核心素養視域下數學運算在教學設計中的實踐與探究

【摘要】《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》中提出了核心素養的概念，指出學生應具備適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力，因此在數學學科教學中構建并培養學生的核心素養成為重點問題.本文以“點到直線的距離”教學設計為例，堅持以學生為主體，充分挖掘學生思維的深度與廣度，旨在讓學生在掌握知識的同時，有效提升數學運算的核心素養.

【關鍵詞】核心素養；高中數學；運算能力

1" 課標分析

“點到直線的距離”是新課標人教B版選擇性必修一第二章第2節第4小節的內容，是用代數方法解決幾何問題的基本公式.公式推導的過程既培養了學生數學運算素養，也培養了學生由特殊到一般、轉化化歸的數學思想.

2" 學情分析

學生已經學習了兩點間距離公式以及兩條直線的位置關系，初步了解了用代數方法解決幾何問題以及由特殊到一般的數學方法.因此，在教師的引導下，學生可以通過自主探索、合作討論等方式完成公式的推導，同時提升自身的數學素養.

3" 教學目標

（1）學生掌握點到直線的距離公式，明確公式推導過程所蘊含的數學思想，掌握點到直線的距離公式的變形和簡單應用.

（2）通過點到直線的距離公式的推導，需要學生明確運算目的，選擇最優運算路徑，提高運算效率.

4" 教學設計

4.1" 創設情境

探究1" 你能想辦法求出P（－1，2）到直線l1：2x+y-5=0的距離嗎？

方法1" 設P1為直線l1上的點，PP⊥l1 ，根據兩條直線位置關系設出所在的直線方程，兩方程聯立，求出交點P1坐標，利用兩點間距離公式求出點到直線的距離.

方法2" 設P1（x1，y1）為直線l1上的點，PP1⊥l1，寫出向量PP1的坐標以及直線l1的法向量v→，因此PP1與v→共線，利用向量共線求出P1所在的另一直線方程l2，兩方程聯立，求出交點P1的坐標，利用兩點間距離公式求出PP1的長.

設計意圖" 給出實例，由學生探討點到直線距離公式的不同解法，方法1思維方式較簡單，計算量較大；方法2與向量相結合，體現了用代數法解決幾何問題的優勢.

4.2" 提出問題

探究2" 以上方法能得出一般結論嗎？在平面直角坐標系中，如何求點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離？

A=0，B≠0，d=y0+CB=By0+CB；

B=0，A≠0，d=xo+CA=Ax0+CA.

如何推導點P到直線l的距離d.

設計意圖" 學生能夠想到用探究1的方法解決探究2的問題，在此過程中運用了分類討論的數學思想，讓學生體會由簡單到復雜、由特殊到一般的數學方法.

4.3" 引導探究

由探究1的方法1，學生能夠想到用定義法推導點到直線距離公式.

解法1" 定義法推導點到直線距離.

過點P且垂直

于直線l的直

線PQ方程為

即A（y－yo）=B（x－xo） ①，

l：Ax+By+C=0 ②，

聯立①②得交點Q坐標為

B2x0-ABy0-ACA2+B2，A2y0-ABx0-BCA2+B2

則PQ2=－BAyo+B2x0－AC（A2+B2）－xo2+

A2yo－ABxo－BCA2+B2－yo2

=（Ax0+By0+C）2（A2+B2）（A2+B2）2

=（Ax0+By0+C）2A2+B2，

PQ=Axo+Byo+CA2+B2.

關鍵在于準確求得點Q坐標，運算量較大.在計算中發現相似性，準確提取公因式，可以簡化運算，將幾何問題轉化為代數問題.

解法1" 運算量較大，能否選擇不同的路徑解決問題？

在解決幾何中的長度問題時，經常采取構造直角三角形法.

解法2" 解直角三角形法推導點到直線距離公式.

