高中數(shù)學(xué)立體幾何的解題方法探討

【摘要】縱觀高考數(shù)學(xué)科目試卷，立體幾何屬于必考知識(shí)點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的空間思維能力、解題能力提出較高的要求．在高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)中，教師注重概念與公式等知識(shí)點(diǎn)的傳授，以此為學(xué)生構(gòu)建完整的立體幾何知識(shí)體系，并通過(guò)設(shè)計(jì)典型的立體幾何題型，引導(dǎo)學(xué)生不斷總結(jié)解題思路，以便掌握相應(yīng)的解題要點(diǎn)，真正提高學(xué)生的立體幾何解題效率，讓學(xué)生舉一反三、融會(huì)貫通．本文探索高中數(shù)學(xué)立體幾何解題方法，希望為高中數(shù)學(xué)教師立體幾何教學(xué)提供新思路，提高學(xué)生的解題能力．

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；立體幾何；解題方法

立體幾何在歷年高考數(shù)學(xué)試卷中的出題方式變化萬(wàn)千，綜合考量學(xué)生對(duì)立體幾何知識(shí)的應(yīng)用能力，對(duì)常以形象思維為核心的高中學(xué)生來(lái)講，也是經(jīng)常丟分、失分的重要項(xiàng)目．在高考數(shù)學(xué)立體幾何命題中，將教材文本作為基礎(chǔ)，從學(xué)生的日常生活入手，改變常規(guī)意義上的出題形式，凸顯立體幾何問(wèn)題多元特性，使學(xué)生在學(xué)習(xí)期間，依照立體幾何基本知識(shí)，運(yùn)用相應(yīng)的解題技巧，找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在，提高學(xué)生的立體幾何解題效率．

1" 借助輔助畫線，降低解題難度

在高中數(shù)學(xué)立體幾何問(wèn)題中，因立體幾何圖象的特殊性［1］，教師可指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意內(nèi)容，適當(dāng)畫出相應(yīng)的輔助線，以便將立體幾何問(wèn)題難度降低，調(diào)動(dòng)學(xué)生的實(shí)踐探索興趣，使學(xué)生的解題效率不斷提升．為此，高中數(shù)學(xué)教師在立體幾何解題教學(xué)中，要發(fā)揮自身的引導(dǎo)促進(jìn)作用，讓學(xué)生全面分析題意內(nèi)容，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，使幾何圖形更加形象、生動(dòng)，弱化立體幾何抽象復(fù)雜的特性，讓學(xué)生根據(jù)圖形的基本特點(diǎn)，找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，從而使復(fù)雜難懂的立體幾何解題簡(jiǎn)單化，提高學(xué)生的解題正確率.

例1" 觀察圖1，已知有一個(gè)二面角ɑ-l-β，發(fā)現(xiàn)A與B∈α，D和C∈l，P∈β，PA和α相互垂直，且PA=PD，四邊形ABCD屬于線段四邊形，且AB和PC中點(diǎn)分別為M和N兩點(diǎn)，請(qǐng)證實(shí)異面直線AB和PC公垂線是MN.

解析" 教師指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題意，學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用問(wèn)題中的現(xiàn)有條件難以找到解決問(wèn)題的思路，無(wú)法對(duì)其進(jìn)行證實(shí)．為此，學(xué)生需要通過(guò)做輔助線解題的方式，證實(shí)該結(jié)論是否正確．學(xué)生依照題意可以發(fā)現(xiàn)AB和PC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M、N，學(xué)生按照題意運(yùn)用自身所掌握的知識(shí)點(diǎn)，連接中點(diǎn)畫出中位線，以此進(jìn)行證明分析．在線段PD上選取中點(diǎn)Q，如圖1所示，同時(shí)把點(diǎn)Q和點(diǎn)N相互連接、點(diǎn)N和點(diǎn)M相互連接，學(xué)生通過(guò)觀察便可發(fā)現(xiàn)，依照問(wèn)題中的已知條件，AM和DC相互平行，運(yùn)用輔助線畫圖技巧，通過(guò)推導(dǎo)驗(yàn)證，最終證實(shí)AB和PC的公垂線是MN的結(jié)論無(wú)誤．

圖1

2" 注重觀念轉(zhuǎn)換，降低解題難度

在高中立體幾何解題教學(xué)中，學(xué)生容易遇到最值問(wèn)題、運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題等題型，為了讓學(xué)生完全內(nèi)化此類問(wèn)題的解題技巧［2］，提高學(xué)生的解題正確率，教師指導(dǎo)學(xué)生適當(dāng)轉(zhuǎn)變解題觀念，打破學(xué)生的固定思維模式，才能強(qiáng)化學(xué)生的空間思維能力．為此，高中數(shù)學(xué)教師在立體幾何解題教學(xué)中，不必讓學(xué)生急于給出正確答案，而是讓學(xué)生注重解題過(guò)程的把控，重視解題觀念的轉(zhuǎn)換，使學(xué)生做到靈活運(yùn)用、融會(huì)貫通，以此將立體幾何知識(shí)點(diǎn)吃透記牢，夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)．

