高中數學“三段式”微課教學新模式探究

【摘要】本文以高中數學余弦定理課程為例，對課前微課、課堂教學、課后微課“三段式”教學新模式進行探索.立足于實現學生自主學習能力、交流創造能力、延伸學習效果“三提升”目標，對如何設計微課以及如何將微課與日常課堂教學有機結合起來進行探討.

【關鍵詞】余弦定理；高中數學；微課教學

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出：“教師應激發學生的積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗.”在教學實踐中，對于教學中的重點和難點問題，引入微課教學模式；利用多媒體的多樣表達方法、展示手段和互動形式，設計專題課程.這種模式的便捷性和可重復性能夠使教學活動更高效地開展，有效激發學生主動學習的熱情，因此它非常適合作為傳統課堂教學的補充.

余弦定理是高中數學教學中非常重要的幾何定理，是初中勾股定理知識的擴展.余弦定理的證明過程融合了向量、解析幾何、平面幾何等知識點，是引導學生運用數學思維探究問題的重要途徑.本文以一節余弦定理教學課為例，立足于實現學生自主學習能力、交流創造能力、延伸學習效果“三提升”目標，探索課前微課、課堂教學、課后微課“三段式”教學新模式.

1" 基于提升自主學習能力的課前微課教學設計

在日常教學過程中，當學生面對較為抽象的概念、符號，或是難以理解的定理、公式時，課前預習效果往往不理想.微課教學則可以將部分課堂內容前移，通過合理設置引導問題，培養學生自主探究的能力，讓學生帶著問題走進課堂，提升后續課堂教學效率.

1.1" 微課設計思路

學生在之前的學習中已經學習了向量知識點.微課以向量作為工具，從證明勾股定理出發，用同樣的思想方法，引導學生思考非特殊三角形的三邊與角度之間的代數關系，從而推導出余弦定理的初步形式，幫助學生理解幾何代數化的方法.

1.2" 微課過程

復習勾股定理，演示利用向量工具證明勾股定理：

步驟1" 由向量知識，有：AB=AC+CB.

步驟2" 將等式兩邊平方，得到：AB2=AC2+2AC·CB+CB2.

步驟3" 由△ABC為直角三角形，其中C為直角，知AC·CB=0，化簡得到：AB2= AC2+CB2，即c2=a2+b2.

步驟2中利用兩邊平方將向量等式轉化為數量等式的方法，稱為向量數量化.

利用這個思路，請學生思考，若△ABC為一般三角形，其中∠C為非特殊角，使用向量數量化的方法，能夠得到什么結果？請學生把推導過程寫下來.

問題拓展" 請學生思考，這個結論除了通過向量數量化的方法得到，是否能利用其他數學工具得到？鼓勵學生在后續課堂教學中將思考的結果進行分享交流.

2" 基于提升交流創造能力的課堂教學設計

在教學中，需要改變灌輸式的教育方式，讓學生由被動學習轉化為主動探索，其主觀能動性才能得以有效發揮.“三段式”教學中的課堂教學設計，重點在于為學生搭建交流平臺.教師引導學生分享課前微課自學的用向量方法推導余弦定理的過程，并引出余弦定理的兩個經典形式，同時鼓勵學生分享其他推導方法和數學思想，并分析歸納出解決幾何問題的一般方法，在思想碰撞的火花中提升學習的自主性和創造性.

2.1" 教學設計

根據微課教學，學生已經了解了通過向量數量化方法，證明勾股定理的過程，甚至有部分學生已經推理出了余弦定理的初步形式，因此在課堂教學中，教師可以讓出主動權，請學生自由交流，通過分享討論構建余弦定理的知識點，對所學內容以及其中蘊含的數學思想進行總結與內化.

（1）分享交流：教師根據微課教學情況，請學生分享學習心得，交流解題思路及方法.學生以小組為單位討論預習的微課內容，并由小組代表發言，小組其他成員補充，其他小組成員提出問題，教師追問、答疑，進而得出有效的結論和方法，逐步構建余弦定理知識點.

（2）定理剖析：教師分析小組討論結論在解三角形中的作用，并歸納總結余弦定理的兩種基本形式.

（3）拓展思維：讓學生自由發言，交流微課中提出的拓展問題：除了向量方法外，是否有其他方法可以推導出余弦定理，這些方法是不是解決其他幾何問題的通用方法？

方法1" 幾何法

由∠C向AB作垂線CH，交AB于H.按∠A為銳角、直角、鈍角，分三類情況，將原問題轉化為直角三角形問題，用勾股定理求解問題.

