以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的逆向教學(xué)設(shè)計

摘要：復(fù)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一類重要的運算對象，有著廣泛的應(yīng)用.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生掌握用復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的四則運算，了解復(fù)數(shù)加、減運算及其幾何意義.逆向教學(xué)設(shè)計著重突出了學(xué)習(xí)目標(biāo)的可操作性，強調(diào)學(xué)習(xí)目標(biāo)的落實，促使教師聚焦數(shù)學(xué)基本問題，為高中數(shù)學(xué)中“復(fù)數(shù)的加、減法及幾何意義”教學(xué)提供了一種全新的教學(xué)設(shè)計模式.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；逆向教學(xué)設(shè)計

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”）指出：“教師應(yīng)結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，落實‘四基’，培養(yǎng)‘四能’，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展達(dá)到相應(yīng)水平的要求，部分學(xué)生可以達(dá)到更高水平的要求.”［1］按照逆向教學(xué)設(shè)計的基本思路，教師在教學(xué)時應(yīng)確定教學(xué)目標(biāo)，依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)以及教材.為了更好地完成設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)，筆者參考了喻平教授對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平劃分的評價量表，更精準(zhǔn)地定位教學(xué)內(nèi)容以及教學(xué)情境的設(shè)定.本文以“復(fù)數(shù)的加、減法及幾何意義”為例，隨著教學(xué)設(shè)計的深入，筆者發(fā)現(xiàn)本節(jié)的知識點有很多可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法發(fā)展的抓手，如數(shù)形結(jié)合的思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法等.如果教師能夠細(xì)心地挖掘并在教學(xué)過程中加以滲透，可以有效地幫助學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，進(jìn)一步在教學(xué)設(shè)計中創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題，從而構(gòu)建出逆向教學(xué)設(shè)計的基本框架.

1確定教學(xué)目標(biāo)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的.數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析.每一個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)劃分為3個水平，分別是針對高中學(xué)生3種不同層次要求界定的，即分為高中畢業(yè)水平、高考水平、拓展水平（準(zhǔn)備參加高校自主招生的學(xué)生要達(dá)到的水平）.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的劃分界定是針對三種不同層次學(xué)業(yè)的考核，在日常的學(xué)習(xí)評價中沒有直接的指導(dǎo)意義.［2］按照喻平教授所提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)劃分框架，筆者將知識學(xué)習(xí)分為3種形態(tài)，產(chǎn)生的3種能力水平分別為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算.知識學(xué)習(xí)的3種形態(tài)分別為知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新.由此筆者把復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義這節(jié)課里面的知識點所滲透的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平進(jìn)行界定（見表1），以便更好地達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).

2確定合適的評價依據(jù)

在確定好教學(xué)目標(biāo)后，不能直接進(jìn)行教學(xué)設(shè)計.根據(jù)逆向教學(xué)設(shè)計理論，需要尋找合適的依據(jù)對預(yù)期結(jié)果進(jìn)行評價，同時依據(jù)表現(xiàn)性任務(wù)進(jìn)行及時反饋，這一階段是區(qū)別于傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵階段.［3］在制定評價任務(wù)的時候，教師要設(shè)計一種類似于學(xué)習(xí)任務(wù)的清單.在進(jìn)行課堂教學(xué)的過程中，要設(shè)計一些表現(xiàn)性任務(wù)，或者是教學(xué)檢測等.通過學(xué)生完成這些任務(wù)的表現(xiàn)與反饋，教師可以適時地調(diào)整教學(xué)活動.

