對北師大版新教材中的可持續思考問題的實踐與思考

［摘要］北師大版數學教材（2024年版） 在每個單元的章首語部分新增了可持續思考問題，旨在引導學生探索學習本單元內容的一般路徑，從而培養學生以專家思維來思考問題的能力.文章以“線段、射線、直線”的第1課時教學設計為例，強調可持續思考問題應與課時教學內容緊密結合，并提出以具體的學習活動為載體，利用適當的工具記錄思維過程，使學生在持續性的思考中培養核心素養.

［關鍵詞］可持續思考問題；一般觀念；專家思維；核心素養

問題提出

北師大版數學教材（2024 年版）（以下稱“新教材”） 在每個單元的章首語部分新增了可持續思考問題. 這些問題既反映了各單元學習的重點和難點， 又指出了學習各單元內容的一般路徑. 學生通過研究探索與相互交流逐步揭示問題的答案， 深入領會數學概念的核心本質、意義及其價值. 這一過程不僅能加深學生對數學本質的理解， 還能培養學生的數學核心素養.

可持續思考問題深入數學概念的核心本質，揭示了不同數學知識之間的聯系.可持續思考問題的答案并非一成不變的，而是具有開放性的.對可持續思考問題的深入探討，能使學生更全面、更深刻地理解所學內容，提升數學思維.可持續性思考問題鼓勵學生進行深入且持續的思考，類似于數學專家的思考過程.筆者認為，這正是教材編纂者將這些問題命名為可持續思考問題的根本原因.正確理解可持續思考問題的功能和教學價值，深入挖掘其數學內涵，并發揮其在幫助學生形成正確的數學學習觀念、發展數學思維方面的作用，是充分利用教材、貫徹新課改理念的關鍵步驟.

可持續思考問題的教學價值

1.引導學生多角度思考數學問題

數學是思維的體操，承擔著提升學生思維層次和思維能力的任務.思維是對客觀事物的間接反映，其產生與發展依賴于問題的驅動.好問題是激發深度思維、喚醒高階思維的關鍵.如前所述，新教材中的可持續思考問題直接觸及研究對象的數學本質和數學學習的本質.學生對可持續思考問題的持續思考，能夠激勵他們多角度、深入地探索同一數學學習對象，從而拓展對思維對象的認知，并加大思維的深度與廣度.以七年級上冊新教材第一單元“豐富的圖形世界”為例，該單元提出的可持續思考問題是：“你認為可以從哪些方面認識和研究一個幾何體？”該問題貫穿了第一單元的學習內容，體現了單元的教學目標和主要教學任務.在對“幾何體”進行持續性思考的過程中，學生將從構成幾何體的要素及其相互關系來認識幾何體，同時從平面圖形的視角來理解幾何體.例如，通過研究幾何體的截面形狀、表面展開圖以及從不同方向觀察幾何體得到的平面圖形等，來認識幾何體的整體結構與特征.這樣便可將現實世界三維空間的實物轉化為思維世界二維空間的平面圖形進行認識與探究， 體現了“降維”這一思想方法.同時，在對可持續思考問題的探索中，學生能夠主動地將不同的幾何體聯系起來，如在不同類型的柱體之間、柱體與錐體之間建立聯系，形成對幾何體的結構化認識.此外，學生還能將抽象的幾何圖形與現實世界的實物聯系起來，實現對具體實物的抽象化和概括化理解.

2. 促使學生對數學學習保持好奇心

我們深知，興趣是最好的老師，而興趣源于對事物持續而強烈的好奇心.好奇心作為人類與生俱來的一種特質，是科學進步、文化繁榮以及個人成長的關鍵驅動力.例如，牛頓對蘋果落地現象的好奇，引領他深入探究并最終揭示了萬有引力定律，為經典力學的建立奠定了基石.同樣，愛因斯坦對光速不變原理的好奇，激發了他對相對論的構想，這一理論徹底革新了我們對宇宙的認知.教育的目的不僅在于傳授人類已有的知識成果，還在于點燃學生對未知世界的好奇心，鼓勵他們積極主動地探索新事物，學習新知識.在數學學習中，學生對可持續思考問題的探討集中于對數學對象本質的理解與發掘，不僅關注其定義，而且關注其來源、發展以及與其他數學知識的聯系.學生對可持續思考問題的深入探索，能夠揭示數學知識深層次的奧秘，從而激發強烈的好奇心，提出更多創新性問題，培養創新意識和創新能力.以前述的可持續思考問題“你認為可以從哪些方面認識和研究一個幾何體”為例，部分學生在學習此單元之前，認為可以通過觀察幾何體各個面的顏色、形狀，以及它們構成的整體來認識和研究.剛開始，他們從構成幾何體的基本元素，如點、線、面的形狀和數量等角度來深入理解.隨著學習的推進，他們意識到還可以通過幾何體的分類來認識其特征，以及通過定量分析來探究各組成元素的數量關系和位置關系.可見，隨著思考的不斷深入，學生對所研究數學對象的理解也更加深刻，新發現隨之增多，對其也越來越好奇.

