新高考背景下高中數(shù)學綜合題解題思維構(gòu)建

摘"要：新高考數(shù)學綜合題呈現(xiàn)出情境多樣化、知識綜合性、思維開放性等特點.為解決學生在解題過程中常見的思維盲區(qū)和解題障礙，需提出系統(tǒng)的解題思維構(gòu)建方案.“讀、析、解、驗”解題模型的建立，可以引導(dǎo)學生形成規(guī)范的解題習慣；運用數(shù)形結(jié)合與多元轉(zhuǎn)化思維，可以提升解題的靈活性，從而有效提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和解題能力.

關(guān)鍵詞：新高考；高中數(shù)學；綜合題

江蘇新高考提出了“3+1+2”的模式，其中“3”為必選科，包括了數(shù)學、語文和外語.由此可見新模式仍把數(shù)學作為最基礎(chǔ)、最重要的考核科目.新模式更加強調(diào)考試的綜合性與實踐性，以往通過刷題完成復(fù)習的方法不再適用，而以減輕學生高考壓力、培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)為基礎(chǔ)，測試出學生的真實水平，讓學生獲得更加多樣的選擇和寬廣的發(fā)展空間的做法，才是新高考改革的目的.在教學實踐中發(fā)現(xiàn)，不少學生面對綜合題時往往無從下手，或是解題思路零散，缺乏系統(tǒng)性思維方法.^［1］基于這一現(xiàn)狀，如何幫助學生構(gòu)建科學有效的解題思維體系，成為當前亟須解決的問題.本文立足教學實踐，從綜合題的特點分析入手，探討在新高考背景下解題思維構(gòu)建的現(xiàn)實意義，進而提出具體可行的思維構(gòu)建策略，旨在為一線教師提供教學參考，幫助學生更好地應(yīng)對數(shù)學綜合題的挑戰(zhàn).

1"高中數(shù)學綜合題的特點分析

在新高考改革深入推進的背景下，高中數(shù)學綜合題的命制更加注重對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的考查，基于對2023年新高考數(shù)學I、II卷的深入分析，可以發(fā)現(xiàn)綜合題在知識覆蓋面、思維深度等方面都展現(xiàn)出新的特點，這些變化既體現(xiàn)了考試評價的改革方向，也對數(shù)學教學提出了更高要求.^［2］

知識關(guān)聯(lián)性強化：綜合題不再是單一知識點的簡單應(yīng)用，而是多個知識模塊的深度融合.以2023年新高考數(shù)學Ⅱ卷第21題為例，該題將拋物線、矩形、不等式證明等知識點巧妙結(jié)合，要求學生在解題過程中靈活調(diào)用多個章節(jié)的核心知識.尤其在第（2）問中，需要綜合運用向量、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等多個知識，進行證明，體現(xiàn)了知識間的緊密聯(lián)系.

思維層次遞進性：試題設(shè)計呈現(xiàn)明顯的層次遞進特征.以2023年新高考數(shù)學I卷第21題概率題為例，從第（1）問求具體概率值到第（2）問尋找概率遞推規(guī)律，再到第（3）問引入隨機變量的數(shù)學期望，體現(xiàn)了由具體到抽象、由簡單到復(fù)雜的思維深化過程.這種遞進性不僅考查學生的知識積累，更強調(diào)其數(shù)學思維的連貫性和邏輯性.

2"新高考背景下構(gòu)建數(shù)學綜合題解題思維的現(xiàn)實意義

2.1"適應(yīng)新高考改革對數(shù)學核心素養(yǎng)的要求

新高考改革明確提出了“數(shù)學抽象”“邏輯推理”“數(shù)學建模”“直觀想象”等數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求.基于深層次能力的要求，教師必須重新思考解題思維的構(gòu)建方式.通過分析發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的“解題套路”已難以適應(yīng)新題型的要求，只有幫助學生構(gòu)建系統(tǒng)的數(shù)學思維體系，才能真正提升其解決復(fù)雜問題的能力.特別是在處理概念轉(zhuǎn)化、命題證明等問題時，學生需要具備清晰的思維邏輯和準確的數(shù)學語言表達能力，這正是數(shù)學核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn).

