指向核心素養(yǎng)的高一數(shù)學(xué)作業(yè)優(yōu)化設(shè)計(jì)

摘要：優(yōu)秀的作業(yè)對(duì)于學(xué)生核心素養(yǎng)的提升有很大的幫助，如何以發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)、立足學(xué)生已有的認(rèn)知水平優(yōu)化作業(yè)設(shè)計(jì)是目前一線數(shù)學(xué)教師面臨的一個(gè)挑戰(zhàn).本文中以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出的六大核心素養(yǎng)為航向標(biāo)，以2019年人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)中“指數(shù)函數(shù)”一節(jié)為例進(jìn)行作業(yè)優(yōu)化設(shè)計(jì).

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；高中數(shù)學(xué);作業(yè)優(yōu)化設(shè)計(jì);指數(shù)函數(shù)

項(xiàng)目信息：合肥師范學(xué)院研究生創(chuàng)新基金項(xiàng)目“核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的高中數(shù)學(xué)立體幾何單元整體教學(xué)構(gòu)

建”，項(xiàng)目編號(hào)為2024yjs060.

1 研究背景

2021年7月，《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》（以下簡(jiǎn)稱“雙減”）的出臺(tái)，旨在通過優(yōu)化學(xué)校教育教學(xué)，優(yōu)化教育教學(xué)方式，以求提升校內(nèi)教學(xué)質(zhì)量，減輕學(xué)生及家長(zhǎng)的負(fù)擔(dān)，著力推動(dòng)基礎(chǔ)教育健康協(xié)調(diào)發(fā)展.同時(shí)，“雙減”政策還要求提升作業(yè)質(zhì)量，提出教師要研究作業(yè)，改變機(jī)械作業(yè)以及無(wú)意義作業(yè)［1］.2024年3月7日，全國(guó)政協(xié)委員、鄭州輕工業(yè)大學(xué)校長(zhǎng)魏世忠提出要“協(xié)同推動(dòng)（雙減）政策落地落實(shí)”，再次提出要提升作業(yè)的質(zhì)而不是追量［2］.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，能夠培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包含：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.下面以2019年人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)中“指數(shù)函數(shù)”一節(jié)為例，設(shè)計(jì)指向核心素養(yǎng)的作業(yè)練習(xí)題.

2 研究意義

作業(yè)是落實(shí)“立德樹人”的一塊陣地，一道有價(jià)值的練習(xí)題可以使得學(xué)習(xí)事半功倍.從理論方面來(lái)看，通過對(duì)作業(yè)的優(yōu)化，將相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行遷移和整合，以不同層次的題目展現(xiàn)出來(lái)［3］.從數(shù)學(xué)教育心理學(xué)角度來(lái)看，通過對(duì)作業(yè)的優(yōu)化，可以幫助學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).從實(shí)踐方面來(lái)看，通過對(duì)作業(yè)的優(yōu)化，“增效不增量”，使得學(xué)生學(xué)習(xí)事半功倍.首先，通過作業(yè)的優(yōu)化，學(xué)生除鞏固本堂知識(shí)外，還能夠進(jìn)行遷移甚至創(chuàng)新，提高遷移能力和創(chuàng)新精神，提升核心素養(yǎng)；其次，通過作業(yè)的優(yōu)化，可以減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，減少重復(fù)性、機(jī)械性的作業(yè)，進(jìn)一步推進(jìn)“雙減”政策的落地.

3 指向核心素養(yǎng)的作業(yè)優(yōu)化原則

3.1 育人性原則

課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)承載著“立德樹人”的主要任務(wù)，所以，作業(yè)的安排、題目的設(shè)計(jì)都要為學(xué)生的發(fā)展而服務(wù)，為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)服務(wù).因此，育人性是作業(yè)設(shè)計(jì)優(yōu)化的主要原則.

3.2 層次性原則

作業(yè)有著鞏固基礎(chǔ)、遷移創(chuàng)新、提升素養(yǎng)等作用，所以層次性對(duì)于作業(yè)的優(yōu)化也是很重要的.作業(yè)的層次性不僅僅體現(xiàn)在難度上，更體現(xiàn)在基礎(chǔ)-遷移-創(chuàng)新等不同思維層次上.

3.3 整合性原則

“雙減”政策下，提倡“增效不增量”，因此，作業(yè)的題目要將知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，設(shè)計(jì)適合學(xué)生發(fā)展的有效作業(yè)，題目在精不在多［4］.一道有價(jià)值的題目，對(duì)學(xué)生知識(shí)的學(xué)習(xí)、能力的提高、素養(yǎng)的完善等各個(gè)方面起著不可或缺的作用.

