一道解析幾何直線過定點問題的解法探究

【摘要】直線過定點問題是解析幾何中的一類經典題型.盡管在高考中已經多次出現，但它始終能夠呈現出創新的亮點，考查學生的思維能力和運算能力.解決此類題目首先要較好地掌握解析幾何基本知識，同時還要熟悉常用的數學思想和解題方法.本文通過一道典型例題，展示此類問題的解題方法.

【關鍵詞】解析幾何；高中數學；解題方法

例題" 橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的離心率為32，右焦點為F2（c，0），點P在橢圓上運動，且|PF2|的最大值為2+3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點A（0，1）作斜率分別為k1，k2的兩條直線，分別交橢圓于點M，N，且k1+k2=4，證明：直線MN恒過定點.

解析" 第（1）問由橢圓的焦半徑公式可以得到點P到右焦點F2（c，0）的距離d=a－ex，當x=－a時，d=a+c取到最大值.

則由題意可以得到方程組：

ca=32，a+c=2+3，b=a2－c2，

由此可以解得a=2，b=1，

得到橢圓C的方程為x24+y2=1.

對于第（2）問則可以采取以下幾種解法.

解法1" 設線聯立，解出方程的根

若題目需要寫出直線表達式，可以將斜率作為未知量將直來線的解析式設出來.一般來說，常規的直線表達式是形如y=kx+b的形式，此方法思維量小，但是有時會因運算變得復雜.因此，需要根據題目中的實際情況合理選用直線表達式的形式.

解" 由題意聯立：x24+y2=1，y=k1x+1，

得到方程（1+4k12）x2+8k1x=0，

解得方程的兩個根分別為：

x1=0，x2=－8k11+4k12，

即M－8k11+4k12，1－4k121+4k12.

整理可得點N的坐標為－8k21+4k22，1－4k221+4k22，且k1≠k2，k1+k2=4.

則kMN=1－4k221+4k22－1－4k121+4k12－8k21+4k22+－8k11+4k12=

8k12－8k228k1－8k2+32k1k22－32k12k2=41－4k1k2，

所以直線MN的方程為：

y－1－4k121+4k12=41－4k1k2x+8k11+4k12.

令k1=1，k2=3，

得到y+35=－411x+85；

令k1=－1，k2=5，

得到y+35=421x－85，

聯立解得x=－12，y=－1.

代入檢驗符合，所以直線MN過定點－12，－1.

運用此方法能直接解出根的方程是少數，大多數題目都要采取設而不求的方式，用韋達定理整體代入求解.一般來說可以采取先猜后證的方法找到要找的定點，之后只需要證明將其代入判定式后是恒成立的即可.在此過程中，會涉及形式的配湊，需要根據結構對常數進行適當的調整.

解法2" 設點代入，聯立運算

與直接設直線不同，設點的核心在于從直線與圓錐曲線的交點出發，用點的坐標來研究問題.在這個過程中，要確保焦點的個數與參數個數相匹配.處理這類問題的核心步驟一般是整體代換或者消元，來使運算得到簡化.聯立后對于方程可應用韋達定理，并結合題目已知的條件進行討論.

解" 設M（x1，y1），N（x2，y2），

則k1+k2=y1－1x1+y2－1x2.

將橢圓方程進行變形，

可化為x24+（y－1+1）2=1，

得到x24+（y－1）2+2（y－1）=0.

設直線MN為mx+n（y－1）=1，

聯立得到方程組：x24+y2=1，mx+n（y－1）=1，

得到方程（2n+1）y－1x2+2my－1x+14=0，

令k=y－1x，

則（2n+1）k2+2mk+14=0.

由題意得－2m2n+1=4，即m=－4n－2，

MN方程為n（－4x+y－1）－2x－1=0.

即直線MN恒過定點－12，－1.

設點法的優勢在于能夠簡化設未知量的計算過程，實際應用中常輔以設直線，將兩者結合研究.在運算時可以找到表達式或方程的整體結構進行處理，例如將表達式用其代表的實際意義表示出來，如此題中就利用斜率的表達式進行了形式上的化簡.

解法3" 構造新曲線

一般的問題中第一研究對象常常是直線，但是此方法反客為主，將第一研究對象變成了曲線，然后等價替換構造新的曲線，與直線結合進行研究.一般來說，新的曲線首先要滿足在幾何位置上具有特殊性，還要適合于直線幾何進行運算，因此要不斷地嘗試，使常數項更加貼合所需.

解" 先將橢圓沿y軸向下平移一個單位，得到新的曲線C′：x24+（y+1）2=1，

變形為x24+y2+2y=0.

同時點A，M，N的坐標也都相繼改變，分別變為了A′，M′，N′.

由題意得直線M′N′斜率必存在，設其方程為mx+ny=1（n≠0），

則有x24+y2+2y（mx+ny）=0，

（2n+1）yx2+2myx+14=0，

則kOM′+kON′=k1+k2=y1x1+y2x2=

－2m2n+1=4，

即m=－4n－2，

則直線M′N′的表達式為n（4x－y）+2x+1=0，

即直線M′N′恒過點－12，－2，再向上平移一個單位得恒過定點－12，－1.

構造新曲線的方法主要有平移、對稱、旋轉三種方法，此題中運用的是平移法.在解題時，需要根據題目要求合理選擇，有時會涉及多種構造方法的運用.對于較復雜的題目，需要將直線和曲線融合在一起進行研究.

結語

以上三種方法巧妙地解決了直線過定點問題.前兩種方法對于計算的基本功要求較高，需要同學們多加練習.最后一種方法要在實際的解題過程中進行拓展鞏固.