創新視角下研究型教學實踐探究

摘" 要：在快速發展的新時代背景下，創新思維和創新能力成為當代青年大學生必備的基本素質之一。大學數學作為通識基礎課程，亟需改革當前教學模式，激發學生的主觀能動性，訓練創新思維。該文主要通過深挖教材中基本概念和課程背景所蘊含的內在創新思想、實施多角度多方位的結論追問式研究型教學、訓練不同方法不同思路的一題多解多變的發散性思維和基于開放性問題培養創新思維等途徑，在大學數學教學過程中實施創新思維訓練，有效培養學生的創新意識，提升他們的創新能力。

關鍵詞：創新;大學數學;研究型教學;發散思維;教學改革

中圖分類號：G642" " " 文獻標志碼：A" " " " " 文章編號：2096-000X（2025）05-0072-04

Abstract： Under the background of the new era of rapid development， innovative thinking and innovative ability have become one of the necessary basic qualities of contemporary young college students. As one of the basic courses， College Mathematics are urgently needed to reform the current teaching mode， stimulate students' subjective initiative and train innovative thinking. This paper mainly deep into the internal innovative ideas contained in the basic concepts and curriculum background in the teaching materials， implement multi angle and multi-directional conclusion inquiry research-based teaching， and train the divergent thinking of multiple solutions to one problem with different methods and ideas， and cultivate innovative thinking based on open questions. Through these ways， the innovative thinking training is carried out in the process of College Mathematics teaching in order to cultivate students' innovative consciousness and improve their innovative ability.

Keywords： innovation; College Mathematics; research-based teaching; divergent thinking; teaching reform

創新是一個民族發展進步的靈魂，是國家興旺發達的動力。黨的二十大報告明確提出科技是第一生產力、人才是第一資源、創新是第一動力，加強基礎研究，突出原創，激勵自由探索，加快實施創新驅動發展戰略。國家“十四五”規劃中也要求加強創新人才培養力度，加強創新創業教育，培養創新創業精神和能力。當代青年大學生的創新能力提升是國家創新能力提升的重要組成部分，高校作為國家培養高素質人才的搖籃，通過設計創新教育課程和“雙創”項目，開展科研項目和社會實踐，引導學生主動思考和提出問題、分析問題，培養解決問題的能力，培養學生的創新意識和創新思維[1-3]。

二十世紀以來，隨著科學技術的發展和社會管理的進步，數學應用化的趨勢越來越明顯。傳統的數學教學模式偏重于理論知識的傳授，缺乏與實際應用的結合，亟需進行教學改革，將數學知識與實際應用相結合，使學生能夠應對復雜的現實問題[4-7]。數學最能激起人們的自由創造本能，數學原理、數學方法是一切創造發明的基礎，數學思維是科學創新的思維方法。大學數學基礎課程，是財經類院校各專業培養過程中非常重要的系列公共基礎課，對學生理性思維、創新能力與綜合素養的培養起著十分重要的作用，是保障高校人才培養質量的重要環節。如何充分發揮大學數學在創新型人才培養中的作用，培養提升大學生的創新能力，一直是廣大高校數學教育工作者持續研究關注的熱點課題[8-14]。在日常教學中實施研究型教學方式培養創新思維，通過引導提問、課堂互動、項目學習等方式激發他們的創造力和自主學習能力，有助于學生的綜合素質提升和未來發展，提升他們日后在各個領域的競爭力和適應能力。

