函數背景下的數列比大小問題解法探究

【摘要】數列比大小類問題是高考題中的一種常見題型.近年來，隨著高考試題靈活性的持續提升，許多題目開始出現知識點的融合，其中以函數為依托的數列比大小類問題就是一類綜合性強、難度大的問題.本文結合一道典型例題討論處理此類問題的幾種方法，以求拋磚引玉.

【關鍵詞】函數；高中數學；解題方法

數列本身就是一類特殊的函數，相對于普通函數，其特點是定義域為正整數，且函數圖象并不是連續的.所以數列與函數之間有共同點，也有不同點.在解題時，方法可以互相融合借鑒.

例題" 設函數f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導函數.設n∈N*，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n－f（n）的大小，并加以證明.

分析" 由已知條件g（1）+g（2）+…+g（n）=12+23+…+nn+1，

n－f（n）=n－ln（n+1），

比較結果為g（1）+g（2）+…+g（n）gt;n－ln（n+1）.

證明如下：

證法1" 數學歸納法

解" 不等式等價于12+13+…+1n+1lt;ln（n+1），

易證得ln（1+x）gt;x1+x，xgt;0.

令x=1n，n∈N*，

則lnn+1ngt;1n+1.

下面用數學歸納法證明.

①n=1時，12lt;ln2，結論成立.

②假設當n=k時結論成立，

即12+13+…+1k+1lt;ln（k+1），

那么，當n=k+1時可得：

12+13+…+1k+1+1k+2lt;ln（k+1）+1k+2lt;ln（k+1）+lnk+2k+1=ln（k+2），

即結論成立.由①②可知，結論對于n∈N*成立.

評析" 數學歸納法是數列問題中的常用方法.由第一項的成立以及在假設條件下后一項的成立，即可得到整個數列是滿足一定條件的.

證法2" 累加法

解" 不等式等價于12+13+…+1n+1lt;ln（n+1），

易證得ln（1+x）gt;x1+x，xgt;0.

令x=1n，n∈N*，

則lnn+1ngt;1n+1，

所以有ln2－ln1gt;12，ln3－ln2gt;13，…，

ln（n+1）－lnngt;1n+1.

上述各式相加可得12+13+…+1n+1lt;ln（n+1），結論得證.

評析" 題目中比較大小的兩項，其中一項是和的形式，而另一項則為單項.因此，可以將和拆分，變為單項之間的比較，再使用累加法，即可得到大小關系.

證法3" 構造數列并證明單調性

解" 不等式等價于ln（n+1）－12+13+…+

1n+1gt;0.

設an=ln（n+1）－12+13+…+1n+1gt;0，

an+1=ln（n+2）－

12+13+…+1n+1

+1n+2.

所以an+1－an=ln（n+2）－ln（n+1）－1n+2=lnn+2n+1－1n+2，

易得ln（1+x）gt;x1+x，xgt;0.

令x=1n，n∈N*，

則lnn+1ngt;1n+1，

所以lnn+2n+1gt;1n+2.

因此an+1－an=lnn+2n+1－1n+2gt;1n+2－1n+2=0，

即an+1gt;an，

故數列an為單調遞增數列.

所以angt;a1=ln2－12=ln2－lne12gt;0，

即ln（n+1）gt;12+13+…+1n+1，

所以n－12+13+…+1n+1gt;n－ln（n+1），

即g（1）+g（2）+…+g（n）gt;n－ln（n+1）.

評析" 函數有單調性，數列同樣有.利用證明數列單調性的方法也可以證得大小關系.

證法4" 消項比較法

解" g（1）+g（2）+…+g（n）=12+23+…+nn+1=n－12+13+…+1n+1，

n－f（n）=n－ln（n+1）

=n－ln2×32×43…×n+1n

=n－ln2+ln32+ln43+…+lnn+1n.

需要比較1n+1與lnn+1n的大小.

易證得ln（1+x）≥x1+x.

令x=1n，n∈N*，

則lnn+1ngt;1n+1，

故g（1）+g（2）+…+g（n）gt;n－ln（n+1）.

評析" 這是證明此問題最為簡單的方法，但是需要學生發現代數式的結構特征，從而消去某些對于比大小起不到決定意義的項，方便計算.

結語

上述四種證法各有特點，但是都體現了以數列為主導、函數為輔助的解題思想.這就需要學生們在平時的練習中多加總結，培養數學意識，發現題中的奧妙，問題自然也就迎刃而解.