利用導數解決恒成立問題的一般做法

【摘要】隨著高中數學教育的深入，導數已成為解決函數問題的有力工具，尤其在處理恒成立問題時顯示出獨特的優勢.本文主要探討如何利用導數解決高中數學中的恒成立問題.恒成立問題通常與不等式相關，導數法因其邏輯嚴謹和計算方便的特點而被廣泛使用.通過利用導數解決恒成立問題，學生可以更加深入地理解數學中的基本概念和原理.

【關鍵詞】導數;高中數學;解題方法

1" 引言

恒成立問題是高中數學中的常見問題，一般與不等式相關聯，設問方式一般為“告知某函數在某條件下恒成立，求某參數的取值范圍”［1］.本文首先介紹了直接求導判斷單調性的方法，并通過具體例題展示了如何根據求導來判斷函數的極值和最值，從而解決恒成立問題.其次介紹了構造法分離整體進行求導的方法，通過構造新函數，將新函數或者新函數的一部分作為一個整體，進行合并求導，然后再對新函數進行討論分析.通過利用導數解決恒成立問題，學生可以更加深入地理解數學中的基本概念和原理［2］.

2" 試題呈現

2.1" 直接求導判斷單調性

例1" 設函數fx=lnx+x－xex+a+1，若fx≤0恒成立，則實數a的最大值為（" ）

（A）e－1." （B）1." （C）e－2." （D）0.

2.2" 構造法分離整體進行求導

例2" （1）設實數λgt;0，若對任意x∈e，+∞，關于x的不等式λeλx－lnx≥0恒成立，則λ的最小值為.

（2）已知實數agt;0，函數fx=1+lnax，gx=ex－a.若不等式fx≤x·gx恒成立，求a的取值范圍.

3" 思路分析

例1考查利用導數研究函數的最值以及函數恒成立問題.由fx≤0恒成立，可求fx的最大值，通過對函數求導，判斷出函數的單調性和最值，利用方程f′x0=0化簡，可得實數a的取值范圍以及最大值.由于本題的定義域為R，因此可以直接求導，求取函數最值.若定義域非實數R，可將變量a進行分離，即由fx≤0可推出a≤－lnx－x+xex－1，求不等式右側函數的最小值即可，依然是通過導數求解.

例2第（1）問考查利用導數研究函數的最值，涉及轉化思想以及導數的綜合應用.通過實數λgt;0，對任意x∈e，+∞，不等式λeλx－lnx≥0恒成立，可以推出不等式λxeλx≥elnxlnx恒成立.再通過構造函數gx=xex，x∈e，+∞，利用導數研究函數的單調性，通過分離參數即可得出結論.第（2）問由不等式fx≤x·gx恒成立，可得lnax+ax+1≤xex=ex+lnx在0，+∞上恒成立，分a=1，0lt;alt;1和agt;1三種情況進行討論，求導判斷單調性，可得a的取值范圍.本題考查導數的應用，以及函數的單調性和最值，因涉及分類討論思想，屬于較難題.

4" 解法探究

例1在解決恒成立問題時，一般做法是通過導數判斷函數在定義域內的單調性，求取最值或拐點（拐點不可求導），通過最值判斷函數值在給定的范圍內是否恒成立.

由題意，fx≤0恒成立，即求fx的最大值，函數fx=lnx+x－xex+a+1，其定義域為0，+∞，則f′x=1x+1－exx+1=1+xx－ex1+x=1+x1x－ex，

因為1+xgt;0，而y=1x－ex在0，+∞上單調遞減，且x=12時，y=2－egt;0，當x=1時，y=1－elt;0.

因此存在x0∈12，1，滿足f′x0=0，即1x0=ex0且－lnx0=x0，則函數fx在0，x0上單調遞增，在x0，+∞上單調遞減.

此時有f（x）max=fx0=lnx0+x0－x0ex0+a+1=－x0+x0－1+a+1=a≤0，即實數a的最大值為0，故選（D）.

例2在一些難以直接求導的函數中，可以通過構造新函數，將新函數或者新函數的一部分作為一個整體，進行合并求導，然后再對新函數進行討論分析.

（1）實數λgt;0，對任意x∈e，+∞，不等式λeλx－lnx≥0恒成立不等式λxeλx≥elnxlnx恒成立.構造函數gx=xex，x∈e，+∞，則g′x=x+1exgt;0，得到函數gx在x∈e，+∞上單調遞增.

因此λx≥lnx，即λ≥lnxx，x∈e，+∞，令hx=lnxx，x∈e，+∞，有h′x=1－lnxx2lt;0，因此函數hx在x∈e，+∞上單調遞減.故hxlt;he=1e，即λ≥1e.

（2）由題設，1+lnax≤xex－a（agt;0）在0，+∞上恒成立，所以lnax+ax+1≤xex=ex+lnx在0，+∞上恒成立，

①當a=1時，證明lnx+x+1≤ex+lnx恒成立即可，令t=x+lnx∈R，則t+1≤et，若kx=ex－x－1，且x∈R，則k′x=ex－1，在－∞，0上k′xlt;0，kx單調遞減，在0，+∞上k′xgt;0，kx單調遞增，所以kx≥k0=0，即ex≥x+1在R上恒成立，故lnx+x+1≤ex+lnx恒成立，滿足.

②當0lt;alt;1時，axlt;x，又y=x+lnx在0，+∞上單調遞增，所以lnax+axlt;x+lnx，由①知，lnx+x+1≤ex+lnx，所以lnax+ax+1lt;ex+lnx恒成立，滿足.

③當agt;1時，由①知：lnx+x+1≤ex+lnx成立，僅當x+lnx=0時等號成立，令x=1e，則1e+ln1e=1e－1lt;0，令x=1，則1+ln1=1gt;0，所以x0∈1e，1，使x0+lnx0=0成立，即lnx0+x0+1=ex0+lnx0=x0ex0成立，又由ax0gt;x0，同②分析可得：lnax0+ax0+1gt;lnx0+x0+1=x0ex0.故x0gt;0，使lnax0+ax0+1gt;x0ex0成立，不合題意.

綜上，a的取值范圍是0，1.

5" 結語

導數的引入使得學生能夠通過求導的方法來判斷一個函數的變化趨勢和極值情況［3］，通過求導，一些原本復雜的恒成立問題可以轉化為更簡單的形式，從而幫助學生解決一些特定問題.通過利用導數解決恒成立問題，可以使學生更加深入地理解數學中的基本概念和原理.

參考文獻：

［1］劉慧，張啟兆.賞析一道利用導數研究不等式恒成立的試題［J］.新世紀智能，2024（Z1）：34-36.

［2］胡新利.導數法證明數列不等式的思維策略［J］.高中數學教與學，2024（03）：16-18.

［3］管琳.“構造法”解不等式恒成立問題的函數模型總結［J］.數理天地（高中版），2024（03）：4-5.