利用合作推理式學習發展學生的代數推理能力

摘" 要：基于《義務教育數學課程標準（2022年版）》中對培養學生數學核心素養的要求，特別是對代數推理能力的重視，探討如何通過合作推理式的學習方式，有效發展學生的代數推理能力. 以“反比例函數的圖象和性質”一課為例，通過一系列課堂實踐活動，驗證合作推理式學習對學生代數推理能力提升的有效性.

關鍵詞：合作推理式學習；初中數學；代數推理能力；反比例函數

中圖分類號：G633.6" " " 文獻標識碼：A" " " 文章編號：1673-8284（2025）04-0018-06

引用格式：朱麗霞. 利用合作推理式學習發展學生的代數推理能力：以“反比例函數的圖象和性質”一課為例［J］. 中國數學教育（初中版），2025（4）：18-23.

一、問題的提出

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）強調了義務教育階段培養學生數學核心素養的重要性. 其中，推理能力作為數學核心素養的主要表現之一，主要是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題或結論的能力. 不僅“圖形與幾何”領域需要推理，“數與代數”領域也同樣需要推理.《標準》明確提出了“了解代數推理”的要求，旨在通過增加代數推理的訓練來發展學生的數學核心素養.

初中數學合作推理式學習方式專注于解決非良構數學問題. 在這種學習方式下，學生通過合作，運用已有的數學知識和邏輯推理的方法，按照“理解情境—提出猜想—推理論證—形成觀點—匯報成果—反思總結”的順序進行學習. 其中，推理論證是這一過程的核心環節. 以“反比例函數的圖象和性質”一課為例，探討如何通過合作推理式學習來培養和發展學生的代數推理能力，進而促進其高階思維的發展.

二、課堂實錄與設計解說

本節課的教學建立在學生已經學習函數的基本概念、了解正比例函數的概念、掌握正比例函數圖象的描點法及其性質等知識的基礎上. 基于正比例函數的學習經驗，學生能類比其圖象畫法，自主嘗試描繪反比例函數的圖象. 課前，學生嘗試繪制反比例函數的圖象，在這一過程中產生了諸如“當k gt; 0時，為什么圖象會出現在第一、三象限”這樣的非良構數學問題. 在課堂中，通過采用合作推理式學習，學生根據之前的學習經驗來理解數學情境問題，針對反比例函數圖象的性質提出假設，并通過合作推理活動單來驗證這些假設. 在此過程中，組內成員對假設進行討論和反思，深化理解；組間則通過辯論進一步驗證假設的真實性，并形成最終的觀點進行匯報.

本節課的教學目標是通過對預習單的自主學習與小組討論，使學生認識到反比例函數的圖象實質上是雙曲線，并且能夠熟練運用描點法繪制其圖象. 通過借鑒正比例函數圖象性質的學習經驗，學生將進行自主探究和小組交流，經歷觀察、猜測及論證反比例函數圖象性質的過程，最終掌握這些性質，提升代數推理能力，促進高階思維的發展.

1. 課前畫圖，提出困惑——問題之“白”

學生在課前完成預習單（如圖1），并提出自己的困惑.

根據學生提出的困惑，教師總結出如下6個問題.

（1）畫反比例函數圖象時如何取點？

（2）為什么反比例函數圖象不經過原點？

（3）為什么反比例函數圖象是曲線而不是折線？

（4）為什么反比例函數圖象與坐標軸不相交？

（5）反比例函數的增減性是怎樣的？

（6）反比例函數與正比例函數的聯系與區別是什么？

【設計解說】該活動是本節課的前篇，讓學生在課前類比正比例函數圖象的畫法自主嘗試繪制反比例函數圖象，并在此過程中提出自己的疑惑. 這些疑惑，即所謂的問題之“白”，有效地激發了學生的好奇心，激發了他們的探究欲望，逐步點燃了批判性思維的火花. 同時可以看出，學生在提出疑惑時是以已經掌握的正比例函數知識為基礎的，從單元整體的角度來審視問題，將新舊知識建立關系，體現了學生對知識體系的整體把握與應用能力.

2. 師生互動，解決困惑——完成補“白”

活動1：反比例函數圖象的畫法.

