借助中點(diǎn)巧構(gòu)圖 幾何問題妙轉(zhuǎn)化

摘"要：與線段中點(diǎn)有關(guān)的幾何問題是歷年全國各地中考的熱點(diǎn)問題，具有一定的綜合性，承載著一定的選拔性功能.基于此，根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，從不同角度入手，探究其求解方法：一是構(gòu)造三角形的中位線，利用中位線的性質(zhì)求解；二是構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)求解；三是構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)求解；四是幾何問題代數(shù)化，利用解析法求解.通過對以上方法的探究，以期提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和邏輯推理能力，提升學(xué)生的創(chuàng)新素養(yǎng)．

關(guān)鍵詞：中點(diǎn)；構(gòu)造；線段長度；轉(zhuǎn)化；解法

與線段中點(diǎn)有關(guān)的幾何計(jì)算問題通常涉及等腰三角形、直角三角形、平行四邊形等基本圖形，解決此類問題需借助這些基本圖形的性質(zhì)及全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，其綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生而言具有一定的難度.筆者根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特征，以2024年中考試題為例，從不同角度探究中點(diǎn)問題的求解方法，供讀者參考．

1"構(gòu)造三角形的中位線

例1"（2024年天津市中考數(shù)學(xué)第17題）如圖1，正方形ABCD的邊長為32，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在CA的延長線上，OE=5，連接DE．

（1）線段AE的長為""""．

（2）若F為DE的中點(diǎn)，則線段AF的長為""""．

分析：由正方形的性質(zhì)可知，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD.在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理，易知OA²+OD²=AD²，所以2OA²=（32）²，解得OA=3，即正方形ABCD的對角線AC=BD=6.根據(jù)已知條件OE=5，所以AE=OE-OA=2.根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，點(diǎn)A是線段OE的一個定比分點(diǎn)，AE∶OA=2∶3，點(diǎn)F是線段DE的中點(diǎn).欲求線段AF的長，需借助中點(diǎn)構(gòu)造基本圖形，以此搭建已知條件與所求線段之間的數(shù)量關(guān)系.問題（1）較為簡單，為問題（2）的解決奠定基礎(chǔ).問題（2）綜合性較強(qiáng)，是填空題中的一道壓軸題．

解析：如圖1所示，在線段OA上取點(diǎn)G，使AG=AE，連接DG.因?yàn)辄c(diǎn)F是線段DE的中點(diǎn)，點(diǎn)A是線段EG的中點(diǎn)，所以線段AF是△DEG的中位線，所以AF=12DG.在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理，易知OA=OD=3，又AG=AE=2，所以O(shè)G=OA-AG=1.在Rt△DOG中，根據(jù)勾股定理，易知DG=OD²+OG²=3²+1²=10.從而可知AF=102．

點(diǎn)評：這種解法主要用到了“正方形的對角線相等且互相垂直平分”“三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半”及勾股定理等知識，這些知識是初中平面幾何的基本內(nèi)容，是學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識.構(gòu)造三角形的中位線是學(xué)生必須掌握的基本技能，是解決中點(diǎn)問題的重要手段.這種解法借助中點(diǎn)巧妙構(gòu)圖，實(shí)現(xiàn)了幾何問題的巧妙轉(zhuǎn)化，其求解過程簡捷明了，是解決與中點(diǎn)有關(guān)問題的基本方法，其本質(zhì)是構(gòu)造相似三角形，它是解決此類問題的通性通法，具有普適性．

例2"（2024年山東省棗莊市中考數(shù)學(xué)第9題）如圖2，點(diǎn)E為ABCD的對角線AC上一點(diǎn)，AC=5，CE=1，連接DE并延長至點(diǎn)F，使得EF=DE，連接BF，則BF的長為（""）

A. 52

B. 3C. 72

D. 4

分析：根據(jù)已知條件可知，EF=DE，所以點(diǎn)E是線段DF的中點(diǎn)，即本題是以平行四邊形為基本圖形的中點(diǎn)問題.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，其中隱含“對角線互相平分”這一條件，所以可構(gòu)造此平行四邊形的另一條對角線BD，從而可得到“三角形中位線”模型，為問題解決創(chuàng)造有利條件．

解析：如圖2所示，連接BD，交AC于點(diǎn)O.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以O(shè)A=OC=12AC=52.因?yàn)镃E=1，所以O(shè)E=OC-CE=32.又EF=DE，所以O(shè)E是△DBF的中位線，所以BF=2OE=3.故選B．

點(diǎn)評：三角形中位線定理是初中平面幾何的重要內(nèi)容.在解決幾何問題時，遇到線段中點(diǎn)，易聯(lián)想到先構(gòu)造三角形的中位線，然后利用三角形中位線定理解決問題，這也是解決本題的關(guān)鍵.本題構(gòu)思巧妙，借助平行四邊形考查三角形中位線定理，能夠較好考查學(xué)生對平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識的掌握情況，與新課程理念相契合．

2"構(gòu)造全等三角形

例3"（2024年廣東省中考數(shù)學(xué)第15題）如圖3，菱形ABCD的

面積為24，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上的動點(diǎn)，若△BEF的面積為4，則圖中陰影部分的面積為"""．

分析：根據(jù)已知條件，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，由此可聯(lián)想到構(gòu)造“X型”全等三角形，以此構(gòu)建已知條件與所求結(jié)論之間的數(shù)量關(guān)系．