4 指向核心素養(yǎng)的作業(yè)優(yōu)化策略

4.1 以課標(biāo)為“帆”，立足課本，扎實(shí)基礎(chǔ)

課程標(biāo)準(zhǔn)是教學(xué)的指南.首先，我們應(yīng)該對(duì)課標(biāo)進(jìn)行挖掘，找到方向.然后再走進(jìn)課本，研究每個(gè)例題、練習(xí)題設(shè)計(jì)的意義所在［5］.這樣才能把握住學(xué)習(xí)的目標(biāo).例如，對(duì)于“指數(shù)函數(shù)”，課標(biāo)中指出“要理解指數(shù)函數(shù)的概念，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)”，提出“指數(shù)函數(shù)的教學(xué)，要關(guān)注運(yùn)算法則和變化規(guī)律”“借助有關(guān)增長(zhǎng)率的實(shí)際問題理解指數(shù)函數(shù)模型”等.教材中的例題都突出了以上幾點(diǎn).此外，教材中的例題與練習(xí)題有著獨(dú)有的意義，如：“衰減率”例題的設(shè)計(jì)，是為了以具體實(shí)例幫助學(xué)生理解指數(shù)函數(shù)模型；練習(xí)題中的比較大小問題，是對(duì)指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的鞏固，以及為不等式問題學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

4.2 以核心素養(yǎng)為“魂”，遷移整合，提升素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，能夠培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包含：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.在設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，對(duì)知識(shí)進(jìn)行遷移和有機(jī)整合，培養(yǎng)學(xué)生遷移能力，設(shè)計(jì)出指向核心素養(yǎng)的有效性練習(xí)題［6］.

4.3 以創(chuàng)新為“舵”，多元表征，培養(yǎng)思維

對(duì)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期奮斗的目標(biāo)，數(shù)學(xué)語(yǔ)言有文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言，在設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)應(yīng)該考慮到這一點(diǎn)，學(xué)生對(duì)題目的多元表征正是對(duì)題目理解程度的反映.所以，在設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)，也要融入數(shù)形結(jié)合、同構(gòu)思想等題型，以便學(xué)生能夠用文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言及符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行多元表征.例如，在有關(guān)線面平行的的作業(yè)中，可以設(shè)計(jì)一些實(shí)際場(chǎng)景，讓學(xué)生感受生活中的點(diǎn)線面，再通過畫圖來(lái)表達(dá)，最后用符號(hào)語(yǔ)言描述出來(lái).再如，在函數(shù)的概念學(xué)習(xí)中，通過解析式、圖象和表格三種方式表達(dá)函數(shù).通過多元表征，有助于打開學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，更好地促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升.

5 指向核心素養(yǎng)的“指數(shù)函數(shù)”課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

5.1 “指數(shù)函數(shù)”課時(shí)作業(yè)

（1）若函數(shù)y=（m2－6m+6）（2m－1）x+（3n+1）是指數(shù)函數(shù)，求函數(shù)g（t）=13mt2+1nt－1120的定義域和值域.

（2）設(shè)a為函數(shù)y=9t2－6t+1的零點(diǎn)，求函數(shù)f（x）=a4x+2×13ax+3的值域.

（3）設(shè)a為函數(shù)y=9t2－6t+1的零點(diǎn)，求函數(shù)f（x）=a－2x2+3x－5的單調(diào)區(qū)間.

（4）已知集合A=y|y=132x－31－x+2，集合B=x|y=1－2x，求A∩B.

（5）設(shè)函數(shù)f（x）=ex2，g（x）=1e2x2，若對(duì)于任意x∈R，不等式f2（x）－2k≥-g（x）－2恒成立，求k的取值范圍.

（6）已知集合A=x|ex－x2e≤0，集合B=x|xlt;0，求A∩B.

（7）解不等式ex+1－ee+xgt;e－1.

5.2 “指數(shù)函數(shù)”課時(shí)作業(yè)解析

（1）由函數(shù)y=（m2－6m+6）（2m－1）x+（3n+1）是指數(shù)函數(shù)，可得m2－6m+6=1，解得m1=1或m2=5.又2m－1gt;0且2m－1≠1，所以m=5.由3n+1=0，得n=－13.所以可得g（t）=135t2－3t－1120.故函數(shù)g（t）的定義域?yàn)镽.

因?yàn)?t2－3t－1120≥－1且y=13x是減函數(shù)，所以0lt;g（t）≤3，即函數(shù)g（t）的值域?yàn)椋?，3］.

（2）由9a2－6a+1=0，得a=13，所以函數(shù)f（x）=134x+2×13×13x+3，即f（x）=134x+2×19x+3=192x+2×19x+3，其定義域?yàn)镽.令m=19x，則mgt;0，可求得函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，+∞）.

（3）由9a2－6a+1=0，解得a=13，所以函數(shù)f（x）=13－2x2+3x－5，其定義域?yàn)镽.令t=－2x2+3x－5，則函數(shù)t=－2x2+3x－5的增區(qū)間為－∞，34，減區(qū)間為34，+∞，故函數(shù)f（x）=13－2x2+3x－5的減區(qū)間為－∞，34，增區(qū)間為34，+∞.