教師展示問題（1） ～ （4），由學生進行小組討論后，派代表交流. 教師展示學生預習單中有瑕疵的反比例函數圖象（如圖2），并予以糾正，讓學生思考：畫反比例函數圖象時要注意什么？

【設計解說】該活動是本節課教學的開篇，屬于“理解情境”環節. 對于問題（1） ～ （4），學生能通過討論推理得出結論. 而問題（5）和問題（6）對學生來說有些困難. 通過一系列活動逐一解答問題（1） ～ （4），完成對“空白”的填補. 經歷異質組討論的過程，學生得以共同探討并得出反比例函數圖象的具體特征，同時也糾正了在預習階段所畫圖象的錯誤. 各小組從不同角度分析問題. 例如，對于問題（2）與問題（4），得到：因為[x≠0]，所以圖象不經過y軸；由[k≠0]可以得到[y≠0]，從而不經過x軸. 對于問題（3），有學生認為某些點的連線不是直線就是曲線，其他學生提出不同的見解. 最終，教師利用多媒體技術取無數個點后，學生發現這些點的軌跡就是兩條曲線. 從學生的對話中發現他們在批判性地、建設性地思考彼此的想法. 在這樣探究性的對話中，學生共同分享所有與問題相關的信息，作出判斷. 糾錯不僅僅是為了避免錯誤，而是提升教學質量的關鍵.

這種學習方式不僅增強了學生的學習信心，也促進了他們推理能力和批判性思維的發展. 在整個過程中，學生通過提取已有知識對問題作出合理的解讀，理解問題情境，激發了策略性思維和批判性思維. 這種學習方式不僅能夠吸引學生的注意力，還能為后續深入探究奠定堅實的基礎.

3. 小組合作，探究性質

（1）性質猜測——發現之“白”.

活動2：反比例函數圖象性質的猜測.

師生活動：教師展示預習單中反比例函數[y=8x]，[y=4x]和[y=-8x]，[y=-4x]的圖象，讓學生觀察后回答問題.

師：觀察這些函數圖象，你從中可以得到哪些信息？

生1：它們的圖象關于原點成中心對稱.

生2：當[kgt;0]時，圖象在第一、三象限；當[klt;0]時，圖象在第二、四象限.

生3：反比例函數的圖象與正比例函數圖象的增減性相反. 當[kgt;0]時，y隨x的增大而減小；當[klt;0]時，y隨x的增大而增大.

【設計解說】該活動是合作推理式學習中的“提出猜想”環節. 通過展示預習單中給出的反比例函數圖象，教師引導學生觀察圖象并說出他們遇到的問題. 在此基礎上，學生對反比例函數圖象的性質提出了初步的猜想. 這一過程強調了數形結合的重要性，體現了從特殊到一般的數學思想，符合合情推理的特點. 學生利用之前學到的正比例函數的性質進行類比，推測反比例函數的性質. 在這個過程中，學生對反比例函數增減性的猜測可能存在誤區，但教師并未立即糾正，而是鼓勵學生在合作推理的過程中自行發現并修正這些錯誤，旨在培養學生的批判性思維.

整個環節，教師適當地引導學生表達他們對反比例函數性質的理解，使學生逐步構建對反比例函數性質的全面認識. 這種方式不僅有助于學生發展代數推理能力，而且能夠發展學生思維的連續性和延展性，遵循了學生的認知發展規律，并且與數學知識體系的遞進式發展保持一致. 在這種學習方式中，學生不僅掌握了新的數學知識，還學會了如何思考和解決問題.

（2）性質證明——論證之“白”.

活動3：反比例函數圖象位置的論證.

任務1：將猜想“當[kgt;0]時，反比例函數[y=kx]的圖象在第一、三象限”轉化為“已知、求證”的符號語言.

任務2：小組討論，利用思維流程圖來論證猜想.

任務3：小組代表進行匯報.

師生活動：小組間積極討論思考，小組代表發言，教師點評.

有學生匯報如下.

生4：我們小組是這樣思考的. 已知：反比例函數[y=kx][kgt;0]，求證：圖象的兩支分別位于第一、三象限. 證明圖象位于第一、三象限，即證明圖象上的每一個點都在第一象限或第三象限，故任取一點P（a，b），證明a gt; 0，b gt; 0或者a lt; 0，b lt; 0. 因此，將點P的坐標代入函數解析式，然后分a gt; 0和a lt; 0兩種情況進行討論，可以證明圖象上的每一個點都在第一象限或第三象限內. 思維流程圖如圖3所示，符號語言如圖4所示.

生5：我們小組的證明過程更為簡潔，不需要分類討論. 我們同樣任取一點P[a，b]，代入函數解析式，然后變形，發現橫、縱坐標同號，即可證明圖象上的每一個點都在第一或第三象限. 思維流程圖如圖5所示，符號語言如圖6所示.