2.2"提升學生數(shù)學建模與實踐應(yīng)用能力

數(shù)學建模能力的培養(yǎng)已成為新高考的重要目標之一，要求學生具備將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力，能夠準確把握問題的本質(zhì).解題思維的構(gòu)建應(yīng)當注重培養(yǎng)學生分析問題的嚴謹性，幫助學生構(gòu)建從實際問題到數(shù)學模型的轉(zhuǎn)化思路和能力，包括提取有效信息的能力、建立數(shù)學模型的能力、選擇解決方法的能力以及結(jié)果解釋的能力.這種思維能力的培養(yǎng)不僅能夠幫助學生解題，更重要的是能夠培養(yǎng)學生用數(shù)學思維分析和解決問題的習慣，為今后應(yīng)對各類實際問題奠定方法論基礎(chǔ).

3"數(shù)學綜合題解題思維的構(gòu)建策略

3.1"構(gòu)建“讀、析、解、驗”的解題模型

教師應(yīng)幫助學生構(gòu)建“讀、析、解、驗”的解題模型.“讀”強調(diào)對題目的全面理解，不僅要讀懂表層文字，更要理解數(shù)學符號、條件之間的關(guān)聯(lián)；“析”注重分析問題的切入點，需要將復(fù)雜問題分解成若干個已知的基本問題；“解”重視解題過程的邏輯性和嚴密性；“驗”則通過回代或其他方法驗證結(jié)果的合理性.以下通過一道具體例題，展示這一解題模型在實際解題中的應(yīng)用.

例題"（2023年新高考數(shù)學Ⅱ卷第17題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC面積為3，D為BC的中點，且AD=1.

（1）若∠ADC=π3，求tanB.

（2）若b²+c²=8，求b，c.

分析：第（1）問方法1，利用三角形面積公式求出a，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出a，作出BC邊上的高，利用直角三角形求解作答.

第（2）問方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出∠ADC即可求解作答；方法2，利用向量運算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出∠ADC即可求解作答.

解析：（1）方法1.在△ABC中，因為D為BC中點，∠ADC=π3，AD=1，

則S△ADC=12AD·DC·sin∠ADC=12×1×12a×32=38a=12S△ABC=32，

解得a=4.

在△ABD中，∠ADB=2π3，由余弦定理得c²=BD²+AD²-2BD·ADcos∠ADB，

即c²=4+1-2×2×1×-12=7，解得c=7，則cosB=7+4-127×2=5714，

sinB=1-cos²B=1-5714²=2114，

所以tanB=sinBcosB=35.

方法2.在△ABC中，因為D為BC中點，∠ADC=π3，AD=1，

則S△ADC=12AD·DCsin∠ADC=12×1×12a×32=38a=12S△ABC=32，

解得a=4.

在△ACD中，由余弦定理得b²=CD²+AD²-2CD·ADcos∠ADB，

即b²=4+1-2×2×1×12=3，解得b=3，有AC²+AD²=4=CD²，

則∠CAD=π2，C=π6，過A作AE⊥BC于點E（如圖1），于是

CE=ACcosC=32，AE=ACsinC=32，BE=52，

所以tanB=AEBE=35.

（2）方法1.在△ABD與△ACD中，由余弦定理得c²=14a²+1-2×12a×1×cos（π-∠ADC），

b²=14a²+1-2×12a×1×cos∠ADC，

整理得12a²+2=b²+c²，而b²+c²=8，則a=23.

又S△ADC=12×3×1×sin∠ADC=32，解得sin∠ADC=1，而0lt;∠ADClt;π，

于是∠ADC=π2，

所以b=c=AD²+CD²=2.

方法2.在△ABC中，因為D為BC中點，則2AD=AB+AC，又CB=AB-AC，

于是4AD²+CB²=（AB+AC）²+（AB-AC）²=2（b²+c²）=16，即4+a²=16，解得a=23.

又S△ADC=12×3×1×sin∠ADC=32，解得sin∠ADC=1，而0lt;∠ADClt;π，

于是∠ADC=π2，

所以b=c=AD²+CD²=2.

從這個例題的解答過程可以清晰地看到“讀、析、解、驗”模型的實際運用：讀題階段準確理解三角形的面積、角度等條件；分析階段通過作圖將問題分解為求解三角函數(shù)值和邊長的子問題；解題階段運用三角形面積公式和余弦定理進行嚴密推導(dǎo)；最后通過兩種不同解法相互印證，確保結(jié)果正確.這種系統(tǒng)的思維方式不僅確保了解題的準確性，也培養(yǎng)了學生嚴謹?shù)臄?shù)學思維習慣.