3. 引導學生進行反思性學習

新一輪課改特別強調引導學生開展反思性學習，旨在提高學生數學學習的自我監控能力.當學生深入探索可持續思考問題時，他們會體驗到自己對問題理解的進程和轉變.這種體驗能夠推動他們對問題進一步思考，并促使他們審視過往的思考成果，逐步培養自我監控能力，從而提升學習的元認知水平.此外，新教材在每個單元都融入了“ 回顧·反思”的學習活動，旨在引導學生通過反思性學習，提煉出本單元研究問題的思想、方法和路徑，積累研究數學問題的活動經驗. 同時，這些活動也鼓勵學生通過反思來深化對本單元可持續思考問題的思考，體現“可持續”教育理念及其價值.例如，在七年級上冊新教材第二章“有理數及其運算”的第2節探究有理數加法法則及運算律后，教材提出了“回顧·反思”問題：“對于有理數加法運算，你積累了哪些簡便計算的經驗？”在第3節學習有理數的乘除運算后， 又提出了“回顧·反思”問題：“回顧有理數運算的學習，你經歷了怎樣的探索過程？ 積累了哪些研究問題的經驗？”這些反思性問題，都是對本單元可持續思考問題“研究一類‘新’數，一般會經歷怎樣的過程”的回應.在教學過程中，教師應在相應的課時中引導學生有意關注并思考這些問題，幫助他們在思考過程中概括和提煉研究數學對象的一般路徑，形成一般性經驗，并指導學生逐步養成反思性學習的意識和習慣.

4. 培養學生的科學精神

“數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中發揮著不可替代的作用.”［1］ 科學精神主要體現在求真務實、理性思維、創新精神和持久性等方面.學生若能持續深入地思考問題，就能逐步對所學習和研究的數學知識有更豐富、更全面、更系統的理解.這些理解將激發他們產生新的思考，進而逐漸精準地掌握數學知識的本質.此外，對可持續思考問題的持續性思考，有助于學生培養專注力和毅力，塑造正確的數學學習觀念.例如，有學生對可持續思考問題“ 研究一類‘新’數，一般會經歷怎樣的過程”的思考如下：首先認識和理解“新”數的概念，其次對“新”數進行分類，研究“新”數的運算，最后探討“新”數的應用；研究一類“新”數，從不認識到認識，從不熟悉到熟悉，這是一個循序漸進的過程；確立“新”數的語言和結構，確?！靶隆睌刁w系的準確性，通過數學證明來驗證“新”數的合理性和有效性，并將其應用于解決實際問題、檢驗準確性等.分析學生的思考過程，我們可以發現，這是學生對“新”數形成理性認識的過程，也是他們對“新”數進行科學探究的過程.

那么，在教學實踐中如何引導學生對可持續思考問題進行思考呢？下面，結合七年級上冊新教材第四章第1節“線段、射線、直線”的第1課時，談談筆者的實踐與思考.

教學過程設計策略

1.創設真實情境，提出驅動性問題

真實情境不僅涵蓋社會和生活領域，還包括科學和數學領域.創設教學情境是激發學生數學思維、提出具有價值的數學問題的關鍵手段.數學課堂教學應當“重視情境創設與問題提出在促進學生主動參與教學活動中的作用，幫助學生在活動中逐步培養核心素養”.對于可持續思考問題的研究，尤其需要依托真實情境，以確保其具有實際載體，從而使其更具意義和價值.

