參數分離方法解決恒成立問題的“后手”

【摘要】在研究函數問題時，經常會遇到含有參數的問題，包含求零點的個數或者根據零點個數求參數的取值范圍等問題，此時很常見的一種方式就是分離參數.通過分離參數，用函數觀點討論（主）變量的變化情況，由此可以確定參數的變化范圍.這種方法可以避免分類討論的麻煩，從而使問題得以順利解決，但有時候分離變量之后最值并不容易求，它可能需要一些常見的“后手”.

【關鍵詞】參數分離；高中數學；解題方法

例1" 已知函數fx=ex－ax+e2－7，若對任意的x≥0，f（x）≥74x2恒成立，求a的取值范圍.

解" 對任意的x≥0，f（x）≥74x2恒成立，

等價于對任意的x≥0，ex－ax+e2－7≥74x2恒成立.

（1）當x=0時，e2－6≥0顯然成立.

（2）當xgt;0時，

不等式ex－ax+e2－7≥74x2等價于4a≤4ex－7x2+4e2－28x.

設gx=4ex－7x2+4e2－28x，

所以g′x=4x－1ex－7x2－4e2+28x2.

設hx=4x－1ex－7x2－4e2+28，

則h′x=4xex－14x=2x2ex－7.

當x∈0，ln72時，h′xlt;0，

當x∈ln72，+∞時，h′xgt;0，

所以hx在0，ln72上單調遞減，在ln72，+∞上單調遞增.

因為h（0）=46－e2lt;0，

所以hln72lt;0，

又因為在hx=4x－1ex－7x2－4e2+28=0中，h（2）=0，

所以當x∈0，2時，g′xlt;0，

當x∈2，+∞時，g′xgt;0，

所以gx在0，2上單調遞減，在2，+∞上單調遞增，

所以gxmin=g2=4e2－28，

所以a≤e2－7，即a的取值范圍為－∞，e2－7.

評析" 在上例中，我們發現分離參數之后函數的最小值不容易求，于是我們進行了二次求導，這是一個常見的“后手”.

例2" 已知函數f（x）=xex－1－12x2.若f（x）≥lnx+（a－2）x－12x2+1恒成立，求實數a的取值范圍.

解" f（x）≥lnx+（a－2）x－12x2+1恒成立等價于x－lnx+xex－ax－1≥0恒成立.

因為xgt;0，所以a≤x－lnx+xex－1x.

令g（x）=x－lnx+xex－1x，

則g′（x）=x2ex+lnxx2.

令h（x）=x2ex+lnx，

則h′（x）=x2+2xex+1xgt;0，

所以h（x）在（0，+∞）上單調遞增.

又h（1）=egt;0，

h1e=e1ee2－1=e1e－2－1lt;0，

所以x0∈1e，1，使得hx0=0，

即x20ex0+lnx0=0.

所以當x∈0，x0時，g′（x）lt;0，

當x∈x0，+∞時，g′（x）gt;0，

所以g（x）在0，x0上單調遞減，在x0，+∞上單調遞增，

所以g（x）min=gx0

=x0－lnx0+x0ex0－1x0.

由x02ex0+lnx0=0，

可得x0ex0=－lnx0x0=ln1x0·eln1x0，

而y=xex在（0，+∞）上單調遞增，

所以x0=ln1x0，

即ex0=1x0，

所以g（x）min=x0－lnx0+x0ex0－1x0=x0+x0+1－1x0=2，

所以a≤2

評析" 在上例中用到了隱零點代換，這也是一個常見的“后手”.

例3" 已知函數f（x）=x－sinx.當x≥0時，f（x）≤ex+bx－1恒成立，求實數b的取值范圍.

解" f（x）≤ex+bx－1，

當x=0時，原不等式恒成立，

當xgt;0時，原不等式等價于b≥x－sinx－ex+1x=1－sinx+ex－1x，

令g（x）=1－sinx+ex－1x，

則g′（x）=sinx+ex－xcosx－xex－1x2，

令h（x）=sinx+ex－xcosx－xex－1=sinx－xcosx+ex（1－x）－1，

h′（x）=cosx－cosx+xsinx+ex（1－x－1）=xsinx－ex，

因為xgt;0，

所以exgt;1，

所以h′xlt;0，所以hx在區間0，+∞上單調遞減，即hxlt;h0=0，

所以g′xlt;0，即gx在區間0，+∞上單調遞減.

由洛必達法則有：

limx→0g（x）=limx→0x－sinx－ex+1x

=limx→01－cosx－ex=－1，

所以gxlt;－1，所以實數b的取值范圍是－1，+∞.

評析" 在上例中，雖然仍然可以使用二次求導的方法，但這種方法對學生的計算和思維能力要求較高，故在本例中我們用到了洛必達法則.運用洛必達法則，盡管在有些省份的大題中可能因為省略步驟而扣分，但相對而言，計算量和思維負擔都較小，另外，也可先在草稿紙上用洛必達法則得到答案，然后再證明該答案的正確性.

結語

本文主要探討了分離參數后最值不易求的三種基本方法.在這類問題中，并不是只有分離參數法這一種方法可以用，且一種方法并不能解決所有問題.因此，具體問題還需要具體分析.

參考文獻：

［1］紀定春，蔣紅珠.巧用換元法構造導數定義解一類壓軸題［J］.數理化解題研究，2020（13）：38-40.