師：非常好. 這是一個由因導果的過程，也可以執果索因，類比思維流程圖得到證明的過程. 當[kgt;0]時，反比例函數[y=kx]的圖象在第一、三象限的猜想是正確的. 當[klt;0]時的猜想也正確，同學們在課后完成.

生6：我發現反比例函數的圖象是中心對稱圖形，用k = ab可以很簡單地說明點[Pa，b]關于原點的中心對稱點[P′-a，-b]也在[y=kx]的圖象上.

【設計解說】該活動是合作推理式學習中的“推理論證—形成觀點—匯報成果”環節. 這一環節注重培養學生從代數角度觀察、分析、歸納和證明的能力，體現了演繹推理的過程. 任務1要求學生將猜想轉化為用精確的數學語言表達；任務2中通過使用活動單引導學生借助思維流程圖來論證“當[kgt;0]時，反比例函數[y=kx]的圖象在第一、三象限”的猜想. 在這個過程中，學生不僅經歷了從形成觀點到論證觀點的完整過程，還在小組合作中驗證了猜想，隨后進行小組匯報、交流. 學生給出的兩種證明方法不僅展示了推理的多樣性和嚴謹性，還強調了借助幾何圖形來研究代數關系的重要性，體現了演繹推理的過程，培養了學生的策略性思維. 而生6通過生5的解答，還得出“反比例函數的圖象是中心對稱圖形”的論證過程，更體現了創造性思維. 整個過程中，教師不僅幫助學生掌握了數學知識，還鼓勵學生系統地思考問題，通過推理得出結論，為發展學生的高階思維提供了有力的支持，提升了學生的代數推理能力.

活動4：反比例函數圖象增減性的論證.

任務1：將猜想“當[kgt;0]時，函數y的值隨x的增大而減小”轉化為“已知、求證”的符號語言.

任務2（小組討論）：（1）利用思維流程圖來論證猜想；（2）如果猜想存在問題，嘗試糾正并論證新的猜想.

任務3：小組代表進行匯報.

有學生匯報如下.

生7：我們組先將文字語言轉化為符號語言，類比正比例函數的增減性的符號表示，取兩個點，將猜想轉化為“已知：點[Ax1，y1，Bx2，y2]在反比例函數[y=kx][kgt;0]的圖象上，且x1 gt; x2. 求證：y1 lt; y2”. 從結論出發，要證明y1 lt; y2，即證明y1 - y2 lt; 0. 可以將點A和點B的坐標代入函數解析式，再判斷y1 - y2的符號，就可以說明了. 思維流程圖如圖7所示，符號語言如圖8所示.

生8：不對，你們的思路無法判斷y1 - y2 lt; 0. 雖然x2 - x1 lt; 0，[kgt;0]，但x1，x2的符號是不清楚的. 所以我們小組認為“當[kgt;0]時，y隨x的增大而減小”這一猜想是存在問題的. 為了判斷x1，x2的符號，我們分三種情況討論. 當x1 gt; x2 gt; 0時，y1 - y2 lt; 0，即y1 lt; y2；當x2 lt; x1 lt; 0時，y1 - y2 lt; 0，即y1 lt; y2；而當x1 gt; 0 gt; x2時，y1 - y2 gt; 0，即y1 gt; y2. 所以當x1 gt; 0 gt; x2時，這個猜想是錯誤的.

師：若猜想錯誤，應該如何修正這個猜想？

生8：我們小組發現，當x1 gt; x2 gt; 0時，y1 lt; y2；當x2 lt; x1 lt; 0時，也是y1 lt; y2. 也就是這兩種情況是正確的. 當x1 gt; x2 gt; 0時，說明A，B兩點在第一象限；當x2 lt; x1 lt; 0時，說明A，B兩點在第三象限. 因此，當兩個點同時在第一象限或第三象限時猜想是正確的，但若一個點在第一象限、一個點在第三象限，猜想則是錯誤的.

師：很好，如果點在第二、四象限呢？

生8：點不可能在第二、四象限. k gt; 0說明圖象在第一、三象限，故只有上述三種情況.

生9：我認為沒必要分類討論. 我們已經論證了[kgt;0]，反比例函數圖象在第一、三象限，因此點在第一象限或第三象限，此時x1，x2同號就可以說明y1 lt; y2.

師：非常好. 正如生9所說，增加x1 gt; x2 gt; 0或x2 lt; x1 lt; 0，即點在同一個象限內，猜想就正確了，可以完成論證. 這個小組思考得非常全面，那么我們該如何修正“當[kgt;0]時，y隨x的增大而減小”的猜想？接下來，同學們來歸納一下，通過對這些猜想的論證，可以得到反比例函數圖象的哪些性質.