導言：我們生活在一個豐富多彩的世界，這個世界充滿了各種各樣的圖形，這些圖形都是由一些簡單的圖形構成的.觀察下列圖片或我們周圍的世界（教室、校園……），你能辨認出哪些熟悉的平面圖形？

導言：正如大家所言，既有圓，又有長方形、正方形、三角形；既有曲線，又有直線、射線、線段；還有角.

驅動性問題：你認為可以從哪些方面探究一個平面圖形？請記錄下來，并與你的同伴分享.

教學說明 鼓勵學生列舉自己在日常生活中觀察到的或從圖片中識別出的平面圖形.隨后，引導學生提出本單元值得深入探討的問題，并鼓勵他們自由交流想法.在這個過程中， 教師應避免立即表達個人意見.

設計意圖 通過創設真實情境，引導學生提出一個貫穿“圖形與幾何”學習領域的驅動性問題，鼓勵學生自由分享自己的思考和想法，使他們對幾何學習產生初步認知.

導言：觀察下列圖片中的馬路、射燈投射的光線、琴弦，你能從中辨認出哪些熟悉的幾何形狀？

驅動性問題：你認為可以從哪些方面探究直線、射線、線段？請記錄下來，并與你的同伴分享.

教學說明 引導學生專注于觀察，并從真實情境中抽象出直線、射線和線段的概念.接著，引導學生運用已有的知識，提出本節課將要探討的可持續思考問題，也是貫穿本節課的驅動性問題，并鼓勵學生自由分享看法.

設計意圖 提出一個貫穿本節課的驅動性問題，引導學生聯系相關的學習經驗.同時，銜接本單元的可持續思考問題，將它們緊密相連，確保本單元的可持續思考問題能夠貫穿課時教學的始終.

2. 設計結構化問題鏈，引導學生探究學習

數學教學的本質在于引導學生通過解決數學問題來掌握新知識.通過精心設計結構化的問題鏈，使學生在探究過程中逐步構建起對可持續思考問題的全面理解，并對其產生初步認知.在設計問題鏈時，必須確保它們與課程的教學目標緊密相連，凸顯數學的核心概念.同時，這些問題應當考慮到學生的認知水平和特點.在思維上具有挑戰性.此外，問題之間應具有內在的邏輯聯系，既使層次分明，又使難度遞增，從簡單到復雜，從直觀到抽象，從現象到本質，逐步引導學生的思考走向深入.

問題1 在日常生活中，有哪些物體可以被視為直線、射線或線段的近似形態？請提供實例，并與你的同伴進行交流.

問題2 （思考·交流） 請在練習本上分別畫出兩條直線、兩條射線以及兩條線段，并與你的同伴討論如何區分它們.

問題3 （觀察·思考） 你認為一個點與一條直線之間可能存在哪些位置關系？請畫圖說明.

問題4 （嘗試·思考）（1）請在練習本上畫點A，再過點A畫直線，你最多可以畫多少條這樣的直線？

（2） 請在練習本上畫點B 和點C，再過點B 和點C 畫直線，你最多可以畫多少條這樣的直線？

（3） 通過上述操作，你能得出什么結論？

問題5 （嘗試·思考） 若要將一根細木條牢牢地固定在墻上，至少需要釘入幾顆釘子？為什么？

問題6 （回顧·反思） 直線、射線和線段是我們從現實世界中抽象出來的平面圖形.你認為可以從哪些方面探究直線、射線和線段？又該如何進行探究？

教學說明 組織學生開展有效的數學活動，在學生解決了問題1之后，教師進行引導概括并形成板書“真實情境→概念”，將思維過程具體化.在解決了問題2之后，形成板書“真實情境→概念→表示→關系”.在解決了問題3和問題4之后，形成板書“真實情境→概念→表示→關系→性質”.在解決了問題5之后，形成板書“真實情境→概念→表示→關系→性質→應用”.通過展示知識的產生和發展過程，再通過問題6 引導學生深入體會和感悟，從而在整體上構建起探究直線、射線和線段的一般路徑及觀念.

設計意圖 通過上述問題，引導學生逐步構建起對直線、射線和線段的認識，從現實世界中提煉出直線、射線和線段的概念，用數學符號進行表達，并探究它們之間的關系以及各自的性質.此外，幫助他們學會將這些知識應用于解釋現實世界.通過將可持續思考問題融入課堂教學的具體活動，引導學生在實踐中進行深入思考，積累數學活動經驗.

