理解數學視角下的高中數學概念教學

［摘" 要］ “理解”是教育永恒的追求. 如何在“理解數學”的視角下實施概念教學呢？研究者以“三角函數的概念”為例，在深入分析教學內容的基礎上，結合概念形成過程中必須經歷的辨別、分化、類化、檢驗、概括、推廣以及形成七個階段來設計教學，并從“對概念生成層次的理解”“數學理解的邏輯過程”以及“數學理解的目標是育人”三個方面談一些思考.

［關鍵詞］ 理解數學；三角函數；概念教學

“理解數學、理解學生、理解教學”是促進數學學科教育發展的基礎，其中“理解數學”是實現教育價值的根本因素. 理解數學不僅要深諳知識的來龍去脈與本質，還要對知識的建構過程有明確的認識，此為發展數學理性精神的基礎. 如何在“理解數學”的理念下實施概念教學呢？首先必須清晰地認識到概念的抽象過程，然后在理解概念構建流程的基礎上，結合概念的特性以及學生的認知水平來設計教學活動，讓學生在“理解數學”的視角下掌握概念的本質，形成嚴謹的數學研究精神，為發展核心素養奠定基礎.

概念形成的一般過程

數學是一門層次分明的學科，因此學生在構建新知時，必須遵循逐層遞進的原則. 史寧中教授認為，數學概念的抽象主要涵蓋以下三個層級：①簡約期，即辨別、分化與類化階段；②符號期，即檢驗與概括階段；③普適期，即推廣與形式階段［1］. 如圖1所示，七個層次分明的階段揭示了概念形成的一般流程. 本節課，教師可從這三個層級出發，設計教學活動，讓學生切身體會借助單位圓定義三角函數概念的便捷性，真正做到理解數學，發展核心素養.

教學內容分析

任意角的三角函數是三角學中最基本最重要的概念之一. 由于它的定義方法與學生之前接觸的指數函數、對數函數、冪函數的定義方法存在顯著差異，因此任意角的三角函數一直被視為高中數學教學的核心內容. 不少教師在執教時，選擇從單位圓的定義入手，與銳角三角函數相結合，揭示相關概念. 這種教學方法雖然沒有什么問題，但從學生的認知結構來看，常會因為沒有緊密關聯銳角三角函數的定義，反而增加了學生的認知負擔. 如何基于學生已有的認知經驗，引導他們在理解數學的前提下進行教學活動呢？實踐表明，基于概念構建的層次性，逐層遞進地實施教學，可提高教學效率.

基于上述分析，本節課以概念形成過程的三個層級七個階段為明線，以“銳角三角函數值—以角為自變量的三角函數—一般三角函數”為暗線，展開教學實踐與探索.

教學過程設計

1. 簡約期，理解數學基礎

（1）辨別階段：舊知回顧，自然過渡

概念形成的簡約期，主要是基于學生已有的認知經驗，對各種刺激模式進行甄別，以實現對數學的初步理解，并為新知的構建奠定堅實的基礎. 刺激模式的甄別可以基于學生已有的認知經驗，抑或是生活實際中遇到的數學現象. 引導學生回顧銳角三角函數的定義，不僅能夠激發他們已有的認知經驗，讓學生自然而然地進入課堂的探索狀態，還能讓學生從淺入深地感知知識的形成與發展過程，對不同學習階段對三角函數的理解產生清晰的認識.

問題1 請大家回顧在初中時，探索銳角α的正弦函數與余弦函數的方法.

設計意圖 此為舊知回顧環節，學生在問題的引導下回顧使用相似直角三角形研究特殊銳角三角函數值的過程. 該研究并非深入的函數分析，只涉及銳角三角函數值的計算. 教師若不帶領學生回顧舊知，而是直接引入單位圓，學生則無法順利進行知識銜接. 如此設計，旨在引導學生回顧舊知，為新知教學夯實基礎，這符合建構主義理論的發展規律.

（2）分化階段：變化視角，初步融合

此階段主要致力于將各種刺激模式的屬性分化出來. 這需要從函數與變化的維度來探索刺激模式屬性的分化情況. 學生親歷三角函數概念的抽象、形成與發展過程，即通過知識的“再創造”，增強對三角函數概念的理解程度.