解析：如圖3所示，延長DE，交CB的延長線于點(diǎn)G. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AD∥BC，所以∠G=∠ADE，∠GBE=∠DAE.因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以AE=BE.由全等三角形的判定可得△BGE≌△ADE，所以S△BGE=S△ADE=14·S菱形ABCD=6，EG=DE.又易知S△BEF=4，所以S△EFG=S△BGE+S△BEF=10.由EG=ED可知S△DEF=S△EFG=10．

點(diǎn)評：這種解法借助線段AB的中點(diǎn)E構(gòu)造“X型”全等三角形，得到了幾個三角形面積之間的關(guān)系，為問題解決創(chuàng)造了條件.這種解法簡捷明了，體現(xiàn)了構(gòu)圖法在解決幾何問題中的重要作用.由此可以看出，借助中點(diǎn)巧妙構(gòu)造“X型”全等三角形，可以實(shí)現(xiàn)幾何問題的巧妙轉(zhuǎn)化，這是解決線段中點(diǎn)問題的有效方法．

例4 （2024年貴州中考數(shù)學(xué)第16題）如圖4，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，連接AE，AF.若sin∠EAF=45，AE=5，則AB的長為""""．

解析：如圖4所示，延長AF，交BC的延長線于點(diǎn)G.過點(diǎn)E作AG的垂線，垂足為點(diǎn)H.在Rt△AEH中，sin∠EAF=45，AE=5，所以AH=3，EH=4.根據(jù)菱形的性質(zhì)，易得AB=AD，∠B=∠D，BE=DF，所以△ABE≌△ADF，所以AF=AE=5，所以FH=AF-AH=2.由點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)及菱形的性質(zhì)，易得△ADF≌△GCF，所以FG=AF=5，AD=CG.令菱形的邊長為x，則CE=12x.在Rt△EGH中，根據(jù)勾股定理可得EG²=EH²+GH²，即32x²=4²+7²，解得x=2653（負(fù)根已舍去）.故AB的長為2653．

點(diǎn)評：本題主要考查銳角三角函數(shù)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識，涉及的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，具有較強(qiáng)的選拔性功能，是填空題中的一道壓軸題.在問題解決過程中，需抓住圖形結(jié)構(gòu)特征和已知條件，借助中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形，從而有效實(shí)現(xiàn)有關(guān)線段的轉(zhuǎn)化，為問題解決奠定基礎(chǔ)．

3"構(gòu)造等腰三角形

對于例1，根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征及已知條件，易知△DOE是直角三角形，點(diǎn)F是其斜邊DE上的中點(diǎn)，由此可聯(lián)想到直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，借此可構(gòu)造等腰三角形，為問題解決創(chuàng)造條件．

解析：如圖5所示，連接OF，過點(diǎn)F作OE的垂線，垂足為點(diǎn)I.易知△DOE是直角三角形，OD=3，OE=5，所以DE=34.又因?yàn)辄c(diǎn)F是線段DE的中點(diǎn)，所以O(shè)F=EF=12DE=342，即△OEF是等腰三角形.因?yàn)镕I⊥OE，所以O(shè)I=EI=12OE=52，所以FI=OF²-OI²=32.因?yàn)锳E=2，所以AI=EI-AE=12.在Rt△AFI中，根據(jù)勾股定理，易知AF=AI²+FI²=12²+

32²=102．

點(diǎn)評：這種解法主要用到了正方形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形中線性質(zhì)、等腰三角形“三線合一”性質(zhì)等知識.這種解法計(jì)算量較小，思路簡捷明了，方法通俗自然，也是解決本題的有效方法．

4"解析法

對于例1，根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征及已知條件，四邊形ABCD是正方形，由此可聯(lián)想到解析法，從而實(shí)現(xiàn)幾何問題代數(shù)化．

解析：如圖6所示，以BC所在直線為x軸，以過點(diǎn)E且垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為O′.根據(jù)正方形的性質(zhì)，易知OA=OC=3，所以CE=OC+OA+AE=8.由相似三角形的判定，易知△CAB∽△CEO′，所以ACEC=ABEO′=BCO′C，即68=32EO′=32O′C，所以EO′=O′C=42，從而知E（0，42），D（42，32），A（2，32）.因?yàn)辄c(diǎn)F是線段DE的中點(diǎn)，所以F（22，722）.從而可知AF=（2）²+22²=102．

點(diǎn)評：這種解法另辟蹊徑，將幾何問題代數(shù)化，借助平面直角坐標(biāo)系解決問題.利用解析法解決幾何問題時，需根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出某些關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)或關(guān)鍵直線的表達(dá)式，從而為問題解決創(chuàng)造有利條件.解析法是解決與正方形、矩形、菱形、等腰三角形、直角三角形等特殊圖形有關(guān)幾何問題的有效工具，可以起到化繁為簡、化難為易的作用．

5"結(jié)語

中點(diǎn)問題是初中平面幾何中最基本的問題，與其有關(guān)的基本定理比較多，包括“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”、三角形中位線定理、等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)、平行四邊形對角線的性質(zhì)等.具有不同認(rèn)知水平的學(xué)生，可以利用不同的知識從不同角度給出解法.因此，中點(diǎn)問題的形式靈活多樣，其解法不拘一格.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要滲透此類問題的處理方法，不斷提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．