3. 將問題細化、具體化后轉變為實踐活動，引導學生積極參與數學學習

在構建結構化問題鏈并形成整節課的教學框架之后，教師仍需考慮所教班級學生的實際情況，并結合課程內容的學習要求，適度拆解這些問題.通過這種方式，使問題更易于學生理解，使教學活動更能吸引學生的注意力，從而激發學生的參與積極性.

以問題2 為例，可以將其細分為以下新的結構化問題.

問題2-1 一條線段能否被延伸成一條射線？又能否被擴展成一條直線？

問題2-2 直線、射線和線段有什么相同或不同的地方？它們之間有什么聯系？

問題2-3 如何區分圖1中的兩條直線，圖2 中的兩條射線，以及圖3中的兩條線段？

教學說明 鼓勵學生動手操作，繪制圖形，并引導他們結合在小學階段學習的直線、射線和線段的知識，思考和討論這些幾何元素之間的聯系與差異.通過動手實踐和交流討論，學生能迅速掌握相關知識.對于問題2-3，引導學生用符號表達不同類型的線，從而培養他們用符號表達圖形的意識.在此基礎上，進一步規范圖形的符號表達方式，并教授不同的表達技巧.

設計意圖 引導學生結合自身經驗，在實踐中學習新知識，構建新的數學活動經驗，體會運用符號表達圖形的重要性，并掌握運用數學符號表達圖形的技巧.

4. 利用反思性問題促使學生深入思考可持續思考問題，積累活動經驗

“編筐編簍，重在收口”，一節課的結尾，往往在這節課中起到畫龍點睛的作用.課堂的最后階段需要引導學生對課堂學習的內容、方法、過程、態度等進行全面的反思與總結.特別是，應圍繞本節課的核心問題，通過結構化問題鏈引導學生進行回顧與反思，深入思考可持續思考問題，并將知識初步關聯起來，加深對知識的結構化理解.

以問題6 為例，可以將其細化為以下新的結構化問題.

問題6-1 我們是如何定義直線、射線和線段的？

問題6-2 直線、射線和線段之間存在怎樣的聯系？它們又該如何表示呢？

問題6-3 點與直線之間存在哪些位置關系？

問題6-4 本節課我們學習了哪些關于直線的基本性質？這些性質是如何得出的？

問題6-5 你認為對于兩條線段，除了研究它們的表達方式，我們還能探討哪些方面？

教學說明 引導學生圍繞以上問題進行深入反思和總結，鼓勵他們分享想法.

設計意圖 通過結構化問題鏈引導學生對本節課所學知識及學習方法與路徑進行有序的思考，從而形成對直線、射線和線段學習方法與路徑的概括性認識，促使學生學會有序地思考問題，并培養理性思維的品質.

教學思考

1. 可持續思考問題應融入每節課的具體教學內容

可持續思考問題的價值在于引導學生對數學本質及學習過程進行持續性反思，從而使學生在反思中逐漸獲得新的洞見和體驗.這有助于學生構建對數學知識結構化和系統化的理解，促進思維能力的發展和素養的提升.學生對可持續思考問題的思考應當是長期的，甚至是持續不斷的，需要反復進行，而不是僅在單元課程學習開始時簡單思考一次，更不應該等到單元課程學習結束后才開始思考.相反，可持續思考問題的思考應貫穿整個學習過程.因此，教師應將可持續思考問題融入每節課的具體教學內容中，幫助學生在學習新知識的同時，逐步地思考可持續思考問題，形成個人化的認知體系.例如，本單元的可持續思考問題“你認為可以從哪些方面研究一個平面圖形”不僅應在本課時引導學生進行思考，還應在后續學習“角”“三角形”“四邊形”“圓”等知識點時繼續引導學生深入思考，因為這是一個貫穿“圖形與幾何”學習領域的可持續思考問題，它對學生學習平面圖形的全部內容至關重要.希望學生在學習有關內容的同時，通過對具體對象的研究過程不斷梳理、反復思考，感悟研究圖形的基本思路和方法，最終形成對平面圖形的研究內容（形狀、大小和位置關系等） 和研究方法（觀察、操作、度量和推理等） 的一般性認識［2］ .

