數學文化視角下基于“大概念”的勾股定理教學

[摘" 要] 數學文化是傳播與傳承人類數學思想的重要方式，屬于現代文明的表現，亦是鏈接社會與自然的重要工具. “大概念”體現的是數學核心思想. 將“數學文化”與“大概念”深度融合，可碰撞出怎樣的火花呢？文章以“勾股定理”的教學為例，分別從“史料引入，揭露主題”“多元證明，發散思維”“情境展示，自主探索”三個環節展開研究，并從勾股定理的探索意義、數學文化的滲透價值及勾股定理的研究前景等方面談一些思考.

[關鍵詞] 數學文化;大概念;勾股定理

作者簡介：武培培（1985—），碩士研究生，中學一級教師，從事初中數學教學與研究工作.

勾股定理的形成過程，體現了人類偉大的創造力. 如何從數學文化的視角基于“大概念”的維度來設計勾股定理的課堂教學呢？實踐表明，在以核心素養為導向的當下，在“以生為本”理念的驅動下，通過師生、生生積極的互動與交流，并借助現代化的信息技術手段展開探索，可取得不錯的教學成效. 學生在充滿文化底蘊的課堂中能夠切身感受到勾股定理的璀璨歷史.

核心概念界定

1. 大概念

國內外給予了“大概念”不同的說法，我國學者張丹提出：大概念是指數學學科中處于核心地位的思維方式或思想方法概括而來的一種核心觀念. 查爾斯（Charles R.I.）認為大概念是關于數學學習的觀念陳述，即將數學學科視為連貫的整體，此為數學的核心. 結合當下的各類研究文獻，可確定大概念是數學學科中重要的思維方式或思想方法的概括，可從內容與過程兩個維度去細分大概念，其中“內容大概念”涵蓋了與數學核心思想有關的知識原理及其下位概念;“過程大概念”涵蓋了學生在建構核心思想過程中，因親歷知識形成過程而獲取的能力，這些能力是核心素養的集中體現.

2. 數學文化

人類社會經歷了數年的積淀形成了文化，其中數學文化屬于人類文化的重要組成部分之一. 從狹義的視角來看，數學文化是指和數學相關的精神、觀點、符號、語言、思想等;從廣義的視角來看，數學文化不僅涵蓋了與數學相關的知識發展歷程、科學故事、數學美等，還與人文科學有著高度關聯. 正如鄭毓信教授所言：數學文化是數學共同體特有的態度、觀念與行為，既屬于數學傳統文化的統稱，又是數學家行為的表達[1]. 簡而言之，數學文化就是“數學”與“人文”的組合，其中數學思想方法是數學文化的重要體現.

教學過程設計

1. 史料引入，揭露主題

課堂伊始，教師用多媒體展示這樣一段話：與“陳子測日、商高量地、方磚地板”相關的一個數學知識是什么？

生：勾股定理.

師：不錯，勾股定理被譽為千古第一定理，本節課我們將基于數學文化的視域，從“大概念”的維度與大家一起探索勾股定理. 課前大家已經做過預習，現在請一位同學說說什么是勾股定理？

生1：勾股定理就是直角三角形中的斜邊平方等于兩條直角邊平方的和.

生2：用數學符號表達，記三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，則有a2+b2=c2.

師：非常好！看來大家都認真預習了，古代人們將直角三角形的斜邊定義為“弦”，短直角邊為“勾”，長直角邊為“股”. 根據勾股定理，該怎么形容“勾、股、弦”之間的關系？

生3：勾2+股2=弦2.

師：現在請大家一起來看勾股定理的發展歷程. （多媒體播放）

設計意圖" 在大眾的認知中，總覺得勾股定理由畢達哥拉斯發現，因為勾股定理又被稱為畢達哥拉斯定理. 事實上，從勾股定理的歷史發展進程來看，我國的商高至少比畢達哥拉斯學派早了五六個世紀發現特殊情況下的勾股定理;陳子發現普遍性的勾股定理也要比畢達哥拉斯學派早了兩百年左右[2]. 顯而易見，我國才是歷史上最早發現勾股定理的國家. 以數學史料作為課堂導入的起點，不僅成功激發了學生對勾股定理的探索興趣，滲透了數學文化，還有效激發了學生的民族自豪感，為“大概念”教學奠定基礎.

