從一般到特殊，秒解數(shù)學(xué)問(wèn)題

【摘要】特殊值法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種基本方法．通過(guò)選取特殊值、特殊點(diǎn)、特殊角等，可以解決一些相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題．本文對(duì)特殊值法進(jìn)行研究分析，總結(jié)解題技巧與策略，旨在引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)．

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；高中數(shù)學(xué)；解題方法

特殊值法是解決數(shù)學(xué)客觀問(wèn)題中最為特殊的一種“巧技妙法”，是解決一些具有特定答案的單項(xiàng)選擇題、多項(xiàng)選擇題和填空題等的“通性通法”的升華與提升．針對(duì)數(shù)學(xué)試卷中的一些數(shù)學(xué)客觀題，借助特殊值（綜合不同應(yīng)用場(chǎng)景，對(duì)特殊值有不同的類型變化）的選取，巧妙利用特殊值法，可以非常簡(jiǎn)捷地處理一些相關(guān)問(wèn)題，真正達(dá)到“小題小做”“小題巧做”“小題快做”的良好解題效益，備受師生喜歡與追求．

1" 特殊值處理

對(duì)于相關(guān)參數(shù)的每一個(gè)取值都是吻合題設(shè)條件的，而一些特殊取值經(jīng)常可以一次性取得問(wèn)題的突破與解決．在具體解題過(guò)程中，有時(shí)要多次選取特殊值來(lái)達(dá)到解題的目的．

例1" （2022—2023學(xué)年安徽省馬鞍山二十二中高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷）我們知道，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=a成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f（x+a）為偶函數(shù)．已知函數(shù)g（x）=x2－2x+aex－1+e－x+1，其中a∈R，則該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=．

分析" 根據(jù)題設(shè)條件，對(duì)于參數(shù)a的取值變化，對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸沒(méi)有發(fā)生改變，應(yīng)該是一個(gè)常值，可以借助特殊值法來(lái)處理.利用參數(shù)a的特殊取值a=0，簡(jiǎn)化相應(yīng)的函數(shù)解析式，使得問(wèn)題處理起來(lái)更加簡(jiǎn)捷方便，靈活巧妙．

解析" 依題所求的函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為一個(gè)常值，可借助特殊值法來(lái)處理，

取特殊值a=0，則有g(shù)（x）=x2－2x=（x－1）2－1，其對(duì)稱軸為x=1，

所以該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=1，故填答案：1．

點(diǎn)評(píng)" 特殊值的選取涉及參數(shù)值、函數(shù)值、變量等多種情況，通過(guò)特殊代替一般，選取特殊值來(lái)解決特定情況下的題目．借助一般情況與特殊情況之間的轉(zhuǎn)化，這種技巧常用于解決一些客觀題，簡(jiǎn)單快捷．

2" 特殊點(diǎn)處理

特殊點(diǎn)包括平面直角坐標(biāo)系中的特殊點(diǎn)圖象（與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等）、平面幾何圖形場(chǎng)景下運(yùn)動(dòng)中的特殊位置的點(diǎn)等，以特殊點(diǎn)來(lái)分析函數(shù)的圖象、動(dòng)點(diǎn)的變化規(guī)律等，為問(wèn)題的解決提供特殊條件．

例2" （2023年高考數(shù)學(xué)天津卷）函數(shù)f（x）的圖象如圖1所示，則f（x）的解析式可能為（" ）

圖1

（A）5（ex-e-x）x2+2""" （B）5sinxx2+1.

（C）5ex+e－xx2+2.（D）5cosxx2+1.

分析" 根據(jù)題設(shè)條件，由函數(shù)的圖象逆推滿足條件的函數(shù)可能的解析式，借助函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)以及函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況來(lái)判斷對(duì)應(yīng)的函數(shù)的正負(fù)取值情況，對(duì)各選項(xiàng)中的解析式加以排除，進(jìn)而可以快速得出結(jié)果．

解析" 依題中函數(shù)f（x）的圖象，取特殊點(diǎn)加以分析.

根據(jù)函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)可知f（0）gt;0，由此可以排除選項(xiàng)（A）（B）；

根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)可知f（2）lt;0（或f（－2）lt;0），由此可以排除選項(xiàng)（C）；

故選擇答案：（D）．

點(diǎn)評(píng)" 在一些與函數(shù)圖象等相關(guān)的問(wèn)題中，特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)著相應(yīng)的函數(shù)值或點(diǎn)的位置特征，因此借助函數(shù)值中的特殊點(diǎn)、圖形變形過(guò)程中的特殊點(diǎn)，對(duì)題目進(jìn)行綜合分析，能夠巧妙實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的快速解決．

3" 特殊角處理

三角函數(shù)關(guān)系式中一些相關(guān)角的特殊值問(wèn)題，也是特殊值中的一個(gè)特例，在解決一些三角函數(shù)求值與應(yīng)用問(wèn)題中經(jīng)常有其獨(dú)特的效果．

例3" （2023年南京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試卷）已知sin4αsin2β+cos4αcos2β=1，則sin4βsin2α+cos4βcos2α=．

分析" 根據(jù)題設(shè)條件，探尋滿足三角不定方程的條件，以特殊角的形式入手，從不同思維視角來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破與解決．

解析" 方法1" 依題sin4αsin2β+cos4αcos2β=1是一個(gè)不定方程，而所求結(jié)果又是一個(gè)定值，

取特殊角α=π4，

則有14sin2β+14cos2β=1，

整理有cos2β+sin2β=4sin2βcos2β=1，

此時(shí)β=π4滿足上式，

將α=β=π4代入，

可得sin4βsin2α+cos4βcos2α=1，故填答案：1．

方法2" 依題sin4αsin2β+cos4αcos2β=1是一個(gè)不定方程，

顯然當(dāng)α=β≠kπ2，k∈Z時(shí)，

條件中的方程sin4βsin2α+cos4βcos2α=sin4βsin2β+cos4βcos2β=sin2β+cos2β=1成立，

所以將α=β≠kπ2，k∈Z代入，

可得sin4βsin2α+cos4βcos2α=sin4βsin2β+cos4βcos2β=sin2β+cos2β=1，

故填答案：1．

點(diǎn)評(píng)" 本題分別從特殊角或兩角特殊關(guān)系入手加以分析，從而實(shí)現(xiàn)特殊思維應(yīng)用的目的．在此類三角函數(shù)的求值應(yīng)用中，根據(jù)“小題小做”的思維方式，在解答一些選擇題或填空題時(shí)，經(jīng)常可以借助特殊思維，利用特殊角法來(lái)巧妙處理．

4" 結(jié)語(yǔ)

巧妙借助特殊值法來(lái)快速解決一些相應(yīng)的數(shù)學(xué)客觀題，有其特殊的優(yōu)勢(shì)與美妙的體驗(yàn)，是數(shù)學(xué)“四基”扎實(shí)落實(shí)并抽象上升到一定程度的特殊“產(chǎn)物”，更是特殊和一般思維之間的巧妙轉(zhuǎn)化與升華．在實(shí)際解題中，借助特殊值法的應(yīng)用，可以在很大程度上優(yōu)化數(shù)學(xué)解題過(guò)程，提升數(shù)學(xué)解題效益，節(jié)省答題時(shí)間.

特殊值法破解數(shù)學(xué)客觀題，是追求簡(jiǎn)捷快速處理數(shù)學(xué)客觀題的一種基本思維方式和理想方法，也是“通性通法”的升華與提升，但也有其特殊性與缺陷性，不具備普遍性．