家完成了已知一直角邊不能求解其他未知元素的探索.類比以上問題，你還能提出什么問題？

問題3"在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝1.你能求出其余的元素嗎？

生：不可以，斜邊為1的直角三角形也有很多個.

生7（手里拿著一副三角板）：假設它們的斜邊相同，但它們的形狀不同.

師：這個同學很厲害，善于利用手頭的工具，大家能提供一般化的結論嗎？

學生思考、交流.

教師拿出教具：一個用量角器改造成的半圓和一段皮筋.

兩個同學走上講臺，一個將皮筋固定在直徑的兩端點處，另一個拉起皮筋之間的一點放在半圓上，直徑和皮筋就構成了一個三角形（如圖4）.

生8：把半圓的直徑看成單位1，連接它的兩端點與圓弧上任意一點都能得到一個斜邊為1的直角三角形.依據是直徑所對的圓周角是直角.因為圓上有無數個點，可以構造無數個不同的直角三角形.

師：已知一條斜邊不能唯一確定三角形，當然也就無法求出其他元素.怎么添條件呢？

生9：添一邊長度或者一角度數都可以.補充一個邊的長度，可以根據HL定理證全等；補充一個角的度數，根據AAS定理證全等.

【設計意圖】設計問題2和問題3是為了讓學生通過動手操作體會已知一邊長度不能解直角三角形，同時讓學生再次感受可解的直角三角形必須是確定的，要想三角形確定，就必須具備全等的條件.

師：要想由已知元素求其余的未知元素，除直角外需要至少已知幾個元素？

生10：需要兩個元素，且其中至少要含有一條邊.

師：利用Rt△ABC的邊角關系、三邊關系、角角關系，在知道其中的兩個元素（至少有一個是邊）后，就可求出其余元素.這種由已知元素求出所有邊、角中的未知元素的過程叫解直角三角形.

【設計意圖】多數教師對于這部分內容處理的非常簡單，不去探究除直角外已知一個元素為何不能求解其他元素的原因，這樣處理錯失了數學知識之間關聯的機會.筆者將解直角三角形與三角形相似、三角形全等、直徑所對的圓周角是直角等知識串聯起來，知識之間形成網狀聯系，同時引導學生用數學的眼光去觀察現實世界.這樣學生經歷了“情境—問題—思維”完整的學習過程，通過遷移應用培養數學核心素養.

2.4"變式拓展，踐行思維

例題"在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5.解這個直角三角形.

變式1"在Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA=12， BC＝5.解這個直角三角形.

變式2"在Rt△ABC中，∠C=90°，且BC=5，AC=53.解這個直角三角形.

變式3"在Rt△ABC中，∠C=90°.你能添加條件，設計一道解直角三角形的題目并解答嗎？

【設計意圖】例題的設置主要是為了鞏固概念，變式1是為了讓學生領悟三角函數值和角具有同等的作用，變式2和例題比較，是為了讓學生知道已知不同元素選擇不同的關系式.同時，讓學生感知求解某元素時，可以用不同方法，設置變式3是為了讓學生把從例題中獲得的經驗，自主地加以應用.開放性問題有助于學生思維廣闊性、靈活性的培養，形成知識網絡.從課堂的反饋看，學生的經驗應用略顯生澀，直接在例題上換數據，而且換的數據很大，不方便求解.因此，學生關聯能力和開放思維的培養任重而道遠.

2.5"類比猜想，創新思維

作業1"課后去器材室拿所需儀器，測量相應數據，求出旗桿高度.

作業2"如圖所示，在△ABC中，AC＝2，∠A＝30°，∠B＝45°.求AB.

變式"在△ABC中，∠A=30°，tanB=1，AB=3+1， 求AC.

師：大家有解直角三角形的經驗，猜一下這個非直角三角形可解嗎？

【設計意圖】設置這個猜想環節一是為了預告下節課要學的內容；二是為了和這節課內容關聯起來，具備全等條件的三角形是確定的，所以是可解的；三是想讓學生提前思考，如何將非直角三角形加以轉化，使之成為可解的直角三角形.

3"教學思考

學生在課堂的學習過程本質是取得收獲和體驗成功的過程.教師通過精心預設，以生活情境激發問題，以適切的提問、刨根式追問、發人深思的反問促成深度學習發生，在一次次思索與辨析中體驗知識獲得、問題解決的成就和愉悅，將靜態知識轉化為動態生成，推動學生高階素養的發展.

3.1"問題適切，讓知識水到渠成

美國教育哲學家布魯巴克（J.S.Brubacher）指出，最精湛的教學藝術，遵循的最高準則就是讓學生提出問題.教師以本課核心問題為主線，精心設置問題鏈，讓學生處處有疑可問，并通過引導從無效發問走向有效提問，加之適切的追問，如提問“為什么已知一個角的度數不能求出其余所有元素”“這些三角形之間有什么關系”“添加一邊長度以后呢”.這樣的互動讓教師和學生的思維保持同頻共振，讓學生明確渠中水的去處，更知曉渠中水的來處，使知識自然落地.

3.2"巧引妙領，讓高階思維迸發

孫雙金老師曾說，課堂教學要引領學生攀登知識的高山，攀登情感的高山，攀登思維的高山，攀登人格的高山.數學知識之間有著千絲萬縷的聯系，如何抓住邏輯主線，打通各知識壁壘，讓點狀知識線性化，就需要教師借助問題鏈巧引妙領，與學生一道經歷知識的生成和轉化過程，聯動各章節.本堂課一共有三次知識聯動：①直角三角形可解的條件聯動三角形全等的條件，得出這兩者是一致的，直指新知本質，降低學習難度；②斜邊固定的直角三角形聯動“直徑所對的圓周角是直角”，化靜為動，發展學生的動態思維和圖形想象能力；③在小結思考時，聯動非直角三角形求解，從特殊轉向一般，探求一般性的通法.數學教學帶給學生的不僅是數學知識，更應是有思考問題的能力.常規教學中，教師在關注學生主體學習地位的同時，也應充分發揮教師引導者的作用，用情境激發問題，用問題推動思考，用思考達成思維進階，以知識的聯動揭示和彰顯數學知識內在發展的必然性，使學生更好地感受、體會、把握數學的結構、本質和內在聯系.

3.3"抽取本質，發展數學核心素養

數學是一門發現問題并總結問題本質的學科，數學學習要指向知識本質.筆者提供的用量角器改造的半圓和皮筋，用數學工具演示已知一邊長可以構造無數個直角三角形，助力學生用數學的眼光觀察現實世界.在筆者的引導下，學生將浮于表面的知識縱向深化，逐步學會用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界，并最終從特例向一般延展，獲得通性通法，發展數學核心素養.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］胡連成.初中數學“情境—問題—思維”教學模式建構［J］.教學與管理，2024（1）：41-45.