高中數(shù)學(xué)圓錐曲線課程思政主題教學(xué)設(shè)計(jì)研究

摘"要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作應(yīng)融入課程思政理念，將教學(xué)活動(dòng)與立德樹(shù)人目標(biāo)緊密融合，促使高中生具備良好的核心素養(yǎng).

在圓錐曲線知識(shí)探索過(guò)程中，應(yīng)借助豐富多樣的思政資源，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的系統(tǒng)學(xué)習(xí)能力.基于此，本文選取圓錐曲線教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行課程思政融合教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)與課程思政緊密融合，促使其形成良好的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì).

關(guān)鍵詞：課程思政維度；教學(xué)設(shè)計(jì)；圓錐曲線；高中數(shù)學(xué)

在高中數(shù)學(xué)圓錐曲線主題教學(xué)活動(dòng)中，教師結(jié)合高中生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況以及高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)目標(biāo)，總結(jié)出數(shù)學(xué)課程思政發(fā)展現(xiàn)狀以及課程思政融入原則、方式和策略，致力于在課程思政理念下幫助高中生形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)科思想.與此同時(shí)，為了提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，教師可以將課程思政運(yùn)用到圓錐曲線知識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐活動(dòng)，以此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技能，為學(xué)生的綜合性、系統(tǒng)性發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

1"構(gòu)建情境，設(shè)計(jì)問(wèn)題

在我國(guó)南方地區(qū)，有一座令人贊嘆的地標(biāo)性建筑，該建筑高聳入云，如同一個(gè)巨人，它高600多米，由鋼鐵和混凝土構(gòu)筑而成，其設(shè)計(jì)獨(dú)特，腰部纖細(xì)猶如模特般的身姿，是聞名中外的全球最高廣播電視觀光塔——廣州塔.這座具有地標(biāo)性的東方建筑是一個(gè)建筑奇跡，在建筑領(lǐng)域堪稱(chēng)經(jīng)典.人們親切地稱(chēng)廣州塔為小蠻腰.小蠻腰落成歷時(shí)三年，其外形特點(diǎn)與圓錐曲線息息相關(guān).下面我們就從這一視角，對(duì)圓錐曲線相關(guān)知識(shí)進(jìn)行探索學(xué)習(xí)，由此揭秘廣州塔的建筑奇跡.

課程思政設(shè)計(jì)：以我國(guó)現(xiàn)代偉大建筑——廣州塔為切入點(diǎn)引發(fā)學(xué)生愛(ài)國(guó)主義情懷，由此導(dǎo)入課程思政理念.在高中生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活情境中，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，讓學(xué)生在探索數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中，獲得強(qiáng)大自信和不竭動(dòng)力，為深入系統(tǒng)性學(xué)習(xí)圓錐曲線知識(shí)作好鋪墊.［1］

師生活動(dòng)：在平面內(nèi)，與兩個(gè)固定點(diǎn)的距離之和保持恒定（該恒定值大于兩點(diǎn)間距離）的所有點(diǎn)的軌跡構(gòu)成一個(gè)橢圓.

問(wèn)題1"在平面幾何中，如果平面上的兩個(gè)固定點(diǎn)A和B與某一動(dòng)點(diǎn)P的距離之和是一個(gè)常數(shù)，則滿(mǎn)足這一條件的點(diǎn)P軌跡是什么形狀？

師生活動(dòng)：假設(shè)A和B是直線l上的兩個(gè)固定點(diǎn)，P是直線l上任意一點(diǎn).

在平面內(nèi)，取定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，以點(diǎn)F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓.當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果

||PA|－|PB||＜|F1F2|＜|AB|，那么兩圓相交，其交點(diǎn)的軌跡是橢圓（如圖1）；如果

|F1F2|＞|AB|，兩圓不相交，不存在交點(diǎn)軌跡（如圖2）.

問(wèn)題2"當(dāng)兩圓的半徑之差大于AB長(zhǎng)度時(shí)，如果點(diǎn)P在線段AB之外移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)M應(yīng)遵循什么條件？?jī)蓚€(gè)圓之間的交點(diǎn)M軌跡會(huì)呈現(xiàn)什么形狀？

師生活動(dòng)：當(dāng)兩圓的半徑之差大于AB長(zhǎng)度時(shí)，若點(diǎn)P在線段AB之外移動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)M接近固定點(diǎn)F1時(shí)，｜MF2｜－|MF1|＝|AB|（如圖3）；當(dāng)點(diǎn)M靠近定點(diǎn)F2時(shí)，｜MF1｜－|MF2|＝|AB|（如圖4）.