例2" 觀察圖2，發(fā)現(xiàn)ABCD-A1B1C1D1屬于正方體，每條棱的已知長(zhǎng)度是2，現(xiàn)有線段PQ，長(zhǎng)度為2，且符合點(diǎn)P在正方體邊AA1上、點(diǎn)Q在A1B1C1D1面內(nèi)的條件，請(qǐng)問(wèn)“PQ中點(diǎn)M軌跡的面積是多少？”

圖2

解析" 解決此類問(wèn)題，教師要讓學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真審題的良好習(xí)慣，因此類問(wèn)題涉及立體幾何動(dòng)點(diǎn)知識(shí)，解題期間，需要讓學(xué)生熟練運(yùn)用已知條件，該問(wèn)題中說(shuō)明，“正方體邊AA1上有點(diǎn)P、A1B1C1D1面內(nèi)有點(diǎn)Q存在”．所以，指導(dǎo)學(xué)生利用自身所掌握的知識(shí)，可得出“無(wú)論線段PQ處于什么位置，PA1和A1Q的垂直關(guān)系始終成立．”隨后，學(xué)生想到運(yùn)用“直角三角形斜邊上中線和斜邊一半相同”的三角形基本屬性，便可進(jìn)一步優(yōu)化這一問(wèn)題中的已知條件，降低學(xué)生的解題難度，強(qiáng)化學(xué)生的解題效率．學(xué)生嘗試將問(wèn)題中PQ為2的已知結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即利用長(zhǎng)度為1的MA1線段，以此降低這一問(wèn)題的解決難度，提高學(xué)生的解題效率．如此一來(lái)，在立體幾何解題教學(xué)中，教師要激活學(xué)生的解題思維，注重解題思路的轉(zhuǎn)換，才能提高學(xué)生的解題有效性，以免學(xué)生丟分、失分．

3" 巧設(shè)未知數(shù)，降低解題難度

高中數(shù)學(xué)立體幾何解題教學(xué)中，所涉及的問(wèn)題難度比較高，尤其在解題時(shí)，一旦馬虎大意，便會(huì)落得滿盤皆輸?shù)南聢?chǎng)，不但浪費(fèi)許多做題時(shí)間，還會(huì)影響學(xué)生的解題信心．為此，高中數(shù)學(xué)教師指導(dǎo)學(xué)生從題意入手［3］，設(shè)置未知數(shù)，利用未知數(shù)構(gòu)建算式與方程，以此優(yōu)化立體幾何的解題過(guò)程，使立體幾何問(wèn)題迎刃而解，提高學(xué)生的解題有效性．

例3" 認(rèn)真觀察圖3，可發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)正四棱臺(tái)，四棱臺(tái)上底面積為Q1，下底面積為Q2，側(cè)面積為Q，請(qǐng)思考四棱臺(tái)任意一個(gè)對(duì)角面積是多少？

圖3

解析" 教師指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的已知條件過(guò)少，除去三個(gè)計(jì)算數(shù)據(jù)，沒(méi)有任何有效條件．如若想要計(jì)算出對(duì)角面積，還要更多的條件信息，學(xué)生對(duì)于此類問(wèn)題束手無(wú)措，不知運(yùn)用什么方法才能找到解題的訣竅，教師指導(dǎo)學(xué)生展開大膽想象，通過(guò)“設(shè)而不求”的解題方式，創(chuàng)建新的參數(shù)，以便對(duì)未知問(wèn)題求解．此種情況下，學(xué)生將四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)設(shè)為斜ɑ，下底面邊長(zhǎng)設(shè)為b，斜高為t，棱臺(tái)高度為h，所以對(duì)角面積為：

S=22（a+b），h=22（a+b）t2（a－b2）2，學(xué)生對(duì)這一計(jì)算列式進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)Q1和Q2存在一定關(guān)聯(lián)性，得出S=24Q2－（Q1－Q2）2．

4" 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)立體幾何解題教學(xué)中，為了提升學(xué)生的解題效率，教師要注重解題方法、解題思路的傳授，為學(xué)生構(gòu)建完整的立體幾何知識(shí)體系，指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)概括立體幾何解題思路、解題技巧，以便強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，使立體幾何問(wèn)題迎刃而解，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展．

參考文獻(xiàn)：

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