一" 概念悟深悟透徹

在大學數學課程教材中，每一門課程的背后都蘊含著創新思維，每一個基本概念都是創新思維的成功碩果。大學數學的教與學本身就是一種創新活動的再現。每一部分內容的教與學，學生都要面對新問題，探索、發現、創新的過程就是解決問題的過程。其中所用到的無論是思維方式還是研究手段本身都是一個創新的過程。大學數學講授的每一個概念，都蘊含著豐富的創新思維和創新理念，不僅能夠拓寬我們對事物和現象的認知，還能夠優化我們思考問題的方式和解決問題的策略。在引入新的概念時，可以提出與常規思維不同的問題，鼓勵學生思考問題時不拘泥于傳統的思維模式，尋找解決途徑。也可以設計一些讓學生自主思考和探索的問題，鼓勵他們運用已學概念進行推理、建模和解決問題。這些問題可以涉及實際應用、跨學科領域或前沿研究，激發學生提出新的觀點和方法。還可以引導學生探究概念的來龍去脈，理解概念的產生和發展背后的思維過程，思考其局限性和可能的改進方向，從而培養學生對既有概念的創新思維。將數學概念與實際問題相結合，讓學生思考如何將數學方法應用到實際情境中解決問題。總之，通過深入挖掘概念的原創性和概念的應用性，激發學生的主觀能動性，培養創新思維和創新能力，引導學生開辟出新的研究方向、探索新的應用領域，并為社會創造更多的價值和益處。

在講授高等數學時，可引導學生了解高等數學的背景知識及其實際應用，如英國科學家牛頓的代表作《自然哲學的數學原理》，書中運用了大量的微積分知識并提出了著名的萬有引力定律。講授概率論與數理統計時，可介紹1997年兩位諾貝爾經濟學獎獲得者——羅伯特·默頓和邁倫·斯克爾斯，他們利用統計學知識，創立和發展了經典的B-S期權定價模型。在講授微積分中微分的概念時，教師可以提出這樣的問題：“地球表面是一個近似球面，可為什么我們平常看到的卻是平面呢？”這里蘊含著分割、近似和極限的思想，既幫助學生理解抽象數學概念，也開啟了學生的創新意識。同時，在教學過程中，將理論知識與實際問題相結合，通過實際案例、模擬實驗或者真實數據的分析，讓學生親身參與到數學問題的解決中，培養他們的實踐創新能力。在概念的理解、運用上，做到數學與其他學科的交叉融合，例如將數學與計算機科學、物理學、經濟學等結合起來，讓學生在解決跨學科問題中發揮數學的作用，培養綜合學科素養，夯實創新基礎。

二" 結論多問多思考

問題是創新的起點，也是創新的動力源。在課堂教學時，引導學生批判性學習教材課本上的定理結論，激發學生的興趣，鼓勵學生多問幾個為什么，讓學生能從中感悟創新思維，培養創新能力。通過多問問題，促使學生深入思考，并獲得更全面的信息和不同的觀點，有助于形成較為全面準確的理解，并在得出結論時會考慮到各種因素。多思考意味著我們不僅僅接受表面上的事實和信息，還要思考其背后的原因、影響和可能的結果。這種深入思考可以幫助我們發現問題的本質，理解事物的內在邏輯，并從中得出有價值的結論，可以避免片面和膚淺的結論，提高問題解決的質量和創造性，有助于培養批判性思維、創新思維和問題解決能力，使我們能夠更好地應對復雜的挑戰。因此，多問多思考是培養深度思考和分析能力的關鍵，它能夠幫助我們更好地理解問題和現象，并提出更準確、全面的結論。

例如，考察交錯級數的萊布尼茲判別法結論：已知交錯級數（-1）un （ungt;0）滿足

①un≥un+1，②un=0，

則交錯級數（-1）un收斂。

這個結論的逆否命題是什么？否命題和逆命題是什么？它們是否成立？拋出這些問題，充分發揮學生的課堂主體地位，調動學生的能動性，參與課堂教學。教師鼓勵學生發散思維，提出異議，哪怕走入“誤區”，相互提問，一起研究思考，證明正確的結論，對于不正確的結論找出相應的反例。比如：在考慮否命題時，就要鼓勵學生找到兩個否命題。