圖1

l：Ax+By+C=0， ，如圖1，過點P作PN⊥x軸交直線l于點N，設N（xo，y），

則Axo+By+C=0，

所以y=－Axo+CB，Nx0，－Axo+CB，

PN

=y0+Axo+CB=Axo+Byo+C|B|，

直線l的傾斜角為α，所以tanα=-AB，cosα=BA2+B2，

PQ=PNcosα=Axo+Byo+CA2+B2.

設計意圖" 解法1是常規方法，運算量較大，學生在有限的時間內很難算出正確的結果.解法2運算量較小，關鍵在于尋找直線的斜率、傾斜角與三角函數的關系.

4.4" 類比聯想

既然可以作x軸，能否作y軸？

如圖2，過點P作PM⊥PN交直線l于點M，可得

PN=y0+Axo+CB=Axo+Byo+CB，

同理PM=x0+Byo+CA

=Axo+Byo+CA，

MN·PQ=PN·PM，｜PQ｜的值進而求出 ，由此想到等面積法推導點到直線的距離公式.

解法3" 等面積法推導點到直線距離公式.

圖2

如圖2，過點P分別作x軸、y軸的平行線，交直線l于點M、N，

Nxo，－Axo+CB，M-By0+CA，y0

因為 MN·PQ=PN·PM，

所以x0+Byo+CA2+yo+Axo+CB2·

PQ=Axo+Byo+CB·Axo+Byo+CA，

PQ=Axo+Byo+CA2+B2.

設計意圖" 由解法2啟發引導學生，學生很容易想到由等面積法推導點到直線距離公式，由淺入深，拓展學生的思維.

4.5" 拓展延伸

在探究1中采用了方法2求出了具體的點到直線的距離，能否用向量法推導一般的點到直線距離公式？

解法4" 利用“設而不求”技巧推導點到直線距離公式

設Q（x，y），PQ=（x－x0，y－yo），而且v=（A，B）是直線l的一個法向量，因此PQ與v共線，

所以 A（y－yo）=B（x－xo），

即A（y－yo）－B（x－xo）=0③.

Ax+By+C=0即A（x－xo）+B（y－yo）+C=－Axo－Byo.

即A（x－xo）+B（y－yo）

=－Axo+Byo+C④.

由③、④得（A2+B2）［（x－xo）2+（y－yo）2］=Axo+Byo+C2，

故PQ=Axo+Byo+CA2+B2.

設計意圖" 體會應用向量法解決幾何問題的優勢，同時引導學生思考：當計算較為煩瑣時，可以應用“設而不求”的技巧來推導公式.引導學生發現整體代換的解決方案，選擇恰當的方法提高運算效率與準確性，使數學運算素養得到鍛煉與提升.

4.6" 應用鞏固

例1" 已知△ABC的三個頂點 ，求△ABC的BC邊上的高.

設計意圖" 求三角形一邊上的高，即求點到直線的距離，將直觀的圖形與代數連接起來，體現了代數與幾何的有機統一.

例2" 求平行線 l1：3x－4y+3=0與l2：6x－8y－5=0之間的距離.

設計意圖" 由兩平行線間距離進一步體會點到直線距離公式的應用，體會將未知化為已知的轉化化歸思想.借助例2引出兩條平行線之間距離的公式.

4.7" 課堂小結

（1）通過引導學生進行歸納總結，明確本節課所學的知識點，以及這些知識點背后所蘊含的數學思想.

（2）通過運用多種方法來推導點到直線的距離公式，讓學生體會數學運算的重要性，并認識到在平時的學習中需要不斷提升與鍛煉數學運算能力.

5" 結語

點到直線的距離公式的多種推導方法，體現了數學運算的三個水平：直接運算中的繁雜，轉化運算中的求簡，創新運算中的至簡.這樣的推導過程不僅展現了數學運算的深度和廣度，也為教師探尋運算教學的切入點提供了方向，進而達到努力提升學生的數學運算素養的目標.