尋覓圖形關(guān)聯(lián) 探求解題路徑

［摘要］等腰（邊） 三角形在考試中常常作為載體與其他知識相融合，既能考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識與技能，又能提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng). 在教學(xué)中，教師應(yīng)充分挖掘題目的內(nèi)在數(shù)學(xué)思想與方法，同時對題目作出一些變式和延伸，讓學(xué)生既見樹木又見森林.

［關(guān)鍵詞］等腰三角形；思想方法；拓展延伸

引言

幾何試題作為數(shù)學(xué)檢測的重點(diǎn)內(nèi)容，通常凝聚著命題者的智慧，往往賦予考生更大的發(fā)揮空間，通過探究這類題目的多種解法，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性；對這些題目進(jìn)行拓展變式，可以加強(qiáng)知識間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)學(xué)科知識的整體性學(xué)習(xí)，進(jìn)而提高學(xué)生的解題能力和探究意識.2022年湖北省竹溪縣八年級期末考試出現(xiàn)了一道以等腰三角形為背景的幾何試題， 通過對全縣3000多名學(xué)生得分情況的分析，引發(fā)了筆者的諸多思考，尤其是對學(xué)生豐富的答題思路有了較多了解，進(jìn)而引發(fā)筆者對數(shù)學(xué)教學(xué)工作進(jìn)行了深度思考與探索.

一題——試題呈現(xiàn)例題

如圖1， 在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P 是底邊BC 上任意一點(diǎn)，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D，E，CF⊥AB，垂足為點(diǎn)F.

（1） 試猜想線段PD，PE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2） 如圖2，在矩形ABCD 中，AB = 12，BC = 5，點(diǎn)P 是DC 邊上一動點(diǎn)，PE ⊥ AC 于點(diǎn)E，PF ⊥ BD 于點(diǎn)F，求PE + PF 的長.

一解——解法探究

本題以特殊幾何圖形即等腰三角形為背景創(chuàng)設(shè)問題，探究其中特殊線段之間的關(guān)系，題目設(shè)置了兩個問題，只要解決了第（1） 問，則可將結(jié)論直接運(yùn)用于第（2） 問.要解決第（1） 問比較簡單，題目給出點(diǎn)P 是底邊上任意一點(diǎn)，因此可假設(shè)點(diǎn)P 恰好處于中點(diǎn)位置；可采用截長法或者補(bǔ)短法，證明三角形全等；也可以采用面積法、翻折法或者相似法來處理［1］ .

1. 特殊位置法

方法1 如圖3，假設(shè)點(diǎn)P 恰好為等腰三角形底邊上的中點(diǎn)，因?yàn)锳B = AC，PD⊥AB，PE⊥AC， 易證PD =PE. 因?yàn)镃F⊥AB，且點(diǎn)P為底邊上的中點(diǎn)，所以PD 是△FBC的中位線， 所以CF = 2PD=PD+PE.

評注 點(diǎn)P 既然是底邊上任意一點(diǎn)，就容易聯(lián)想到當(dāng)點(diǎn)P 為等腰三角形底邊上的中點(diǎn)這一特殊情況，這就為猜想提供了一種思路，但這個方法僅限于解決填空題或者選擇題時適用.