核心素養下中考的相似三角形考點類型分析及教學思考

【摘要】本文以近年安徽省中考中相似三角形的考點為例，從結構分析，研究意義和教學思考三個方面進行解讀，提出幾何教學要注重對學生幾何直觀素養的培養，要關注思維的合理性，注重解題的通性通法.

【關鍵詞】核心素養；幾何直觀；解題技巧

“相似形”是滬科版數學教材九年級上冊第22章的教學內容，涉及大量的知識點，是對三角形全等知識的延伸.相似在圖形變化中是最常見的類型之一，更是度量長度的常用方法之一，也是為以后銳角三角函數和投影的學習打下基礎.在中考中，除了對相似三角形基礎知識點的常規考查，還會衍生出動點問題，更有結合二次函數、三角函數等知識點的綜合運用考查，是中考的重難點.故而，要基于學生學情讓學生在教學過程中注重數學思想方法的滲透，發展學生的思維能力，了解題目的通性和解題的通法，提升數學核心素養.

1" 中考相似三角形結構分析

通過對比近幾年中考中相似三角形的應用，現列舉幾個具有代表性的題目進行分析．

例1" （2024年中考第22題）如圖1，ABCD的對角線AC與BD相交于點O，點M，N分別在邊AD，BC上，且AM=CN，點E，F分別是BD與AN，CM的交點.

圖1

圖2

（1）求證：OE=OF.

（2）連接BM交AC于點H，連接HE，HF.

①如圖2，若HE∥AB，求證：HF∥AD.

②如圖3，若ABCD為菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求ACBD的值.

圖3

解析" 本題第（2）-①問可用圖4中的“平行A字型相似”模型，得到△OHF∽△OAD.

本題第（2）-②問可用圖5和圖6中的兩個“平行8字相似”模型，得到△AHM∽△CHB，△BEN∽△DEA，利用相似三角形的性質求解.

圖4

圖5

圖6

圖7

例2" （2023年中考第22題）在 Rt△ABC中，點M是斜邊 AB 的中點，將線段 MA繞點M旋轉至 MD 位置，點D在直線AB 外，連接AD，BD.

（1）如圖7，求∠ADB 的大小.

（2）如圖8，已知點D和邊AC上的點E滿足ME⊥AD，DE∥AB.

①如圖9，連接CD，求證：BD=CD.

②如圖10，連接BE，若AC=8，BC=6，求 tan∠ABE的值.

圖8

圖9

圖10

解析" 本題第（2）-②問應用的是圖10中的“反A型相似”模型.過點E作EG⊥AB交AB于點G，將∠ABE放入直角三角形中，利用△AGE∽△ACB，得到相似比求出線段長度.

例3" （2021年中考第23題）如圖11，在四邊形 ABCD中，∠ABC=∠BCD，點E在邊BC上，且 AE∥CD，DE∥ AB，作 CF∥AD 交線段AE于點F，連接 BF.

圖12

圖13

（1）求證：△ABF≌△EAD；

（2）如圖12，若AB=9，CD=5，∠ECF=∠AED，求BE的長；

（3）如圖13，若 BF 的延長線經過 AD 的中點 M，求BEEC的值.

解析" 本題是底邊共線的雙等腰三角形模型.

第（2）問分析數據后，已知線段集中于△ABE，求其中某條線段長度，符合圖14“母子相似”模型.

第（3）問中，因為△ABE∽△DEC，所以求BEEC即求ABDEABDC.

圖15

圖17

方法1" 構造中位線得平行，由圖15中的“平行8字相似”模型求解.因為AB∥DE∥MN，所以△ABF∽△NMF.

方法2" 中線倍長構造全等三角形（△ABM≌△DGM），由圖16和圖17中的“平行8字相似”模型求解.因為AB∥DE，所以△ABF∽△EGF.

方法3" 不轉換比例，亦可直接求解.延長CD、BM相交于點N （△AFM ≌△DNM），構造圖18的“平行A字相似”模型.因為AE∥DC，所以△BEF∽△BCN.

方法4" 取EC的中點N，連接MN，則AE∥DC∥MN，構造圖19的“平行A字相似”模型.因為AE∥MN，所以△BEF∽△BNM.

圖19

方法5" 本題構圖中還隱藏了圖20的“母子相似”模型.由△ABF≌△EAD，知∠ABF=∠EAD，因為∠AMB=∠FMA，所以△ABM∽△FAM.

圖20

2" 研究意義

中考作為地區評估初中階段學生學業成果的有效手段，其考核內容反映了地區課程實施的成果，且對一線教師的日常教學工作具有極其重要的指導意義.通過以上中考題的分析，可得到相似形常規的解題思路：通過已知條件及圖形相對位置關系，由平行、構造平行得出線段之間的比例關系以及找到相等角，得到相似.因解法難度較大，需要較高思維水平.在日常教學中，如何培養學生解決問題的策略是教師們需要考慮的重要內容.

3" 教學思考

3.1" 關注基本圖形結構，注重幾何直觀素養的培養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出了“幾何直觀”，一種通過圖形直觀解決問題的重要思想和有效方法.在教學中要重視培養“幾何直觀”素養.（1）學會拆解圖形結構.從復雜的幾何圖形中拆解出基本圖形結構，根據基本圖形結構的概念和性質去求解.因此，通過對基本圖形結構的歸納總結，解題后的及時總結和反思，培養在復雜幾何圖形中一眼看出基本圖形結構的能力，方可在解題時快速搭建思維橋梁.（2）掌握圖形變換.平移、旋轉、對稱以及相似是初中數學涉及的幾種主要的圖形變換.通過這些變換，讓圖形的性質、特點更加直觀，揭示圖形的本質，提升幾何直觀素養.

3.2" 注重思維的合理性、邏輯性和解題的通性通法

習題課作為教學重點，教師往往缺少對數學原理的挖掘與對學生的反思指導，解題過程更應關注解題思路的形成路徑.因此，如何引導學生從基本性質和概念出發，通過基本研究路徑去思考和解決問題是習題課教學的重中之重.在課堂中應注重“一題一課”“一課一題”，向學生慢慢滲透題型來源，以求達到“解一題、會一類、通一片”的解題目標，獲得解題的通性通法.

3.3" 可視化技術輔助教學，促進與數學課程融合

隨著信息技術的不斷發展和廣泛應用，加強信息技術與學科的融合是信息時代教育工作的重要探究方向.可視化技術的使用可以為數學教學和實踐提供更多的可能性，讓數學課程更加生動，提升學生的探究熱情，激發學生的想象力.

3.4" 心懷課標，尊重教材，關注學生

中考試題全面考查學生數學核心素養的養成情況，這就要求一線教師在教學中要時刻心懷課標，悟透課標精神，吃透教材內容，多角度、多方位提升教學水平和研究能力.研究學生思維特點，做好學生學情分析，讓數學核心素養落地生根.

4" 結語

通過對中考題的深入探究，做課程教學的開發者.我區數學教研氛圍濃厚，教研效果顯著，在區教研員瞿中平老師和馬鳳才老師的帶領下，我區教師踐行中考試題的深度研究，積極探究區域性數學教學實踐，成長迅速、收獲豐富.

參考文獻：

［1］陳宇.源流共舞動靜相宜——2021年安徽中考第23題印象［J］.中學數學教學，2021（04）：63-66.

［2］夏霞霖，張新全.對一道中考題的解法探究［J］.中學數學，2022（10）：50-52.

［3］章建躍.注重通性通法才是好數學教學［J］.中小學數學（高中版），2011（11）：50.