圖2

圖3

推導過程" 當∠A為銳角時，如圖1所示：在Rt△BCH中，BH=BCcosB，CH=BCsinB，

從而AH=AB－BH=AB－BCcosB.在Rt△ACH中，由勾股定理可得：AC2=AH2+HC2=AB－BCcosB2+BCsinB2，

化簡得AC2=AB2+BC2－2BC·ABcosB，

即b2=c2+a2－2accosB，

當∠A為直角時，如圖2所示，由勾股定理，顯然有b2=c2－a2=c2+a2－2accosB；

當∠A為鈍角時，如圖3所示，在Rt△BCH中，BH=BCcosB，CH=BCsinB，

從而AH=BH－AB=BCcosB－AB.在Rt△ACH中，

由勾股定理可得：AC2=AH2+HC2=BCcosB－AB2+BCsinB2，

化簡得AC2=AB2+BC2－2BC·ABcosB，

即b2=c2+a2－2accosB，

綜上，得到b2=c2+a2－2accosB.

這個方法考查學生的分類討論思想和平面幾何知識水平，要求學生將未知問題（斜三角形問題）分類轉化為已知問題（直角三角形問題），再使用勾股定理解決問題.

方法2" 向量坐標法

通過建立直角坐標系，用角度和邊長表示點的坐標，再利用b2=AC2建立代數關系，計算化簡后即得到：b2=c2+a2－2accosB.

推導過程" 以B為原點，AB為x軸，建立直角坐標系，設B0，0，Ac，0，CacosB，asinB，利用向量模長的坐標表示得，b2=AC2=acosB－c2+asinB2，即b2=c2+a2－2accosB.

這個方法考查學生數形結合思想、代數運算能力和解析幾何知識的水平，學會將幾何問題代數化，利用代數計算尋找解決問題的途徑.

（4）復習總結：①=1＼*GB3什么是余弦定理，它有哪些基本形式；

②=2＼*GB3余弦定理適合解決怎樣的三角形問題；

③=3＼*GB3在推理余弦定理時，使用的數學工具、方法、思維是什么，這些熟悉的工具、方法、思維在解決其他幾何問題時是否有效？

3" 基于提升延伸學習效果的課后微課教學設計

高中數學教學時間緊、任務重、目標要求高，如何提升課后復習效率，讓不同層次的學生在復習時有進一步的所思所得，是教師需要思考的重要課題.在之前的課堂上，學生已經交流了余弦定理的多種推導方法和不同的數學思想在推導中的運用，而在課后，將一些拓展知識通過微課進行教學，給有余力的學生提供更大的提升空間.

3.1" 微課設計思路

余弦定理除了用來解三角形問題外，還可以得到一些推論.例如利用余弦定理解決三角形中線問題.通過微課形式，先由中線問題的探究求中線長度方法，再利用問題，引導學生利用同樣的思想方法，將問題推廣到更一般的形式.從而幫助學生進一步理解余弦定理在解決幾何問題中的作用.

3.2" 微課過程

問題探究1" 在△ABC中，M為BC邊的中點，已知∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，運用余弦定理，你能表示中線AM的長度嗎？

圖4

如圖4，在△ABM中，由∠AMB的余弦定理知：

cos∠AMB=AM2+BM2－AB22AM·BM，

同理，在△ACM中，

有cos∠AMC=AM2+CM2－AC22AM·CM，

由∠AMB與∠AMC互補，余弦值互為相反數，列出等量關系：

AM2+BM2－AB22AM·BM=－AM2+CM2－AC22AM·CM，

化簡得AM=12AB2+AC2－2BM2，

即AM=122c2+2b2－a2.

設計意圖" 通過三角形中線模型，展示余弦定理在解決幾何問題中的作用.

問題探究2" 將問題1中的點M變為BC邊上的三等分點，你能得到什么結論？

問題探究3" 若點M滿足BM=λBC，你能得到什么結論？

設計意圖" 通過問題拓展與自主探究，加深學生對余弦定理以及向量工具的理解.

課后微課教學主要是引導學生靈活運用余弦定理建立等量關系解決問題，通過變式探究培養學生探索問題、解決問題的能力，提升延伸學習效果，與課堂教學形成呼應.

4" 結語

“三段式”的微課教學模式，強化了課前自主學習和課后延伸學習的效果，在課前引導學生熟悉教學內容，激勵學生獨立自主地提出和發現問題，正確引導學生形成學習思路；在課堂教學過程中，有了之前微課的引導，可以將時間更多地放在學生討論交流上，活躍課堂氣氛，增加學生的思維碰撞，提升課堂教學效率；課后微課不僅能夠幫助學生更好地復習課堂知識、查漏補缺，還能鼓勵學生積極思考，由具體知識抽象出思維方法.教師抓住課堂教學這個中心環節，堅持以學生為主體、以教師為主導、以問題為中心，通過“探索—交流—提升”的課堂教學循環，能夠有效提升學生學習能力，強化學科綜合素養.

參考文獻：

［1］胡穎，李純.新課標背景下基于核心素養的數學作業設計改進研究［J］.科教文匯，2024（01）：163-167.

［2］陳彥琪.微課在高中數學課堂教學中有效應用的探究 ［J］.教育教學論壇，2017（08）：277-278.

［3］朱楠.基于問題驅動的高中數學微課設計——以“二面角及其平面角”為例［J］.科技風，2023（29）：107-109.