課程思政設(shè)計(jì)：教師將課程思政理念融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，能夠幫助學(xué)生在進(jìn)行知識(shí)探索的同時(shí)，培養(yǎng)其文化意識(shí)，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)科思想，為學(xué)生綜合性發(fā)展提供助力.

2"類(lèi)比歸納，建構(gòu)概念

問(wèn)題1"如何使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述雙曲線？

雙曲線定義：平面幾何中，若一系列點(diǎn)到兩特定不動(dòng)點(diǎn)F1和F2的距離差的絕對(duì)值恒等于某個(gè)非零的固定值，則這些點(diǎn)組成的路徑被定義為雙曲線.特定的不動(dòng)點(diǎn)稱(chēng)作雙曲線的焦點(diǎn)，它們二者的間隔為雙曲線的焦距.

問(wèn)題2"不計(jì)算距離差的絕對(duì)值會(huì)對(duì)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)行路徑造成怎樣的影響？

師生互動(dòng)：在實(shí)際操作的過(guò)程中，觀察到動(dòng)點(diǎn)的路徑無(wú)法形成一個(gè)完整的雙曲線（如圖5、圖6）.

追問(wèn)1"若在一個(gè)平面上，某點(diǎn)與兩個(gè)固定位置之間的距離差的絕對(duì)值恒等于一個(gè)非零的定數(shù)，那么這個(gè)點(diǎn)的移動(dòng)路徑將形成怎樣的圖形？

教學(xué)互動(dòng)：依據(jù)雙曲線的概念，若空間中某點(diǎn)到兩個(gè)特定點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值恒等于一定的非零常數(shù)時(shí)，該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)雙曲線（如圖7）.

追問(wèn)2"若一個(gè)點(diǎn)在二維空間中，該點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于定值（大于|F1F2|），那么此點(diǎn)移動(dòng)的路徑呈現(xiàn)何種圖形？

師生活動(dòng)：在這種情況下，由于所求的距離差的絕對(duì)值超過(guò)了焦點(diǎn)之間的距離，意味著不存在任何點(diǎn)能夠同時(shí)滿(mǎn)足到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于給定的常數(shù).

問(wèn)題3"若一個(gè)點(diǎn)在平面上到其他兩個(gè)定點(diǎn)的距離差恒定為零，那么該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑將形成何種圖形？

師生活動(dòng)：當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到兩個(gè)點(diǎn)的距離之差為零時(shí)，意味著該點(diǎn)到這兩個(gè)點(diǎn)的距離相等.在這種情況下，該點(diǎn)的軌跡是一條垂直平分這兩個(gè)點(diǎn)連線的直線.這條直線將兩個(gè)點(diǎn)等距分開(kāi)，即為這兩個(gè)點(diǎn)的垂直平分線（如圖8）.

師生活動(dòng)：由教師進(jìn)行總結(jié)，利用數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動(dòng)，能夠增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解能力，并深入研究和分析數(shù)學(xué)概念定義.對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行精準(zhǔn)把握與系統(tǒng)分析，能夠提高學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的解讀能力，并由此找到問(wèn)題的答案，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果.［2］與此同時(shí)，在這一教學(xué)活動(dòng)中，教師能夠幫助學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，培養(yǎng)高中生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維.

課程思政設(shè)計(jì)：以信息技術(shù)為主要教學(xué)形式，幫助學(xué)生進(jìn)行課程思政導(dǎo)入，使學(xué)生在直觀形象的課程學(xué)習(xí)中探索雙曲線概念知識(shí)，從而強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的解讀技能，為學(xué)生綜合性發(fā)展開(kāi)辟全新路徑.

3"建系推導(dǎo)，構(gòu)建方程

問(wèn)題1"如何根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？

師生活動(dòng)：在之前的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生能夠利用坐標(biāo)法研究數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題，能夠建構(gòu)數(shù)學(xué)幾何思想，為本節(jié)課學(xué)習(xí)作好鋪墊.在教學(xué)過(guò)程中，教師可以組織學(xué)生利用x，y表示曲線中點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法分析問(wèn)題，從而探索坐標(biāo)中的數(shù)學(xué)關(guān)系.學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)曲線方程解題思想，并由此得出方程f（x，y）＝0是建立曲線方程的關(guān)鍵.

