溯試題來(lái)路，析解題思路，明教學(xué)出路

［摘要］當(dāng)前，新課標(biāo)落實(shí)和全省中考統(tǒng)一命題成為初級(jí)中學(xué)面臨的一大挑戰(zhàn)，而如何開(kāi)展試題研究、如何提高復(fù)習(xí)課教學(xué)的有效性則成為諸多一線教師面臨的一大難題. 研究者以一道典型中考?jí)狠S題為例，通過(guò)試題評(píng)價(jià)、解法賞析及教學(xué)啟示等維度展開(kāi)全方位的剖析，力圖為中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)及試題研究探索一條行之有效的出路.

［關(guān)鍵詞］中考數(shù)學(xué)；解法探析；高頻錯(cuò)誤；教學(xué)思考

全省中考統(tǒng)一命題，無(wú)疑是學(xué)校教學(xué)面臨的一大挑戰(zhàn).新課標(biāo)下的中考，除了考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，更注重考查學(xué)生的思維過(guò)程、創(chuàng)新意識(shí)和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，這也對(duì)初中教師的教學(xué)提出了更高要求.如何更加高效、更有針對(duì)性地開(kāi)展中考復(fù)習(xí)教學(xué)，是一線教師一直在思考的問(wèn)題.筆者認(rèn)為，研究本省市近年來(lái)中考真題，體會(huì)命題思路和風(fēng)格，關(guān)注中考已統(tǒng)一命題區(qū)域的中考試題，及時(shí)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方式，根據(jù)不同題型對(duì)學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的指導(dǎo)，多關(guān)注典型題、創(chuàng)新題、新考法試題、前沿性試題等. 下面，筆者就以2023年杭州中考數(shù)學(xué)第23題為例，圍繞試題評(píng)價(jià)、解法賞析及教學(xué)啟示等維度展開(kāi)全方位的剖析，以期為中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)探索一條行之有效的出路.

試題呈現(xiàn)

2023年杭州中考數(shù)學(xué)卷第23題（以下簡(jiǎn)稱“本題”）：

如圖1，在⊙O中，直徑AB 垂直弦CD于點(diǎn)E，連接AC，AD，BC，作CF⊥AD于點(diǎn)F，交線段OB 于點(diǎn)G（不與點(diǎn)O，B重合），連接OF．

（1） 若BE = 1，求GE 的長(zhǎng)；

（2） 求證：BC² = BG·BO；

（3） 若FO = FG，猜想∠CAD的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．

試題評(píng)價(jià)

1.核心知識(shí)與關(guān)鍵能力并行，凸顯素養(yǎng)立意

本題是一道以圓為背景的綜合題，不僅考查垂徑定理、圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定等初中核心知識(shí)，還考查對(duì)學(xué)生借助幾何直觀先大膽猜想后小心求證的能力.本題重視發(fā)展學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特的育人價(jià)值.

2.學(xué)習(xí)過(guò)程與數(shù)學(xué)理解交融，引領(lǐng)教學(xué)方向

本題背景源于學(xué)生所熟知的教材中的垂徑定理模型，但又高于教材，是教材的變式、引申與拓展.同時(shí)也體現(xiàn)了考查的公平性，考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的理解與思考過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注自身學(xué)習(xí)過(guò)程，引領(lǐng)教師在教學(xué)中回歸教材、返璞歸真，挖掘教材例題、習(xí)題的教學(xué)價(jià)值，有效減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān).

3.注重通法與淡化技巧互嵌，彰顯學(xué)科價(jià)值

本題題干表述簡(jiǎn)潔明了，問(wèn)題設(shè)置層次分明，知識(shí)銜接自然關(guān)聯(lián)，同時(shí)在命制試題時(shí)巧妙地避開(kāi)了模型化，注重通性、通法，淡化特殊技巧.尤其是第（3）問(wèn)，在學(xué)生熟悉圓和三角形的基礎(chǔ)上增加了條件“FO =FG”，此時(shí)需要挖掘題中隱含的數(shù)量關(guān)系，其中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，解法多元，彰顯個(gè)性，將數(shù)學(xué)思維能力體現(xiàn)得淋漓盡致.