（4）y=132x－31－x+2可以改寫成y=13x2－3×13x+2，設(shè)t=13x，則tgt;0.因?yàn)楹瘮?shù)y=t2－3t+2圖象的對(duì)稱軸為t=32，所以當(dāng)tgt;0時(shí)，y≥－14，即A=yy≥－14.由1－2x≥0，解得x≤0，即B=x|x≤0.因此A∩B=x－14≤x≤0.

（5）方法一：因?yàn)椴坏仁絝2（x）－2k≥-g（x）－2恒成立，要求k的取值范圍，將式子變?yōu)?k－2≤f2（x）+g（x）恒成立.設(shè)函數(shù)h（x）=f2（x）+g（x），則2k－2≤h（x）min.將h（x）=（ex2）2+1e2x2變形為h（x）=e2x2+1e2x2.因?yàn)閔（x）=e2x2+1e2x2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)e2x2=1e2x2，即x=0時(shí)等號(hào)成立，所以2k－2≤2，即k≤2.

所以k的取值范圍為（-∞，2］.

方法二：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ex2，g（x）=1e2x2，所以g（x）=1f2（x）.由不等式f2（x）－2k≥-g（x）－2恒成立，可知不等式f2（x）－2k≥-1f2（x）－2，也即2k－2≤1f2（x）+f2（x）恒成立.因?yàn)?f2（x）+f2（x）≥2，當(dāng)且僅當(dāng)f2（x）=1f2（x），即x=0時(shí)等號(hào)成立，所以2k－2≤2，即k≤2.所以k的取值范圍為（-∞，2］.

（6）要求A∩B，即當(dāng)xlt;0時(shí)，解不等式ex－x2e≤0，將其變形為ex+1≤x2，利用交軌法可知x≤－1.故A∩B={x|x≤－1}.

（7）不等式ex+1－ee+xgt;e－1可變形為ex+1+x+1gt;ee+e.設(shè)函數(shù)f（x）=ex+x，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ex+x在R上單調(diào)遞增，又ex+1+x+1gt;ee+e，則f（x+1）gt;f（e），所以x+1gt;e，即xgt;e－1.所以x的取值范圍為（e-1，+∞）.

5.3 “指數(shù)函數(shù)”課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)意圖

（1）立足基礎(chǔ)

作業(yè)設(shè)計(jì)首先要立足基礎(chǔ)知識(shí).指數(shù)函數(shù)中，概念、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及其應(yīng)用，都是需要夯實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí).因此，在作業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)要抓住知識(shí)根基.在本課時(shí)練習(xí)題中，對(duì)指數(shù)函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)都有考查，能夠幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ).

（2）重視遷移

從教育心理學(xué)的角度來(lái)看，遷移能力的提升，能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立，進(jìn)而提升學(xué)習(xí)效果.在設(shè)計(jì)課時(shí)作業(yè)時(shí)，重視將指數(shù)函數(shù)與其他所學(xué)的知識(shí)、思想方法等建立聯(lián)系，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，進(jìn)而幫助學(xué)生完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).在本課時(shí)作業(yè)中，設(shè)計(jì)了指數(shù)函數(shù)與集合、不等式、一元二次函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合的題目，同時(shí)也融入了同構(gòu)思想、換元思想、交軌法等思想方法.通過練習(xí)題的設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)遷移能力.

（3）指向素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是本課時(shí)作業(yè)的“魂”，課時(shí)作業(yè)的設(shè)計(jì)要以立德樹人、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo).在本課時(shí)作業(yè)中，第（1）題指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理；第（2）（3）（4）題指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之邏輯推理和數(shù)據(jù)分析；第（5）（6）（7）題指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)抽象.各題間有機(jī)結(jié)合，從不同層次、不同方面，多角度地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

6 結(jié)語(yǔ)

筆者認(rèn)為，“雙減”背景下，指向核心素養(yǎng)的作業(yè)應(yīng)該是以立德樹人為首要目標(biāo)，以核心素養(yǎng)為“魂”，富有育人性、層次性、整合性，是能夠培養(yǎng)學(xué)生遷移能力和創(chuàng)新思維能力的練習(xí)題.

本文中以“指數(shù)函數(shù)”為例，通過七道課時(shí)作業(yè)題的設(shè)計(jì)，一方面減少了題量，另一方面對(duì)指數(shù)函數(shù)相關(guān)知識(shí)的涵蓋面廣，有探究?jī)r(jià)值，符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).基于學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了一份基于“雙減”政策、指向核心素養(yǎng)的作業(yè)，通過對(duì)作業(yè)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，我們不難發(fā)現(xiàn)，作業(yè)也是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的一塊重要領(lǐng)地.所以，教師要對(duì)作業(yè)題目進(jìn)行優(yōu)化，這樣才能夠更好地培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，才能更進(jìn)一步推進(jìn)“雙減”政策的落地.

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