否命題1：已知交錯級數（-1）un （ungt;0）滿足：

①un不滿足單調遞減，②un=0，

則交錯級數（-1）un發散。

否命題2：已知交錯級數（-1）un （ungt;0）滿足

①un≥un+1，②un不存在或存在但un≠0，

則交錯級數（-1）un發散。

在教學過程中，通過課堂討論、猜測、論證，然后得出否命題1結論是錯誤的，舉出反例，如：考察交錯級數（-1）un，其中

un=

，n=2k-1

，n=2k。

顯然un不滿足單調遞減，運用數列極限的性質驗證滿足條件un=0，同時可以利用級數斂散性判別其一定絕對收斂，從而說明否命題1的不正確。此處鼓勵學生發揮各自的發散性思維，圍繞un不滿足單調遞減條件舉出不同例子來驗證否命題1的真偽性。

對于否命題2，引導學生回歸級數的基本定義和性質，溫故而知新，用反證法，可證結論的正確性，在掌握級數收斂的定義和性質基礎上加強對解決具體問題能力的培養。對于同一個命題的否命題的正確與否判別，此例給出了很好的詮釋，不僅加深了對原來交錯級數的萊布尼茲判別法的理解，還培養了學生的批判性思維和創新思維。

三" 題目多解多推廣

在數學課程的研究型教學過程中，體現比較明顯的就是一題多解或者推廣應用，促使學生從不同角度、不同層次分析問題，在鞏固原來知識的基礎上整合解決問題的思路和策略，訓練拓寬思維空間。在遇到一些比較典型例題的時候，充分發揮一題多解，將知識體系進行關聯、比較，升華知識體系的認知和重構，培養創新思維，鍛煉創新能力。

例如，證明不等式：≥，a，b，c∈R。

證法1（分析法）：

≥?（a+b+c）3≥27abc

?（a+b+c）（a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc）≥27abc，

因為a2+b2+c2≥ab+ac+bc，所以有

上式成立?（a+b+c）（3ab+3ac+3bc）≥27abc

?（a+b+c）（ab+ac+bc）≥9abc

?a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b≥6abc

?a2b+c2b-2abc+a2c+b2c-2abc+b2a+c2a

?b（a-c）2+c（a-b）2+a（b-c）2≥0-2abc≥0，

因為a，b，c∈R，所以得證不等式成立。

不等式證明中，分析法比較常用。分析法可以幫助我們對不等式進行邏輯分析，找到不等式的關鍵點和特征，為證明提供線索和思路， 通過分析不等式中的元素和關系，可以選用適當的數學方法和工具，靈活運用各種運算規則、特殊技巧和變形方法，推導出結論的等價形式。一般用分析法得到證明思路，再用綜合法進行證明。顯然，這種初等證明方法容易理解掌握，但計算展開很復雜，不妨發散思維，運用函數構造法，利用函數的凹凸性來證明。

證法2（函數構造法）：構造函數f（x）=lnx，可以證明對數函數在其定義域內是凸函數，根據凸函數性質，對任意a，b，c∈R有

f（）≥，

也即ln≥。

利用對數性質化簡，即可證得不等式

≥，a，b，c∈R成立。

證明完畢，可以進一步引導學生回顧復習凸函數的性質，運用發散性思維進行，將上述結論推廣到有限個正數情形，從而更深刻領悟本次教學的知識目標，提高解決具體問題的能力，提升學生的創新意識和創新思維。