2. 可持續思考問題應以具體的學習活動為載體

學生對可持續思考問題的持續性思考需要通過具體的數學學習活動來實現，而思考的成果是在數學活動中產生的.因此，教師不應直接向學生灌輸自己對可持續思考問題的理解，而應創設適當的教學情境，設計恰當的數學活動，激發學生的自覺思考.以本單元的可持續思考問題“你認為可以從哪些方面研究一個平面圖形”為例，學生需要通過觀察周圍的現實世界，從各種實物中“發現”平面圖形，然后通過動手畫圖，抽象概括并形成對平面圖形這一基本概念的數學表達.為了便于交流、思考和表達，學生還需應用數學符號來表達這些圖形.然而，這樣并未達到研究圖形的全部目的，學生還需通過觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證和直觀想象等方法來探究圖形的性質，建立不同圖形之間的內在聯系，并將這些知識應用于解決數學問題或現實問題，從而使所學習的知識具有實際價值和現實意義.這是一個從現實世界到數學領域的縱向數學化過程，以及從數學領域到數學領域的橫向數學化過程.這個數學化過程能否順利進行，取決于學生是否經歷了具體的數學觀察、數學思考、數學表達、概括歸納和遷移運用等學習活動.當然，在學生形成了對可持續思考問題的個性化理解之后，組織和鼓勵他們與同伴進行交流和分享，對學生進一步理解可持續思考問題并準確把握其本質，同樣至關重要.

3. 可持續思考問題需要適當的工具來記錄思維成果

學生對可持續思考問題所涉及的數學概念進行持續性思考，其思維成果并不是固定不變的，對這些數學概念的理解也不是一蹴而就的.隨著學習的深入，他們掌握的知識越來越多，對知識的理解越來越深刻，對可持續思考問題所涉及的數學概念的認識也變得更加豐富和深入.一方面，某些認識具有瞬時性，是靈光乍現的頓悟.如果這些頓悟未能及時記錄，便很快被遺忘.另一方面，學生對知識的理解具有過程性，是從局部到整體、從表層到本質的逐步深化.實踐研究發現，如果學生能夠記錄下對知識的過程性理解，將有助于思維可視化，對提升他們對知識理解的深度和廣度具有積極影響，并有助于他們養成良好的數學思考習慣.因此，為學生提供適當的工具以記錄他們對可持續思考問題的過程性理解顯得至關重要，這將使他們有機會審視自己對可持續思考問題的思考過程.本單元可為學生提供如下記錄思維成果的工具（見表1） .

4. 可持續思考問題需要合適的評價作為驅動

可持續思考問題不像學生日常解答的具體數學問題，它具有更強的抽象性，更能反映所學習研究的數學對象的本質；它需要學生持續進行一段時間的思考探索，才逐漸有所感悟與收獲.問題的答案會隨著思考的進程而發生變化，思維的結果就像一棵樹不斷生長出新的枝葉，正因如此，可持續思考問題更能激發學生進行持續思考探索的興趣，但同時對學生的學習也提出較大的挑戰.因而，促進學生進行持續性思考需要外界的力量.

教學評價對學生的數學學習具有診斷、導向、激勵、調控、促進發展等多方面功能.學生在分享對問題的創新思考時，能獲得來自教師及同伴的積極性評價，進而獲得進一步思考與探索的內在動力.同時，教師的評價能為他們的思考與探索提供新方向，同伴的分享也能為他們提供啟發。因而，教師需要組織合適的教學評價活動，以促進學生對問題的持續性思考與探索.如在學生的思考情況記錄單上給出指導語或激勵性評價，在單元教學結束時組織學生結合思考情況記錄單進行反思與自我評價，或在班內組織專題性分享交流活動，甚至在單元評價性試題中適當將可持續思考問題編入其中……這些都能激勵學生對這類具有較大挑戰性、非常規的問題進行持續思考與探索，引導他們以整體的、聯系的、發展的眼光看問題，進而發展數學核心素養.

新教材在每一個單元的開篇均設計了可持續思考問題，這些問題在數學大概念的指導下，旨在引導學生像數學專家一樣進行持續性思考與探索.這些問題內涵深刻，價值巨大，要求教師在教學實踐中不斷探索利用這些問題實施有效教學的路徑，從而更有效地提升學生的數學思維能力，促進學生數學核心素養發展.