問題2 要求學生自主思考并探索以下幾個問題：如何用幾何圖形構造一個sin60°？基于此，如何再構造一個sin45°？函數是探索事物變化規律的基礎模型，那么，如何在變化中描述0°～90°的三角函數呢？

在學生自主解決前兩個問題之后，引導他們從0°～90°的角度出發，利用“比”的視角進行分析，并用兩種情況來描述其變化過程：①如圖2所示，固定直角三角形的一條直角邊長度，通過改變另一條直角邊與斜邊的長度，比較角度的大小；②如圖3所示，固定直角三角形的斜邊長度，通過改變兩條直角邊的長度，展示不同角度.

設計意圖 函數是一種具有變化規律的數學模型. 在初中階段，學生接觸的函數內容往往是靜態的，想要提升學生的認知水平，就要“化靜為動”，引導學生從變化的角度重新審視三角函數. 通過幾何直觀的展示與探索，順利地引導學生的思維進入使用單位圓定義任意角三角函數的領域.

問題3 圖2與圖3描述變化的方法有何不同？它們各自的優勢是什么？

師生活動：教師運用多媒體展示這兩幅圖，引導學生闡述兩者的區別及其各自的優點. 在已有的認知經驗的驅動下，學生一致認為關于圖2的描述，應從角的連續變化入手，但這種描述方法不便于用代數符號表示變量，也不適用于描述大于90°的角. 至于圖3，結合題目中的“變”與“不變”的條件，將“軌跡圓”命名為“單位圓”. 對于0°～90°的角α，它的終邊與單位圓交點的縱坐標與sinα相同，橫坐標與cosα一致.

設計意圖 “比較”使得單位圓模型的應用顯得更為合理，同時揭示了三角函數的核心——角的終邊與單位圓交點的坐標. 如此設計，旨在引導學生從變化的視角觀察數學現象，促進新舊知識的融合，并順利完成概念構建的分化階段.

（3）類化階段：思維延伸，抽象概念

該階段是抽象概念屬性的關鍵過程. 基于三角函數概念的共同屬性，可以初步推測：角α的終邊與單位圓的交點的縱坐標、橫坐標，與角α都存在一一對應的關系. 因此，在理解數學的基礎上，重視坐標法的應用，為抽象概念創造條件.

問題4 若要推廣三角函數的概念，圖2和圖3的描述方法哪種更適合？說明理由.

此問從角的定義延伸至三角函數的概念. 學生已經初步接觸過前一個概念，而后者則需要通過關聯單位圓模型進行推廣. 這一過程離不開解析幾何的輔助，即通過使用“點坐標”來替代“邊的比例”，從而逐步擴展和延伸，為揭示任意角的三角函數概念奠定基礎.

設計意圖 引導學生深入理解坐標法在解決函數問題中的重要性，不僅有助于拓寬他們的思維視野，還能有效提升他們的數學理解能力. 在這一階段中，學生在特定的背景下進行假設和檢驗，認識到用點坐標來定義三角函數具有重大的價值.

2. 符號期，理解數學本質

（1）檢驗階段

實例作為檢驗的重要手段，可應用于本階段，即通過列舉生活中常見的周期變化現象，引導學生感知三角函數概念的形成過程，體會角度與實數集之間所存在的對應關系. 由此構建完整的模型，充分凸顯概念形成過程的層次性.

問題5 從實際生活出發，我們發現三角函數可用來描述物體勻速圓周運動、潮汐、簡諧振動等周期性變化現象. 現在，請大家思考：以角為自變量的三角函數與一般三角函數之間存在哪些差異呢？

通過合作與交流，學生認識到：首先，以角為自變量的三角函數，并不能幫助他們從整體視角理解三角函數的含義. 以“潮汐”現象為例，其自變量是時間而非角度，因此，僅從角度出發是難以全面理解這一現象的；類似地，交流電和簡諧振動等現象雖然也可以用三角函數來描述，但它們的自變量與角度并無直接聯系. 其次，三角函數的自變量與函數值之間不存在直接的運算關系，例如，45°與sin45°不能直接進行加減運算.

設計意圖 引導學生從以角為自變量的三角函數入手，進而拓展到一般三角函數的領域，這不僅展現了“從特殊到一般”的數學思想，還讓學生親身體驗了概念形成過程的逐步深化. 這種教學設計有助于學生更深刻地理解知識的核心，為掌握抽象的一般三角函數概念奠定了堅實的基礎.