2. 多元證明，發散思維

師：據統計，世界上關于勾股定理的證明方法高達四百多種，現在請大家結合課前預習情況，說說你們所知道的證明方法.

生4：公元3世紀，我國數學家趙爽所提出的證明方法，至今都令人驚嘆，他的證法可用一張簡單的圖來詮釋（見圖1）. 這張圖被譽為一篇無字論文，圖形構思巧妙，通過圖示就能看到簡潔、嚴謹的推理過程，即正方形ABCD被分割成1個黃實與4個朱實，列式為4·ab+（b-a）2=c2，計算可得a2+b2=c2.

[圖1][B][D][C][A][E][b][a][a][b-a][朱實][朱實][朱實][朱實][黃實]

師：太棒了！表述得非常完整. 現在請大家來看趙爽在“勾股圓方圖”中所記載的原文（多媒體展示），請大家讀一讀，感受其創意. 有沒有同學知道，這張圖在近代數學家大會上還應用到了？

生5：如圖2，2002年在中國舉辦的數學家大會上，就以這張圖為背景設計了會徽.

師：趙爽通過截取、切割、拼接等方法證實了代數之間所存在的恒等關系，這種將抽象的數用直觀圖形展示的過程，充分體現了數形結合思想的彌久留香，此為科學創新的表現. 還有其他比較經典的證明方法嗎？

生6：古希臘數學家歐幾里得（Euclid）所提出的證法具有代表意義，具體過程如下，如圖3，分別以Rt△ABC的三條邊為正方形的三條邊，向三角形外側分別作三個正方形，并將CD，BF連接起來.

因為CA=FA，AB=AD，∠FAB=∠CAD，所以△ABF≌△ADC. 再作CL與AD平行，并與AB邊相交于點M. 因為S△ABF =AF·AC=SHFAC，S=AD·LD=S，所以SHFAC=SDLMA. 與之類似，易證得S=S. 所以SADEB=SHFAC+SKGCB，AB2=BC 2+AC 2，也即c2=a2+b2.

師：歐幾里得在《幾何原本》中記錄了這種方法，該方法廣為流傳，法國的“驢橋問題”，希臘的“已婚婦女定理”，阿拉伯的“新娘的座椅”，歐洲的“大風車”均為該方法的延伸. 有興趣的同學，課后可以查閱資料，看看兩千多年來的世界不同文字對這一證法的闡釋，以從不同的視角發現該證明過程的趣味.

為了進一步深化學生對勾股定理的認識，教師借助多媒體展示中外其他各種經典證明方法，如我國的劉徽、梅文鼎、項名達等人，意大利的Leonardo da Vinci，日本的關孝和，英國的T.Simpson等，他們都用了不同的方法求證了勾股定理.

設計意圖" 想要真正滲透數學文化，就要充分調動學生的學習興趣. 此環節，教師并沒有做過多引導，而是在學生自主預習的基礎上，鼓勵學生說說勾股定理的證明方法. 學生從最經典的趙爽弦圖與歐幾里得證法出發，進一步感知了勾股定理的歷史之悠久，以及勾股定理對現代數學的影響，這對學生發展嚴謹的邏輯推理能力等具有重要意義. 同時，“大概念”下的勾股定理教學，應將數形結合思想作為教學的核心，因此教師借助多媒體展示了中外不同學者求證勾股定理的簡圖與方法，進一步提升了學生對數形結合思想的認識.

3. 情境展示，自主探索

師：以上不同學者、專家所應用的證明方法均與“等面積原理”相關，通過構圖與變圖實現了求證. 現在請大家思考一下，如果在不構造其他圖形的基礎上，直接用直角三角形可否證明勾股定理？

隨著此問的提出，學生積極開動腦筋，通過合作交流，分別提出從內切圓半徑、銳角三角函數、射影定理等角度進行求證.

證明方法1：通過內切圓半徑定理進行求證.

如圖4，在Rt△ABC的內部作一個半徑為r的內切圓，那么三角形的斜邊c=（a-r）+（b-r），易求得r=. 因為S=ab=r·=·，所以2ab=（a+b）2-c2=a2+2ab+b2-c2，也就是a2+b2=c2.

