解答一道立體幾何二面角問題的三種方法

【摘要】二面角問題是高中數(shù)學(xué)立體幾何板塊的一個(gè)重難點(diǎn)問題，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力. 學(xué)生解答此類問題不僅需要有扎實(shí)的立體幾何知識(shí)，還要能夠合理利用多種作圖方法和數(shù)學(xué)工具.本文結(jié)合一道典型例題談?wù)劷獯鸫祟悊栴}的三種方法，以供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；二面角；解題方法

例題" 如圖1所示，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，

且∠BAP=∠CDP=90°.

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A－PB－C的余弦值.

圖1

解法1" 轉(zhuǎn)化法

解答立體幾何問題的過程主要可以分為兩步：一，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題；二，在平面幾何圖形中進(jìn)行求解.通過合理轉(zhuǎn)化可以將抽象的立體圖形轉(zhuǎn)化到平面上，再結(jié)合勾股定理、三角函數(shù)等平面幾何知識(shí)即可求解.

解" （2）令PA=PD=AB=DC=1，

則PB=PC=BC=2.

如圖2所示，取PB的中點(diǎn)O，連接AO，CO，AC，

故AO⊥PB，CO⊥PB，∠AOC為二面角A－PB－C的平面角.

在△AOC中，AO=22，CO=62，AC=3，

所以cos∠AOC=AO2+CO2－AC22AO·CO=－33.

評(píng)析" 轉(zhuǎn)化法在二面角問題中的應(yīng)用體現(xiàn)在將二面角問題轉(zhuǎn)化為二面角的平面角問題，構(gòu)造相應(yīng)的三角形，利用正弦、余弦定理和三角函數(shù)定義即可求解.

圖2

解法2" 向量法

向量法是解答立體幾何問題的常用方法，其特點(diǎn)在于利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，利用向量作為代數(shù)和幾何之間的橋梁，從而將立體幾何問題變?yōu)榇鷶?shù)問題進(jìn)行研究.

解" （2）在平面PAD內(nèi)作PF⊥AD，垂足為點(diǎn)F.

由平面PAB⊥平面PAD得AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，得PF⊥平面ABCD.

如圖3所示，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A的方向?yàn)閤軸的正方向，AB為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系F－xyz.

圖3

則由（1）得A22，0，0，P0，0，22，

B22，1，0，C－22，1，0.

所以PC=－22，1，－22，CB=2，0，0，PA=22，0，－22，AB=（0，1，0）.

設(shè)n=（x1，y1，z1）是平面PCB的法向量，

則n·PC=0，n·CB=0，

即－22x1+y1－22z1=0，2x1=0，

可得n=（0，－1，－2）.

設(shè)m=（x2，y2，z2）是平面PAB的法向量，

則m·PA=0，m·AB=0，

即22x2－22z2=0y2=0，，

可得m=（1，0，1）.

因?yàn)閏oslt;n，mgt;=－33，所以二面角A－PB－C的余弦值為－33.

評(píng)析" 將構(gòu)成二面角的兩個(gè)平面的法向量分別求出，并利用向量的夾角公式，結(jié)合向量夾角與二面角大小之間的關(guān)系（通常為互補(bǔ)或者是相等）綜合進(jìn)行判斷，即可解出答案.

解法3" 等體積法

觀察到本題的幾何載體是三棱錐，因此聯(lián)想到用等體積法來解題.因?yàn)槿忮F每一個(gè)面均可以看作底面，所以便于求出底面與頂點(diǎn)之間高的長(zhǎng)度，從而簡(jiǎn)化解題.

解" （2）不妨設(shè)PA=PD=AB=DC=1，

易得AD=BC=PB=2.

取PB的中點(diǎn)O，連接AO，故AO⊥PB.

設(shè)A在平面PBC內(nèi)的投影為H，如圖4所示，連接AH，OH，則∠AOH的補(bǔ)角即為所求二面角的平面角.

圖4

由VA－PBC=VP－ABC得AH=33，

所以sin∠AOH=63，cos∠AOH=33，

故二面角A－PB－C的余弦值為－33.

評(píng)析" 合理利用幾何體的特征也是解答立體幾何問題的妙招之一，在得到高的長(zhǎng)度后，可構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，從而利用三角函數(shù)的定義對(duì)二面角的大小進(jìn)行求解.

結(jié)語

通過對(duì)上述例題幾種解法的深入分析，可以看出立體幾何問題的難點(diǎn)就在于其圖形相對(duì)于平面幾何問題的抽象性，因此合理轉(zhuǎn)化是解答此類問題的關(guān)鍵.應(yīng)用到二面角問題上，就是要將二面角問題轉(zhuǎn)化為二面角的平面角問題、向量的夾角問題、三角函數(shù)值的大小等.在解題的過程中，要選擇合適的解題角度.

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