評價設(shè)計在逆向設(shè)計教學(xué)中的作用是非常大的.一方面，它是對前一個環(huán)節(jié)確定教學(xué)目標(biāo)的承接，評價任務(wù)的設(shè)計需要嚴(yán)格按照教學(xué)目標(biāo)來進(jìn)行；另一方面，它也為下一個環(huán)節(jié)教學(xué)設(shè)計的實施明確方向，教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時就可以把這些評價依據(jù)嵌入進(jìn)去.評價設(shè)計起到承上啟下的作用.在確定教學(xué)目標(biāo)時，筆者對復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義所蘊含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行劃分，主要是圍繞知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新3個層次.為了證明學(xué)生達(dá)到這幾個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對應(yīng)的層次水平，需要收集一些合適的評估證據(jù)，來證明學(xué)生在教學(xué)活動中獲得了哪一些知識與技能，對知識的遷移情況是如何實現(xiàn)的，并在“復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義”教學(xué)中設(shè)計了以下表現(xiàn)性任務(wù).

（1）觀察復(fù)數(shù)加法運算法則，描述復(fù)數(shù)加法運算法則的特征.

（2）證明復(fù)數(shù)加法的交換律和結(jié)合律：設(shè)z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+z1；（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）成立.

（3）結(jié)合復(fù)平面，用向量表示復(fù)數(shù)，得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義.

（4）類比復(fù)數(shù)的加法運算及其幾何意義，得到復(fù)數(shù)的減法運算及其幾何意義.

（5）根據(jù)復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義，求復(fù)平面兩點間的距離.

3設(shè)計學(xué)習(xí)體驗和教學(xué)

在逆向教學(xué)設(shè)計中，根據(jù)確定的教學(xué)目標(biāo)、評價依據(jù)，進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義的教學(xué)設(shè)計.

3.1溫故知新，引入概念

問題1復(fù)數(shù)的幾何意義是什么？

讓學(xué)生復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有的點組成的集合一一對應(yīng).

【設(shè)計意圖】通過復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)的幾何意義，回憶已學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生借助復(fù)平面來表示復(fù)數(shù)，為學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義提供“腳手架”，起到順暢連接教學(xué)活動的作用.

3.2探究新知，建構(gòu)概念

問題2設(shè)z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R），則z1+z2=（a+c）+（b+d）i.

請同學(xué)們觀察復(fù)數(shù)加法運算法則，描述該運算律有什么特征？如果z1，z2是純虛數(shù)時，它們的和是什么？如果z1，z2是實數(shù)時，它們的和是什么？

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生自己總結(jié)歸納復(fù)數(shù)加法運算法則的特點，一方面是為了加深學(xué)生對復(fù)數(shù)加法概念的理解，另一方面是讓學(xué)生通過自己的語言表達(dá)，經(jīng)歷符號語言轉(zhuǎn)換為文字語言的過程，進(jìn)而達(dá)到提升數(shù)學(xué)表達(dá)能力的作用.通過追問，啟發(fā)學(xué)生思考當(dāng)復(fù)數(shù)是一些特殊形式的時候，復(fù)數(shù)加法運算法則是否也是成立的，幫助學(xué)生更全面地理解概念.

問題3多項式的加法運算有交換律和結(jié)合律，那么復(fù)數(shù)加法的交換律和結(jié)合律是否也是成立的？

【設(shè)計意圖】類比多項式加法運算有交換律和結(jié)合律，讓學(xué)生自己證明一下復(fù)數(shù)加法的交換律和結(jié)合律.通過類比，能夠讓知識的生長和遷移變得更加自然，以促進(jìn)學(xué)生能順暢地完成這部分內(nèi)容的證明.

問題4復(fù)數(shù)z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R），在復(fù)平面中，可以用有序數(shù)對Z1（a，b），Z2（c，d）表示，連接OZ1，OZ2，得到平面向量OZ1=（a，b），OZ2=（c，d）.同學(xué)們還記得向量的加法是什么嗎？能否利用向量的加法得到OZ1，OZ2的和是什么？請大家以小組為單位，通過作圖，思考復(fù)數(shù)加法的幾何意義.

