例析三角函數最值問題的常見解法及解題技巧

三角函數的最值問題是高中數學中的重要內容.在解決這類問題時，有多種有效的方法可供選擇.掌握這些方法不僅有助于準確求解三角函數的最值，還能加深對三角函數性質以及相關數學概念之間聯系的理解.求解三角函數最值問題的方法有很多，包括基于函數圖象、輔助角公式、單調性分析、參數變換和巧用三角函數等方法，在實際解題過程中，應根據具體問題的特點選擇合適的方法，靈活運用各種技巧，以提高解題的準確性和效率.同時，通過對三角函數最值問題的深入研究，也有助于學生更好地理解三角函數的性質，提高數學思維能力和解決實際問題的能力.

1 基于函數圖象的解法

基于函數圖象的解法，需明確三角函數圖象的特點，即周期性、對稱性和振幅恒定.正弦函數y=sin x和余弦函數y=cos x的圖象均為波形曲線，周期為2π，振幅為1.正切函數y=tan x圖象為無界曲線，周期為π.正弦和余弦函數在每個周期內均有唯一的極大值和極小值點，分別在y=1和y=-1處.正切函數在每個周期內無最大最小值，但其圖象切線的斜率變化顯著.

對于形如y=Asin（ωx+φ）+B或形如y=Acos（ωx+φ）+B的函數，可以利用三角函數的圖象判斷它們的最值.對y=sin x，y=cos x，在每個周期內，波峰和波谷的位置固定，極大值為1，極小值為-1.通過函數圖象，可以直觀地看到這些極值點的位置.對于正切函數，雖然沒有固定的極值點，但可以通過觀察切線斜率的變化和漸近線的位置來判斷函數值的極限.

例1" （2024＼5天津高考卷＼57）已知函數f（x）=sin 3ωx+π3（ωgt;0）的最小正周期為π.求函數f（x）在－π12，π6的最小值.

思路分析：先由誘導公式化簡，結合周期公式求出ω，得f（x）=-sin 2x；再整體求出x∈－π12，π6時2x的范圍，結合正弦型函數圖象的特征即可求解.

解析：f（x）=sin 3ωx+π3=sin（3ωx+π）=-sin 3ωx，由T=2π3ω=π，得ω=23，則f（x）=-sin 2x.由x∈－π12，π6，得2x∈－π6，π3.畫出y=-sin 2x的圖象，

圖1

如圖1所示，可知f（x）在－π12，π6上單調遞減，所以當x=π6時，f（x）min=-sinπ3=-32.

通過結合函數圖象并觀察其特征，可以直觀地判斷函數的最大值和最小值.

2 運用輔助角公式求最值

運用輔助角公式求解三角函數的最值問題具有簡潔明了的特點.通過輔助角公式，可將復雜的三角函數式子化為較為簡單的形式，從而便于分析和求解.輔助角公式的核心在于將形如y=asin" ωx+bcos ωx的表達式簡化為y=Rsin（ωx+φ）的形式，其中R=a2+b2且tan φ=ba;也可以化為y=a2+b2＼5cos（ωx-φ）形式，其中tan φ=ab.這種化簡方式不僅能快速求得函數的最值，還能直觀地理解三角函數的變化規律.

例2" （2024＼5全國甲卷＼5文13）函數f（x）=sin x-3cos x在［0，π］上的最大值是.

思路分析：先通過輔助角公式確定R和φ，最后求出函數最值.

解析：首先確定參數R，R=a2+b2=1+3=2.再確定角度φ，由tan φ=ba=-3，得φ=－π3.將原函數化簡為f（x）=sin x一3cos x=2sinx－π3，當x∈［0，π］時，x－π3∈－π3，2π3.故當x－π3=π2，即x=5π6時，f（x）max=2.

綜上，通過輔助角公式的推導和化簡過程，能夠清晰直觀地求解三角函數的最值問題，步驟簡明、邏輯清晰，適合高中生規范解題.

3 單調性分析法

三角函數的單調性是求解最值問題的重要工具.正弦函數y=sin x在［-π，π］一個周期內，在-π2，π2上單調遞增，在π2，π和－π，－π2上單調遞減；余弦函數y=cos x在［-π，π］一個周期內，在［0，π］上單調遞減，在［-π，0］上單調遞增；正切函數y=tan x在－π2，π2一個周期內單調遞增.這些單調性特征為最值的求解提供了有力的依據.

例3" （2024＼5北京卷＼512）已知α∈π6，π3，且α與β的終邊關于原點對稱，求cos β的最大值.