評(píng)析 由于本題中⊙O為定圓，從已知條件可判斷出當(dāng)點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，G中任意一點(diǎn)確定時(shí)，其余各點(diǎn)也隨之確定， 再加上條件“FO =FG”，本題便已定型，接下來(lái)就是解形的問(wèn)題，圖中所有線段均可用含半徑r 的代數(shù)式表示.解法7、8都是利用平行線截線段成比例的性質(zhì)率先解出了線段AG，從而進(jìn)一步求出相關(guān)線段之間的數(shù)量關(guān)系；解法9則是利用相似三角形的性質(zhì)求出答案，與解法7、8有著異曲同工之妙.以上三種方法利用了多種“代數(shù)表達(dá)”刻畫了同一個(gè)“圖形結(jié)構(gòu)”，充分體現(xiàn)了對(duì)幾何圖形的代數(shù)理解.

教學(xué)啟示

1. 重視整體教學(xué)設(shè)計(jì)，提高學(xué)生的知識(shí)提取遷移能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在課程實(shí)施的“教學(xué)建議”部分，首次提出了將單元整體教學(xué)作為能引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)方式，強(qiáng)調(diào)要“改變過(guò)于注重以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì)，推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián).”

本題以圓為主要考查背景，不僅涉及圓自身的基本性質(zhì)，還涉及相似三角形、特殊三角形等圖形的性質(zhì)，甚至可以用三角函數(shù)、代數(shù)推理等方法予以解決，對(duì)試題綜合性的考查趨勢(shì)已經(jīng)不言而喻.因此，開(kāi)展單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，挖掘知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)已經(jīng)迫在眉睫.

2. 關(guān)注幾何基本圖形，提升學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)

著名美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家G. 波利亞在《怎樣解題》中指出：一個(gè)有用的念頭，也許是個(gè)決定性的念頭，它能使你一眼看出解決問(wèn)題的途徑.什么是波利亞所說(shuō)的“念頭”？筆者認(rèn)為，對(duì)于“圖形與幾何”部分來(lái)說(shuō)，就是幾何基本圖形.在審題過(guò)程中，學(xué)生若能快速識(shí)別并正確應(yīng)用基本圖形，就能快速地形成解題思路，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維能力的提升.

縱觀本題所有的解題思路，幾何基本圖形幾乎“形影不離”.無(wú)論是第（1） 問(wèn)的“8 字型”，第（2）問(wèn)的“母子相似模型”，還是解法1的等腰三角形“三線合一”模型、解法4的“四點(diǎn)共圓”模型、解法5的“A型”“X型”相似模型、解法8 的“角平分線模型”等都是學(xué)生耳熟能詳?shù)幕緢D形，教師在教學(xué)過(guò)程中要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從千變?nèi)f化的題目中總結(jié)共性，提煉基本圖形并加以強(qiáng)化訓(xùn)練，在一題多解的同時(shí)做到多解歸一，有利于培養(yǎng)學(xué)生恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

3. 倡導(dǎo)問(wèn)題變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用和創(chuàng)新意識(shí)

隨著“雙減”政策的實(shí)施，學(xué)生從大量的重復(fù)練習(xí)中解脫出來(lái)已是大勢(shì)所趨，但同時(shí)又不能降低教學(xué)質(zhì)量，變式教學(xué)或許是達(dá)成這一目標(biāo)的有效方法.所謂變式，是指相對(duì)于某種范式（數(shù)學(xué)教材中具體知識(shí)、典型問(wèn)題、思維模式） 的變形方式，通過(guò)改變問(wèn)題的情景、條件、結(jié)論或者圖形的關(guān)系，讓學(xué)生自主探索，以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，從而更好地理解和掌握問(wèn)題的本質(zhì)規(guī)律.

至此，對(duì)這道中考?jí)狠S題的全方位解析也就告一段落，它帶給我們太多的教學(xué)啟示，也使今后的教學(xué)出路變得越來(lái)越清晰明了……面對(duì)全省統(tǒng)一中考命題的大背景，一線教師唯有立足新課標(biāo)，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，聚焦數(shù)學(xué)核心概念，重視知識(shí)整體關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)模型提煉，強(qiáng)化變式整合，在發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)上下功夫，鼓勵(lì)學(xué)生大膽探究，敢于質(zhì)疑，真正把課堂還給學(xué)生，突出學(xué)生的主體地位，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人的根本任務(wù).