推廣1：對任意ai∈R，i=1，2，…，n ，有

這就是著名的詹森（Jensen）不等式，高中常見不等式的推廣，引導學生回顧高中時期的證明方法，將創新的思維扎根“基層”。

推廣2：令ai=∈R，則由推廣1，調和平均、幾何平均和算術平均三者之間的連不等式關系

在此基礎上，可以再次引導學生考慮加權平均，得到下列更一般的結論。

推廣3：對任意正數λi，ai，i=1，…，n，且λi=1，有

f

λi ai≥λi f（ai），化簡整理即得

式中：" " " " " " " " " " " 。同樣也有

此推廣結果，相對最初的不等式，有了更高層次的內涵。整個引導、分析的研究型教學過程也極大訓練了學生的創新思維。

四" 開放問題多考察

開放性問題是創新的起點，也是創新的動力源。開放性問題沒有明確答案或者可以有多種答案，與閉合性問題相比，開放性問題更加靈活，更具創造性。這種問題通常要求人們進行深入思考、調查研究、搜集信息和嘗試不同的方法才能得出答案。開放性問題有助于培養人們的批判性思維、創造力和解決問題的能力。采取不同方式進行開放性問題的設計與考察，有助于打破傳統的思維模式和定式觀念，幫助學生更好地理解知識，應對復雜的挑戰和問題，激發創造力和創新能力，激勵學生在相互學習、相互競技中勇于嘗試新的想法、方法和途徑，提升創新水平。

在設計章節測驗或者作業的時候，設計開放性問題。簡單的有章節思維導圖，針對所學知識點進行對比，比如總結歸納一元函數的微分學和二元函數的微分學，對比高中平面解析幾何和大學空間解析幾何之間的差異。深入的有要求學生自主選擇一個數學問題或現象進行探究和研究，需要提出假設、設計實驗或調查方法，并通過數據和分析來回答問題或得出結論。我們也可以進行數學建模訓練，將實際問題抽象為數學模型，并利用數學方法對其進行分析和求解，要求學生將數學原理和概念與實際應用相結合，并且能夠運用數學工具解決實際問題。我們還可以進行科研項目探究，選擇一個數學領域或專題進行深入研究，要求學生調查相關文獻、分析數據、提出新的觀點或解決新問題，并撰寫研究報告，將研究成果進行系統的呈現。

數學類開放性問題主要體現在實際問題的項目研究，考核主要采取過程性考核，以學生解決特定問題的方案的優劣作為主要考核點，給學生的反饋也主要聚焦于學生的解決方案還可以如何進一步改進。一般的教學內容考核評價，主要是考察學生的計算、推理、記憶和應用能力，無法反映學生創新研究能力的進步。研究型教學過程中設置開放性問題，一般按照分組方式以項目形式布置，通過從實際問題出發、資料搜集整合、小組分析研討，形成問題方案，培養訓練學生自主學習、協同合作的能力和批判創新的思維。教師也要做好問題設計流程引導，引導學生從實際問題中抽象歸納學習，引導學生在特定問題下搜索和整合相關知識和信息的活動，對學生的學習及成果及時提供過程性反饋，為學生創設小組合作空間并做合作學習引導。

五" 結束語

創新思維不可能一蹴而就，而是需要一個循環漸進、不斷實踐訓練養成的過程。以學生為主體、老師為主導的研究型教學，主要是以問題為導向，增強學生學習數學興趣，調動學生學習數學的積極性和主動性，將顯性的課堂教學和隱性的創新能力結合起來，引導學生進行創新思維訓練，培養他們的創新意識和創新能力，成為新時代拔尖創新人才。

如何優化大學數學教學內容與創新思維訓練之間的銜接，擺脫大學數學教學過程中創新思維訓練的時間和空間束縛？這些都是我們正在努力的方向之一，準備以大學數學過程性評價為抓手，及時給予學生反饋，注重對學生的思維過程和解決問題的方法進行評估，引導他們不斷完善和改進，培養自主學習和反思能力，充分發揮智慧教育平臺的優勢，利用計算機軟件、數據分析工具等現代技術手段輔助教學，深化研究型教學改革實踐。

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基金項目：江蘇省高校智慧教育與教學數字化轉型研究專項課題“新常態下基于超星泛雅平臺的大學數學智慧教學模式探究”（2022ZHSZ57）;南京審計大學教改重點課題“國際化新商科高階能力培養視角下高等數學教學改革研究與實踐”（2020JG160）;南京審計大學國際聯合審計學院課程建設“《高等數學》”（2020GJKC04）

第一作者簡介：余宏旺（1977-），男，漢族，安徽桐城人，博士，副教授。研究方向為非線性系統控制。