3.2"培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合與多元轉(zhuǎn)化思維

數(shù)形結(jié)合與多元轉(zhuǎn)化思維是解決復(fù)雜數(shù)學問題的重要方法.數(shù)形結(jié)合強調(diào)將抽象的數(shù)學關(guān)系通過圖形直觀展現(xiàn)，多元轉(zhuǎn)化則注重在不同數(shù)學表達方式間靈活轉(zhuǎn)換.這種思維方式不僅能幫助學生厘清問題的本質(zhì)，還能開拓學生的解題思路.

例題"（2023年新高考數(shù)學Ⅱ卷第21題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為-25，0，離心率為5.

（1）求C的方程.

（2）記C的左、右頂點分別為A₁，A₂，過點（-4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA₁與NA₂交于點P.證明點P在定直線上.

分析：第（1）問由題意求得a，b的值即可確定雙曲線方程.

第（2）問設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標分別寫出直線MA₁與NA₂的方程，聯(lián)立直線方程，消去y，結(jié)合韋達定理計算可得x+2x-2=-13，即交點的橫坐標為定值，據(jù)此可證得點P在定直線x=-1上.

解析：（1）

設(shè)雙曲線C的方程為x²a²-y²b²=1（agt;0，bgt;0），由焦點坐標可知c=25，

則由e=ca=5得a=2，b=c²-a²=4，

則雙曲線C的方程為x²4-y²16=1.

（2）

由第（1）問可得A₁（-2，0），A₂（2，0），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）.

顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線MN的方程為x=my-4（如圖2），

與x²4-y²16=1聯(lián)立并消去x可得（4m²-1）y²-32my+48=0，且Δ=64×（4m²+3）gt;0，

則y₁+y₂=32m4m²-1，y₁y₂=484m²-1.

直線MA₁的方程為y=y₁x₁+2（x+2），直線NA₂的方程為y=y₂x₂-2（x-2），

聯(lián)立直線MA₁與直線NA₂的方程并消去y可得

x+2x-2=y₂（x₁+2）y₁（x₂-2）=y₂（my₁-2）y₁（my₂-6）=my₁y₂-2（y₁+y₂）+2y₁my₁y₂-6y₁

=m·484m²-1-2·32m4m²-1+2y₁m×484m²-1-6y₁=-16m4m²-1+2y₁48m4m²-1-6y₁=-13，

由x+2x-2=-13，得x=-1，即x_P=-1.

綜上，點P在定直線x=-1上運動.

通過這道例題的解答過程可以清楚地看到數(shù)形結(jié)合與多元轉(zhuǎn)化思維的優(yōu)勢.在處理雙曲線方程時，通過圖象輔助分析點的位置關(guān)系，使抽象的代數(shù)運算更加直觀；在求解交點坐標時，靈活運用參數(shù)方程和直線方程的轉(zhuǎn)化，簡化了計算過程.這種思維方式提供了清晰的解題思路，同時體現(xiàn)了數(shù)學概念在不同表達形式之間的內(nèi)在聯(lián)系.最重要的是，這種思維訓練有助于培養(yǎng)學生多角度分析問題的能力.

4"結(jié)語

高中數(shù)學綜合題解題思維的構(gòu)建是一個系統(tǒng)工程，需要在教學實踐中不斷探索和完善.通過“讀、析、解、驗”模型的應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合與多元轉(zhuǎn)化思維的培養(yǎng)，以及遷移類比與綜合歸納方法的訓練，能夠幫助學生形成清晰的解題思路和嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰?這些思維方法的掌握有助于學生應(yīng)對高考數(shù)學綜合題，更重要的是培養(yǎng)了學生分析問題、解決問題的核心能力，為今后的學習和發(fā)展奠定了堅實基礎(chǔ).

參考文獻

［1］ 房崇輝.新高考背景下高中數(shù)學教學中核心素養(yǎng)培養(yǎng)策略探究［J］.高考，2024（35）：6-8.

［2］ 趙澤林.新高考背景下的高中數(shù)學個性化教學研究［J］.數(shù)理天地（高中版），2024（21）：91-93.