追問(wèn)1"如何基于給定的數(shù)學(xué)條件建構(gòu)平面直角坐標(biāo)系？

師生活動(dòng)：可以設(shè)該坐標(biāo)系的x軸與兩個(gè)焦點(diǎn)所在直線重合，y軸是這兩點(diǎn)連線的垂直平分線，構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系（如圖9）.

如果M（x，y）是雙曲線上任意一點(diǎn)，且雙曲線的焦距為2c（c＞0），則其焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0）.

追問(wèn)2"雙曲線上的點(diǎn)需要滿(mǎn)足什么樣的條件？

師生活動(dòng)：為了更精確地描述雙曲線上所有點(diǎn)的特性，可以用集合形式表達(dá)定義.

P＝{M|||MF1｜－｜MF2｜｜＝2a，0＜2a＜｜F1F2｜}.

追問(wèn)3"如何用坐標(biāo)表示上述集合中的等式？

師生活動(dòng)：由于｜MF1｜＝（x＋c）2＋y2，｜MF2｜＝（x＋c）2＋y2，得

|（x＋c）2＋y2－（x＋c）2＋y2|＝2a.

①

追問(wèn)4"怎樣簡(jiǎn)化上述方程？

師生活動(dòng)：將絕對(duì)值消除，方程轉(zhuǎn)化為

（x＋c）2＋y2－（x＋c）2＋y2＝±2a.

②

根據(jù)對(duì)圓標(biāo)準(zhǔn)方程化簡(jiǎn)過(guò)程的分析，可以將②式移項(xiàng)，隨后左右平方，得

（（x＋c）2＋y2）2＝（（x＋c）2＋y2±2a）2.

③

進(jìn)一步化簡(jiǎn)，得

（c2－a2）x2－a2y2＝a2（c2－a2）.

④

方程兩邊同時(shí)除以a2（c2－a2），得

x2a2－y2c2－a2＝1.

⑤

基于對(duì)雙曲線的定義分析，可以得知2c＞2a，c＞a，則c2－a2＞0.

類(lèi)比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過(guò)程，令b2＝c2－a2，其中b＞0，代入上式，得

x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）.

⑥

基于思考探究過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)任何位于雙曲線上的一點(diǎn)都是方程⑥的解.因此，我們可以說(shuō)方程⑥定義了雙曲線，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)位于x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（－c，0）和（c，0）時(shí)，方程⑥便構(gòu)成了該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）.

課程思政設(shè)計(jì)：將培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)設(shè)為教學(xué)目標(biāo)，導(dǎo)入課程思政理念，通過(guò)對(duì)雙曲線方程軌跡的探索，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握.在培養(yǎng)學(xué)生探索精神的過(guò)程中，借助坐標(biāo)法探索數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠培養(yǎng)學(xué)生吃苦耐勞、勇于奮斗的精神品質(zhì)，使其在解答高中數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中具備綜合性能力.［3］

4"多向分析，突破難點(diǎn)

問(wèn)題1"如何表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？

師生活動(dòng)：參照橢圓構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系的方法，得出焦點(diǎn)位于y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）.

⑦

b2＝c2－a2表明該方程是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

追問(wèn)1"對(duì)比焦點(diǎn)位于x軸上的雙曲線方程x2a2－y2b2＝1和焦點(diǎn)位于y軸上的雙曲線方程y2a2－x2b2＝1，有什么發(fā)現(xiàn)？

師生活動(dòng)：當(dāng)x項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)位于x軸上；當(dāng)y項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)位于y軸上.

追問(wèn)2"雙曲線中的a是否總大于b？如何進(jìn)行判斷？

師生活動(dòng)：在雙曲線中，a不一定大于b.

課程思政設(shè)計(jì)：在研究圓錐曲線這一知識(shí)點(diǎn)時(shí)，滲透數(shù)學(xué)審美思維，能夠幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生在濃厚的課程思政氛圍下培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣，從而提高數(shù)學(xué)解題能力.同時(shí)，教師站在審美視角，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)環(huán)境，強(qiáng)化學(xué)生的類(lèi)比思想、化歸思想.將未知知識(shí)抽象為已知問(wèn)題，由此提高學(xué)生對(duì)圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用技能.