【設(shè)計意圖】圍繞探究復(fù)數(shù)加法的幾何意義，讓學(xué)生回憶已學(xué)過的復(fù)數(shù)的幾何意義以及向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，通過作圖啟發(fā)學(xué)生獲得復(fù)數(shù)加法的幾何意義.通過小組活動，開展自主探究、合作交流，讓學(xué)生直觀地經(jīng)歷復(fù)數(shù)加法的幾何意義的學(xué)習(xí)過程，實現(xiàn)了知識的遷移活動，同時讓學(xué)生體驗了由“數(shù)”到“形”的過程，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

3.3練習(xí)鞏固，理解概念

問題5請同學(xué)們完成3個小問題.

（1）計算：（5－6i）+（-2-i）+（3+4i）.

（2）已知復(fù)平面內(nèi)的向量OA，AB對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是-2+i，3+2i，則OB=＿".

（3）如圖1所示，向量OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)是z，求出z+（-1+2i）的結(jié)果.

【設(shè)計意圖】第（1）題，幫助學(xué)生熟悉復(fù)數(shù)加法運算法則，加深復(fù)數(shù)加法運算法則的理解.第（2）題，幫助學(xué)生鞏固復(fù)數(shù)加法的幾何意義，先利用向量加法得出OB，要解出向量OA，AB的和需要運用復(fù)數(shù)加法的運算法則，最后再利用復(fù)數(shù)的模長公式得到答案，增強了知識之間的聯(lián)系.第（3）題，為了加深復(fù)數(shù)加法的運算及幾何意義的理解，幫助學(xué)生提高數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力.鼓勵學(xué)生可以利用不同的解題方法，如可以把復(fù)數(shù)表示出來，再利用復(fù)數(shù)加法運算法則求和；也可以把-1+2i在復(fù)平面中表示出來，運用復(fù)數(shù)加法的幾何意義，作圖得到結(jié)果，讓學(xué)生感受不同的解法，體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和喜悅.

3.4引導(dǎo)探究，深化概念

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納復(fù)數(shù)的加、減運算滿足平行四邊形法則，它們的幾何意義是以兩個復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量為鄰邊的平行四邊形的一條對角線.

問題6對于問題5第（3）題，如果把復(fù)數(shù)-2+i加上1+i之后的結(jié)果在復(fù)平面中表示出來，大家可以發(fā)現(xiàn)這兩個點的位置發(fā)生什么變化？如果把復(fù)數(shù)-2+i加上-1-i呢？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生運用平移的方法通過自主觀察探究復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即設(shè)z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R），則z1+z2=（a+c）+（b+d）i，復(fù)平面上對應(yīng)的點（a，b），向左平移｜c｜（cgt;0）個單位或向右平移｜c｜（clt;0）個單位，再向上平移｜d｜（dgt;0）個單位或向下平移｜d｜（dlt;0）個單位，這樣就得到點（a+c，b+d）.

3.5學(xué)以致用，總結(jié)反思

問題7如果復(fù)數(shù)z滿足｜z+1｜+｜z-1｜=2，那么｜z+1+i｜的最小值是多少？你是如何進(jìn)行求解的？通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們對復(fù)數(shù)的加、減運算的幾何意義的研究途徑是怎樣的？對復(fù)數(shù)模長的問題，應(yīng)當(dāng)怎樣簡化對它研究？

【設(shè)計意圖】通過練習(xí)，加深學(xué)生對概念的理解，使學(xué)生能夠把復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義和復(fù)數(shù)模長的有關(guān)問題聯(lián)系起來，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，提升解決綜合問題的能力.最后通過總結(jié)歸納，幫助學(xué)生養(yǎng)成總結(jié)歸納的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促使學(xué)生在總結(jié)的過程中有意識地思考所學(xué)知識的生成過程，不只是知道這個概念的“結(jié)果”，更要清楚它的“源頭”，養(yǎng)成一絲不茍、追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神.

參考文獻(xiàn)

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［2］喻平.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價的一個框架［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2017（2）：19-23+59.

［3］石萌萌，殷周平.以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)逆向教學(xué)設(shè)計策略研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2024（12）：3-6.

*基金項目：福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年“研究共同體”專項課題“逆向設(shè)計下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)評一體化的研究”（項目編號：Fjygzx23145）.