生10：當[kgt;0]時，反比例函數圖象在第一、三象限，在每一個象限內，y隨x的增大而減小；當[klt;0]時，反比例函數圖象在第二、四象限，在每一個象限內，y隨x的增大而增大.

師：非常棒. 當[klt;0]時，反比例函數圖象的性質證明由同學們在課后完成.

【設計解說】該活動展示了合作推理學習方式中的“推理論證—形成觀點—匯報成果”及“反思總結”環節. 活動4的設計注重對學生批判性思維的培養. 學生先形成關于“當[kgt;0]時，y隨x的增大而減小”的猜想，并嘗試進行論證. 然而，在論證過程中，學生發現最初的猜想存在偏差，并在合作討論中進行了糾正. 通過這一過程，學生經歷了對結論和觀點的反思與調整，思維在交流中得以碰撞，不僅培養了批判性思維，還激發了創造性的思考.

活動設計強調了演繹推理的過程，要求學生在推理過程中始終保持對自己思維路徑的關注，從提出問題開始，經歷形成猜想、論證猜想、反思猜想直至重新論證和調整猜想的完整循環. 這種學習方式不僅培養了學生的高階思維能力，還讓他們學會了如何系統地分析問題、驗證假設，并基于證據作出合理的判斷. 學生在開放性問題情境中與他人進行探究性對話和建構式互動，在教師的引導式參與過程中生成結論. 整個討論的結果是對不同觀點的整合、評價、協商之后形成的，有助于促進學生對不同維度信息進行整合的能力，發展其高階思維. 通過這種方式，學生不僅掌握了具體的數學知識，而且在實踐中學會了如何運用邏輯推理來解決問題，這對于提升其綜合素養具有重要意義.

三、實踐反思

隨著科學和社會的發展，人們對抽象字母符號的創建、識別、推理、應用和交流越來越廣泛. 因此，只在幾何學習中培養推理能力顯然是不夠的，在代數學習中也應該培養推理能力. 學生需要通過分析，明確教師提供的具體數學問題，通過一系列的猜想和論證，總結和歸納其中蘊含的規律或者系統性的結論. 在初中數學課堂中，學生從問題出發，經歷“理解情境—形成猜想—論證猜想—形成觀點—匯報成果—反思猜想”并調整猜想和重新論證的合作推理式學習的過程，充分提升了代數推理能力.

1. 設計針對性推理任務，達成代數推理目標

推理不僅是學習的手段和工具，更是學生需要發展的數學核心素養之一. 在代數學習過程中，豐富的推理活動能夠有效促進學生推理能力的提升. 為了確保推理目標的達成，設計有針對性的推理任務至關重要. 該節課中，活動3和活動4分為多個子任務. 通過精心設計的推理任務，幫助學生逐步實現推理目標，并使學生在具體操作中體驗推理的樂趣，從而建立對代數推理的信心和興趣. 這種合作推理式學習模式不僅強化了學生的代數推理能力，還促進了學生高階思維的發展.

2. 小組合作討論，完善代數推理過程

為了更好地讓學生體會代數學習過程中的推理，并將這一過程清晰地展現出來，在學生學習過程中，教師利用活動單等工具促進學生深度合作. 學生通過活動單展示小組的思維過程，當一個小組在進行匯報交流時，另一個小組需要傾聽、理解并給予回應，并綜合第一個小組的想法，進行整合和總結，從而完善代數推理過程，促進代數推理能力的發展. 該節課中，教師利用如圖9和圖10所示的活動單促進小組合作推理，小組代表分享推理過程中的體驗，討論遇到的難題及解決辦法. 教師適時補充，幫助學生提煉推理過程中的關鍵點. 整個過程中，學生不僅能夠理解反比例函數圖象的性質，還能通過合作推理式學習，鍛煉和發展代數推理能力. 而教師的角色是引導者和支持者，幫助學生構建推理思維框架，確保每名學生都能積極參與到推理活動中來，從而促進他們高階思維的發展.

3. 反思批判總結，滲透代數推理能力

對學生推理能力的培養是一個長期且持續的過程. 教師不能期望通過一節課就將所有推理知識傳授給學生，學生也不可能僅憑一次系統性的訓練就養成推理的意識和習慣. 因此，教師要在日常教學中不斷滲透對學生推理能力的培養，逐漸引導學生理解和運用推理方法. 教師應該將推理的概念和過程逐步融入代數的每節課，為學生安排充足的時間進行推理練習，并反思總結，以此循序漸進地提升學生的代數推理能力.

參考文獻：

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