思路分析：首先得出β=α+π+2kπ，k∈Z，結合三角函數單調性即可求解最值.

解析：由題意β=α+π+2kπ，k∈Z，從而cos β=cos（α+π+2kπ）=-cos α.因為α∈π6，π3，所以cos α在π6，π3上單調遞減，cos α的取值范圍是12，32，則cos β的取值范圍是－32，－12，當且僅當α=π3，β=4π3+2kπ，k∈Z時，cos β取得最大值，且最大值為－12.

通過單調性分析法，可以在特定區間內精確找到函數的最大值和最小值.

4 運用參數變換法

參數變換法在解決三角函數最值問題中，通過引入新參數，將復雜的三角函數問題轉化為更易處理的形式.該方法的核心在于選取合適的參數進行變換，使原函數的形式簡化，便于進一步分析或求解.

例4" （2022高三專題練習）求函數f（x）=cos x+sin x+2sin xcos x+2的最大值.

思路分析：本題可用換元法，令t=cos x+sin x，用含有t的代數式表示2sin xcos x，把原函數轉化為二次函數再求最值.

解析：令t=cos x+sin x，則由輔助角公式可得t=2sinx+π4，所以t∈［－2，2］.又t2=（cos x+sin x）2=1+2sin xcos x，則2sin xcos x=t2-1.原函數可化為g（t）=t2+t+1，t∈［-2，2］.對于二次函數g（t）=t2+t+1，其對稱軸為t=－12，在－2，－12上單調遞減，在－12，2上單調遞增.所以當t=－12時，函數g（t）取得最小值34.又當t=－2時，g（t）=3-2，當t=2時，g（t）=3+2，故函數的最大值為3+2，也即f（x）的最大值.

通過參數變換法，將原函數轉化為二次函數，利用二次函數的性質，迅速求得其最值.這種方法有效降低了問題的復雜度，提升了解題效率和準確性.

5 巧用三角函數求最值

利用三角函數能夠將復雜的幾何圖形關系、平面向量、解析幾何中的曲線問題等轉化為更易于分析和求解的形式.它不僅為我們提供了一種有效的解題思路，還能幫助我們更深入地理解數學中不同概念之間的聯系.

例5" （2023＼5全國乙卷＼5理12）已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點A，直線PB與⊙O交于B，C兩點，D為BC的中點，若|PO|=2，求PA·PD的最大值.

思路分析：首先作出示意圖，然后將數量積的最值問題轉化為三角函數的最值問題，利用二倍角公式化簡，再使用輔助角公式求最值.

圖2

解析：如圖2，設∠DPO=α，由題意可知α∈0，π4，|PO|=2，|OA|=1，∠OPA=π4，|PD|=|PO|cos α=2cos α，∠APD=π4+α，所以PA·PD=|PA|·|PD|cosπ4+α=2cos αcosπ4+α=2cos α22cos α－22sin α=cos2α－cos αsin α=12+12cos 2α－12sin 2α=12+22cos2α+π4≤12+22.

例5nbsp; （2023＼5全國乙卷＼5文11）已知實數x，y滿足x2+y2－4x－2y－4=0，求x－y的最大值.

思路分析：先把圓的一般方程化簡成標準方程，然后用三角換元求x－y，再使用輔助角公式求最值.

解析：由x2+y2－4x－2y－4=0，得（x－2）2+（y－1）2=9.令x=3cos α+2，y=3sin α+1，其中α∈［0，2π］，則x－y=3cos α－3sin α+1=32cosα+π4+1.由α∈［0，2π］，可得α+π4∈π4，9π4，則α+π4=2π，即α=7π4時，x－y取得最大值32+1.

巧用三角函數進行換元這種方法不僅體現了數學知識之間的緊密聯系，也展現了數學思維的靈活性和巧妙性，幫助我們在解決數學難題時能夠另辟蹊徑，達到事半功倍的效果.

綜上所述，三角函數最值問題的解法多種多樣，每種方法都有其獨特的優勢和適用場景.基于函數圖象的解法直觀明了，通過觀察圖象特征可輕松判斷最值；借助輔助角公式能將復雜式子化簡，便于求解；單調性分析法利用三角函數的單調區間，可精確找到最值；參數變換法通過巧妙引入新參數簡化問題；巧用三角函數能夠將其他數學問題轉化為易于分析的形式.這些方法展示了三角函數知識在數學解題中的強大作用，也體現了數學思維的靈活性和邏輯性，熟練掌握這些方法對于解決數學問題具有重要意義.