求解數列通項公式的常見方法探討

【摘要】本文通過對不同類型數列的分析，包括等差數列、等比數列等，闡述多種求解通項公式的技巧和思路，如累加法、累乘法、構造法等，并通過具體的例子展示這些常見方法的應用，為數列相關問題的解決提供理論支持和實踐指導．

【關鍵詞】高中數學；數列；解題方法

數列是數學中一個重要的概念，它在數學的各個領域以及其他學科如物理學、計算機科學等都有著廣泛的應用．數列的通項公式是描述數列中每一項與項數之間關系的表達式，求解數列通項公式是數列研究中的關鍵內容．掌握數列通項公式的常見求解方法，有助于深入理解數列的性質和規律，解決諸如數列求和、數列極限等相關問題．

1" 累加法

例1" 已知數列an的通項公式an=6n－5，數列bn滿足b1=a1．若an=2nbn+1－bn，求數列bn的通項公式．

解析" 已知數列an的通項公式為an=6n－5，

所以由an=2nbn+1－bn可得bn+1－bn=12n6n－5，

故n≥2時，bn－b1=bn－bn－1+bn－1－bn－2+…+b2－b1=6n－11×12n－1+6n－17×12n－2+…+7×122+1×12，

則12bn－b1=6n－11×12n+6n－17×12n－1+…+7×123+1×122，

相減可得12bn－b1=－6n－11×12n+612n－1+…+123+122+12，

故12bn－b1=－6n－11×12n+6×1221－12n－21－12+12，

化簡可得12bn－b1=72+－6n－12n，

故bn=8－6n+12n－1，

當n=1時，b1=a1=1也符合要求，

故bn=8－6n+12n－1．

點評" 該題主要是運用累加法求數列的通項公式，題型的主要特征是已知形如an+1=an+fn的等式關系.本例中，已知數列an的通項公式為an=6n－5，可得bn+1－bn=12n6n－5，符合利用累加法的條件，故該題選擇采用累加法求數列bn的通項公式．累加法求解數列通項公式的一般思路：一是確定題型，查看題目中是否含an+1=an+fn形式的等式；二是根據an+1=an+fn，n每減一個單位得到一個式子，共產生n－1個式子；三是將上述n－1個式子相加，得an－a1=f1+f2+…+fn－1；四是代入首項a1，并整理化簡即可．

2" 累乘法

例2" 已知數列an的首項a1=1，且滿足n－1an=n+1an－1，求數列an的通項公式．

解析" 已知n－1an=n+1an－1，

所以an≠0，

所以anan－1=n+1n－1，

則an=anan－1·an－1an－2·…·a3a2·a2a1·a1=n+1n－1·nn－2·n－1n－3·…·42·31·1=nn+12，

當n=1時，a1=1也符合上式，

綜上，an=nn+12．

點評" 該題主要是運用累乘法求數列的通項公式.能使用累乘法求數列通項公式的題型特征是已知數列滿足形如anan－1=gnn≥2的等式.根據題意，作差化簡得anan－1=n+1n－1，則利用累乘法即可求得答案．累乘法求解數列通項公式的思路：一是確定題型，查看題目中是否含anan－1=g（n）（n≥2）形式的等式；二是根據anan－1=gnn≥2，n每減一個單位得到一個式子，共產生n－1個式子；三是將上述n－1個式子相乘，得ana1=g1·g2·…gn－1；四是代入首項a1，并整理化簡即可．

3" 構造法

例3" 在數列an中，a1=4，an+1=3an－2，則an=""" ．

解析" 因為an+1=3an－2n∈N*，

所以an+1－1=3an－1，

所以an+1－1an－1=3.

又因為a1=4，

所以a1－1=3.

所以數列an－1是以3為首項，3為公比的等比數列.

所以an－1=4－1·3n－1=3n，

所以an=3n+1．

點評" 利用構造法求解數列通項公式時，可構造比較熟悉的等差數列和等比數列．當數列an滿足an+1=pan+qp≠1時，可以通過在兩邊同時加一個數來構造等比數列，進而求解通項公式；當數列an滿足an－an+1=panan+1時，可以通過將各項除以anan+1，從而構造等比數列來求解通項公式，方法類似，不同的題型有不同的構造形式，需要根據具體情況進行適當變形．本例中已知an+1=3an－2，符合構造等比數列，所以利用構造法構造了等比數列an－1，根據等比數列求通項公式即可求解．

4" 結語

數列通項公式的求解方法多種多樣，包括等差數列、等比數列的基本公式法，以及累加法、累乘法、構造法等適用于不同類型遞推數列的方法．在實際求解過程中，需要根據數列的具體特征選擇合適的方法．準確求解數列通項公式不僅有助于深入研究數列本身的性質，也為解決數列相關的綜合問題提供了關鍵的依據，在數學學習和研究中具有重要的地位．同時，隨著數學研究的不斷深入，對于數列通項公式求解方法的研究也在不斷拓展和完善，以適應更復雜的數列問題．

參考文獻：

［1］陳永橋.求解數列通項公式的常用方法［J］.高中數理化，2024（07）：64-65.

［2］吳艷梅.中學數學中數列通項公式求解方法例舉［J］.高考，2019（01）：147.

［3］王維.求解數列通項公式的基本方法［J］.數理天地（高中版），2016（02）：12-13.

［4］劉婭麗.例談數列通項公式求解的基本方法［J］.數理化解題研究，2019（28）：39-40.