（2）概括階段：宏觀掌握三角函數的概念

在成功驗證假設之后，接下來的任務是提煉出概念的關鍵屬性，并通過分析其從屬關系來深入理解概念的本質. 類似于初高中階段學習函數與三角函數的過程，運用辨析的思維去分析和思考，有助于學生抽象出邏輯清晰的新概念.

問題6 嘗試從多維度說一說什么是三角函數.

學生得到的結論包括：①三角函數是一種反映變量間變化規律的基本模型；②三角函數的圖象是一種特殊圖象；③三角函數反映的是實數集之間的對應關系.

設計意圖 隨著剖析的逐步深入，學生對三角函數的概念已經有了更加全面、深刻的理解，并將新構建的概念與認知結構中已有的概念進行了有機融合，從而宏觀掌握核心概念. 這樣的設計旨在完善學生的認識結構，鞏固知識基礎.

3. 普適期，即推廣與形式階段

本階段的關鍵在于將概念的本質延伸至與之相關的同類事物中. 本質上，三角函數屬于函數的范疇，因此可以借鑒函數研究的通用方法. 接下來，考慮從其基本要素和性質等維度進行探索，包括定義域、對應關系、值域、單調性與奇偶性等方面.

問題7 回顧本節課的教學過程，談談你對函數又產生了哪些新的理解.

縱觀本節課的教學內容，發現對三角函數的研究需要建立在變化的維度之上，從自變量和因變量這兩個實數集的背景中抽象出概念.

設計意圖 普適期為本節課教學的重中之重，即引導學生從整體視角理解概念形成的過程，并使用規范的數學符號語言來描述概念，從而促進深度學習真正實現，有效提升學生邏輯推理、數學抽象、直觀想象等核心素養.

教學思考

1. 對概念生成層次的理解

對于課堂教學而言，概念的生成需要經歷一個層次分明的過程. 教師必須對每個層次有深刻的理解，并基于對概念形成層次的理解來設計核心問題，引導學生的思維沿著清晰的路徑逐步深入，為構建穩固的概念體系打下堅實的基礎. 在本節課教學之前，教師深入研究了概念形成的一般過程，據此引導學生從簡約期、符號期與普適期三個層級深入研究三角函數的概念，幫助他們在充分理解數學的基礎上構建三角函數的知識體系，并學會從整體視角認識、理解與拓展概念.

2. 數學理解的邏輯過程

數學理解屬于一個內隱、復雜且多元的過程，真正的數學理解會給學生帶來一些復雜的體驗，如猜想證明的解釋等［2］. 從學生思維發展的視角來看，認知的萌生到表象的形成，再到對知識形式化與結構化的理解，離不開批判思維的參與. 因此，數學理解是一個持續探索的過程，要求學生從他們已有的認知經驗出發，逐步深入地研究知識的本質，以構建一個完整的認知結構，形成一個結構優良的多元認知體系. 本節課，教師從實際學情出發，根據學生的認知發展規律設計問題，引導學生逐步理解知識的本質，完善他們的知識架構.

3. 數學理解的目標是育人

隨著新課程改革的深入實施，當前的數學教育已經展現出良好的系統性和發展性. 為了最大限度地發揮數學教育的潛力，關鍵在于如何基于數學理解來實現“立德樹人”這個教育目標. 這不僅是當前需要特別關注和深入研究的課題，也是未來很長一段時間內學科教學的重要議題. 構建概念是一個逐步的過程，教師在細化教學過程的同時，可以建立一個多元化的評價體系，在“過程性評價”的基礎上，落實“育人”目標，發展學生的核心素養. 在本節課的每個教學環節中，教師都針對性地培養學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養，這些都是讓核心素養落地生根的基礎，也是“育人”的重要舉措.

總之，理解數學是高質量教學的基礎，發展核心素養為概念教學的核心目標. 在日常教學過程中，教師應當重視概念形成的層次結構，將探究活動作為抽象概念的基礎支撐，合理設計問題情境，引導學生深入理解知識的本質，并促進其數學核心素養的發展.

參考文獻：

［1］ 張雁冰. 理解抽象的層次性 落實數學抽象素養：基于王尚志教授“三角函數概念”的教學設計與分析［J］. 中小學課堂教學研究，2023（94）：23-26.

［2］ 包偉. 基于“四個理解”的高中概念教學探究：以“正切函數的性質與圖象”的教學為例［J］. 中小學數學（高中版），2022（5）：1-3.