亂花漸欲迷人眼，合理消參看本質

摘要：涉及多變量（三個及以上）代數式的最值（或取值范圍）問題，是在雙變量基礎上的深入與拓展，知識水平與思維能力方面的要求更高.結合一道四變量代數式最值題的探究，合理進行消參轉化，透視問題本質，合理歸納總結，巧妙變式拓展，引領并指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：變量；代數式；最值；消參；基本不等式

含有多變量（這里指三個及其以上數目的變量）的代數式最值（或取值范圍）問題，是不等式模塊中比較特殊的一類復雜題型，是在雙變量問題上的深入與拓展，也是高考命題的熱點題型之一.此類綜合應用問題交匯融合度高，涉及變量眾多，條件復雜多變，導致學生往往無從下手，給問題的分析與解決帶來比較大的困難.解題的關鍵在于立足多變量，合理進行消元處理，優化變量個數，巧妙轉化與應用，實現問題的突破與求解.本文中結合一道四變量代數式最值題的探究，合理進行消參轉化，透視問題本質，巧妙變式拓展.

1 問題呈現

問題" （2025屆廣東省六校高三上學期10月聯考數學試卷·14）設實數a，b，c，d滿足a≥b≥dgt;0及a+b－3c－3d≤0，則bd+acab的最小值為.

此題以四個變量所滿足的兩個復雜的不等條件為問題場景，進而以分式的形式求解四元代數式的最小值.問題中變量太多，不等條件又比較復雜，因而難倒了一大批學生.

解決此類多變量問題時，通用的方法就是目標導向，逐一消元處理.解題時，往往要通過題設條件中復雜的不等條件，利用目標導向，通過不等號的方向加以合理放縮處理，逐一消元，至少要消掉兩個變量，從而優化變量，給問題的求解創造條件.

2 問題破解

對于本題，筆者發現有學生采用了如下方法解答：

依題，由a+b－3c－3d≤0，可知3c≥a+b－3d.

結合bgt;0，可得

bd+acab=da+cb=da+3c3b≥da+a+b－3d3b=da+a3b－db+13.

而da+a3b-db+13的

前兩項中含有參數a，且分別位于分母與分子的位置，利用基本不等式，可得da+a3b－db≥2da×a3b－db=2d3b－db.

令t=d3b，結合b≥dgt;0

，可知0lt;t≤33.

令函數f（t）=2t－3t2，0lt;t≤33.

由f（t）=－3t2+2t=－3t－132+13，結合二次函數的圖象與性質，可以發現函數f（t）有最大值13，但取不到f（0），而f33=233－1.

所以bd+acab≥da+a3b－db+13≥2d3b－db+13≥233－1+13=233－23，即bd+acab的最小值為233－23.

故填答案：233－23.

以上解答在放縮過程中，學生發現函數f（t）取不到f（0），而f33可以取得，于是猜想t=33可能就是題中要求函數最小值時的變量取值.這樣操作的結果答案是正確的，但過程并不嚴謹，需要加以更加科學嚴謹的推理與論證.因而該解題方法必須進一步加以優化，通過其他方式的消元來達到目的.

方法1：消掉c，b.

由a+b－3c－3d≤0，可知3c≥a+b－3d.

結合dgt;0，可得

bd+acab=da+cb=da+3c3b≥da+a+b－3d3b=da+a3b－db+13.

對于da+a3b－db=da+a－3d3b，由于a－3d的符號未知，不好放縮變量b，而要求代數式的最小值，則a－3d的符號必定為負，于是令a－3dlt;0，則

da+a－3d3b≥da+a－3d3d=da+a3d－1≥2da×a3d－1=233－1.

所以bd+acab≥da+a－3d3b+13≥da+a－3d3d+13≥233－1+13=233－23，當且僅當a=3d，b=d，a+b=3（c+d），即c=3－23d時，等號成立.

故bd+acab的最小值為233－23.

故填答案：233－23.

方法2：消掉c，d.

由a+b－3c－3d≤0，可知3c≥a+b－3d.

結合bgt;0，可得

bd+acab=da+cb=da+3c3b≥da+a+b－3d3b=da+a3b－db+13.

結合a≥b≥dgt;0，可得

da+a3b－db=a3b+1a－1bd≥a3b+1a－1bb=a3b+ba－1≥2a3b×ba－1=233－1.

所以bd+acab≥da+a3b－db+13≥a3b+ba－1+13≥233－1+13=233－23，當且僅當a=3b，b=d，a+b=3（c+d），即c=3－23d時，等號成立.

故bd+acab的最小值為233－23.

故填答案：233－23.

點評：以上兩種方法中，在消掉參數c的基礎上，通過代數式的恒等變形與轉化，結合參數之間的大小關系，利用不等式的基本性質，再通過消掉參數b或參數d來消元處理，綜合不等式的基本性質與基本不等式的放縮應用，可以有效確定對應代數式的最值，推理更加合理，運算更加巧妙，從而實現問題的突破與求解.

3 變式拓展

3.1 簡化變式

變式1" （2024年天域全國名校聯盟高考數學第一次適應性試卷）已知實數a，b，c滿足a+b－2c=2（b－a）（c－a）－2，則|3a－b－2c|的最小值為（" ）.

A.0

B.1

C.2

D.3

3.2 深入變式

變式2" （2022年北京市清華大學強基計劃數學試卷）已知實數a，b，c，d，e滿足a2+b2+c2+d2+e2=1，則|a－b|+|b－c|+|c－d|+|d－e|+|e－a|的最大值為（" ）.

A.2

B.3

C.4

D.25

3.3 創新變式

變式3" 已知a，b，c是非負實數，且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，min{a，b，c，d，……}為集合{a，b，c，d，……}中的最小元素，則min{ab，bc，ca}的最大值為.

4 教學啟示

其實，對于涉及多變量（這里指三個及其以上數目的變量）代數式的最值（或取值范圍）問題，其基本解題思維是把多變量逐一減少，或轉換成雙變量進行處理，或進一步轉換成單變量處理.

在解決此類多變量代數式的綜合應用問題時，往往借助函數與方程、不等式的基本性質等來分析與處理關于這個雙變量或單變量的函數或方程、不等式問題，利用相應的知識來分析與求解.

在具體解題過程中，要結合相關代數式的結構特征，合理選用比較合適的應對策略，可以在一定程度上優化多變量最值問題的解決，把握常規技巧方法，合理嘗試與調整，探尋解決問題的方向，形成完善的認知結構，有效提高數學思維的靈活性與創新性，形成并發展數學核心素養.