5"應(yīng)用探究，內(nèi)化遷移

練習(xí)1"雙曲線中的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（－4，0），F(xiàn)2（4，0），已知點(diǎn)P與F1和F2距離差的絕對(duì)值等于4，如何確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？

解析：由于雙曲線的焦點(diǎn)在x軸，可以列式為2c＝8，2a＝4，得c＝4，a＝2.

因此，b2＝c2－a2＝42－22＝12.

經(jīng)過(guò)計(jì)算可以得知，其標(biāo)準(zhǔn)方程是x24－y212＝1.

練習(xí)"已知A，B距離為800m，演習(xí)人員在A地聽(tīng)見(jiàn)炮聲，比在B地聽(tīng)見(jiàn)炮聲晚兩秒鐘，則炮彈在爆炸點(diǎn)落下的軌跡方程是？

解析：如圖10所示，根據(jù)聲速為340m/s，結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A和點(diǎn)B位于x軸，點(diǎn)O位于線段AB的中點(diǎn).

設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則｜PA｜－｜PB｜＝340×2＝680，即2a＝680，a＝340.

又｜AB｜＝800，所以2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44400.

因?yàn)椋黀A｜－｜PB｜＝680＞0，

則點(diǎn)P軌跡是雙曲線的右支，即x≥340.

炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為x2115600－y244400＝1（x≥340）.

課程思政設(shè)計(jì)：以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)的教學(xué)活動(dòng)，能夠幫助學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際的緊密聯(lián)系，由此增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

6"總結(jié)點(diǎn)撥，提煉升華

教師可以從以下兩個(gè)方面幫助學(xué)生進(jìn)行本節(jié)課的知識(shí)梳理，由此提高學(xué)生知識(shí)總結(jié)能力，為后續(xù)開(kāi)展深入學(xué)習(xí)作好鋪墊.

（1）通過(guò)本節(jié)課程學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

師生活動(dòng)：由教師組織學(xué)生進(jìn)行知識(shí)總結(jié)，并以圖表的形式呈現(xiàn)出來(lái)（見(jiàn)表1）.

（2）針對(duì)本節(jié)課中所學(xué)的雙曲線知識(shí)，如何深入探究其數(shù)學(xué)概念，推導(dǎo)其標(biāo)準(zhǔn)方程？

師生活動(dòng)：在學(xué)習(xí)過(guò)程中，加強(qiáng)新舊知識(shí)對(duì)比，運(yùn)用類(lèi)比思想，探究本節(jié)課程知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生能夠通過(guò)認(rèn)知學(xué)習(xí)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，由此體現(xiàn)課程思政的有效育人作用.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)提問(wèn)方式，引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)和應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)興趣和強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)情感.

課程思政設(shè)計(jì)：利用數(shù)學(xué)文化為切入點(diǎn)進(jìn)行課程思政導(dǎo)入，幫助學(xué)生進(jìn)行作業(yè)分層探索，提高學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)技能，為學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思想奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

7"結(jié)語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入課程思政，對(duì)于提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技能具有現(xiàn)實(shí)意義.課程思政教學(xué)，能夠體現(xiàn)學(xué)生的大局觀念，讓學(xué)生在感知學(xué)科知識(shí)的過(guò)程中發(fā)展數(shù)學(xué)綜合能力.與此同時(shí)，素材選擇、內(nèi)容優(yōu)化、過(guò)程創(chuàng)新等實(shí)踐學(xué)習(xí)體驗(yàn)，能夠增強(qiáng)高中生的數(shù)學(xué)思維能力，逐步強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)綜合技能，致力于提高學(xué)生課程學(xué)習(xí)體驗(yàn)感.

參考文獻(xiàn)

［1］時(shí)輝.“單元整體教學(xué)”理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)——以“圓錐曲線的方程”為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2024（15）：48－50.

［2］孔德權(quán).基于UbD理論和問(wèn)題鏈思想優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)單元設(shè)計(jì)——以“圓錐曲線”單元為例［J］.數(shù)理天地（高中版），2024（3）：76－78.

［3］黃振東，馮茹.基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的高中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)——以“圓錐曲線”單元為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2023（2）：32－34.