證明方法2：根據比例中項求證.

如圖5，過Rt△ABC的頂點C，作AB邊的高CH，由此獲得兩個相似的直角三角形，即△ABC分別與△CBH，△ACH相似. 設AH=e，BH=f，根據相似三角形的性質，易得=與=，結合比例中項定理，發現a2=cf以及b2=ce，將兩個式子相加，有a2+b2=c（f+e）=c2.

證明方法3：根據投影關系求證.

根據投影關系，有a=ccosB，b=ccosA，c=e+f=c（cos2A+cos2B），據此推導出cos2A+cos2B=1，那么a2+b2=c2（cos2A+cos2B）=c2. 值得注意的是，此處的cos2A+cos2B=1并非由勾股定理推導而來，此為第二種證明方法的變化.

設計意圖" 前兩個教學環節的數學文化的滲透，成功激活了學生的思維，讓學生對勾股定理的證明產生了濃厚的探索興趣. 此環節，教師鼓勵學生在不額外建構圖形的基礎上，從直角三角形本身去研究勾股定理的證明過程，成功啟迪了學生的思維，讓學生積極主動地討論與分析，形成了三種求證方法. 如此設計，不僅凸顯了“大概念”教學的趣味性，還發散了學生的思維，為核心素養的形成夯實了基礎.

思考與感悟

1. 勾股定理的探索意義

勾股定理作為世界第一大定理，對數學史的發展具有重要的推動作用. 教師若在課堂中純粹地與學生討論勾股定理，而不帶領學生深入其發展歷程，不僅無法滲透數學文化，也無法促使學生提煉出核心思想方法，最終難以達到“大概念”教學的意義. 為了讓學生感知勾股定理獨特的美，教師還可在展示其歷史資料時添加與勾股定理相關的郵票，提升學生的視覺效果，也可以借助幾何畫板展示精美的“勾股樹”，促使學生從迭代變化中感知千姿百態的勾股樹所帶來的視覺盛宴（見圖6），發展數學審美能力.

2. 數學文化的滲透價值

美國學者Bidwell認為：在數學教學過程中有機地滲透數學史，可成功救出孤島上的學生，讓學生到充滿生機的陸地上感受數學的趣味. 數學文化反映的是人類文明的進步，蘊含了數學家們的心血. 在課堂中滲透數學文化，能讓課堂充滿生機，為“立德樹人”創造條件，為學生形成良好的數學創造力奠定基礎. 實踐表明，“文化之魅”可體現在數學史的研究上. 教師在課堂上應用豐富的素材，為學生的思維提供豐富的養分，學生的思維之樹因數學史的不斷滲透而保持常青. 教師在每一個教學環節都有機地滲透了與勾股定理相關的數學史料，其中有很多史料由學生自主提出并分析，這有效激發了學生探索勾股定理的興趣，為發展學生的數學核心素養創造了條件.

3. 勾股定理的研究前景

有學者認為，太陽系之外或許存在智慧的生命，想要探尋外星文明就要具備與外星人溝通的技能，或許“勾股定理”就是不同星球共同的語言. 正如華羅庚所言，想要讓兩個星球實現信息交流，最好的辦法是用表示“數”的洛書將勾股定理圖送給對方. 理由是該定理反映了最基本的數形關系，凡具備智慧的生物，必然能理解其所蘊含的意義. 因此，勾股定理體現了重要的數形關系，值得繼續深入探索與研究，也許它能為我們打開通往宇宙的大門.

總之，帶領學生切身感知勾股定理的形成與發展過程，體會其漫長且曲折的發展史，可讓學生進一步體會人類的偉大，并對嚴謹的證明過程形成深刻理解，為發展邏輯推理能力夯實基礎. 因此，數學文化視角下基于“大概念”的教學，是值得廣大教育工作者深究的話題.

參考文獻：

[1]孫翀. 再探初中數學勾股定理[J]. 理科考試研究，2014，21（12）：10.

[2]卞新榮. 多元文化下的勾股定理——數學文化研究性學習教學案例[J]. 數學通報，2011，50（12）：9-14.