化隱為明：數學解題中隱含條件的發掘

摘要：解題教學是初中數學教學的重要部分，有利于提升學生解題能力，鞏固數學知識，實現學生數學核心素養的培養.在解題過程中，遇到隱藏條件的題目，如果學生無法發掘隱藏條件，就難以有效解答問題.因此，在數學解題教學中，教師需要讓學生發掘題目中的隱含條件，拓展學生數學思維，尋找問題解答方法.本文中對數學解題中隱含條件的發掘進行探究.

關鍵詞：初中數學解題;隱含條件;有效策略

在初中數學中，課程知識內容不僅在數量上發生了很大變化，同時在難度的層面也有很大的變化，不僅僅需要學生掌握數學知識，同時需要學生具有較強的思維能力以及抽象能力.在初中數學解題中，學生很容易忽視題目隱含條件的發掘.因此，在教學中，教師要充分利用典型數學題目，引導學生發掘其中的隱含條件，有效解決數學問題，鍛煉學生解題能力，促進學生全面發展.

1 利用數學概念，發掘隱含條件

初中數學課堂教學中，數學概念是重要的知識內容，是學生綜合素養培養的基礎，有利于學生解題能力的培養.在數學概念中，會涉及到一些限制性或者界定性質的條件，為概念的應用奠定基礎.根據數學概念相應的條件和要求，在一些數學問題的解答中，特定的條件與要求是不可忽視的解題條件.如根式、平方等概念，在數學問題的解答中，結合題目中相關信息，有效發掘隱含條件，幫助學生有效解題[1].

例1 已知|x+2|與（y－1）2互為相反數，求（x+y）2 022的值.

分析：此題主要考查學生對代數知識的理解，題目中的條件比較簡單，為了有效解答問題，需要分析題目中涉及到的數學概念，即絕對值、相反數以及平方式.根據題目中的條件“|x+2|與（y－1）2互為相反數”，同時對代數形式進行分析，可以得出，兩個代數式均是非負數.結合對數學概念的理解分析進行推算，發掘題目中的隱含條件，即“兩個數是非負數且互為相反數”，唯一的情況就是二者為零，即|x+2|=0且（y－1）2=0，求解得出x=－2，y=1.通過隱含條件的發掘，將x，y代入（x+y）2 022中，快速解答題目，即（x+y）2 022=（－2+1）2 022=1.

例2 關于x的方程x2+（k－2）x+（k2+3k+5）=0存在兩個實數根x1，x2，求x21+x22的最大值.

分析：此題主要考查學生對一元二次方程的理解以及解題方法的掌握.為了幫助學生尋找解題思路，需引導學生找出題目中的隱含條件，厘清已知與隱含條件的聯系，結合韋達定理，有效解答問題.由x21+x22=（x1+x2）2－2x1x2=（2－k）2－2（k2+3k+5），得x21+x22=-（k+5）2+19，

在此式的基礎上，學生利用一元二次函數與方程的知識，解答問題，得出的結果是不正確的.通過對題目的進一步分析，根據已知條件發掘出一元二次方程有兩個實數根的隱含條件即Δ≥0，之后通過簡化推算，得出參數k的取值范圍為-4≤k≤-43，再結合x21+x22的表達式，得到當k=-4時，x21+x22取最大值18.完成題目的解答.

2 有效分析代數公式，發掘隱含條件

數學學科圍繞“數”開展教學，如代數、有理數以及無理數等，代數知識是中學階段的重要內容，也是數學考試中的熱點內容，學生在學習代數知識環節有一定的難度.在數學問題中，有關代數的題目類型比較多，有些問題需要學生發掘和分析其中的隱含條件.因此，在日常的練習中，對于代數公式應用的問題，需要訓練學生發掘和利用其中的隱含條件，有效解答數學問題[2].

例3 已知（a2+b2）2－3（a2+b2）－10=0，其中a，b為實數，試求a2+b2的值.

分析：本題考查一元二次方程的解法，以及化歸轉化思想.根據題目中的題干內容，可以發現題干信息比較簡單，通過字母和符號呈現題意.在解題過程中，若忽略隱含條件，則會造成解題錯誤.如有的學生在解題時，可能會直接利用換元法，即設a2+b2=y，根據題干可以將方程轉化為y2－3y－10=0，通過因式分解可以得出y=5，或y=－2，但是，這樣的解題過程是不完善的，結果也不準確.因為根據實數性質可知，a2+b2是非負數.根據這個隱含條件，排除a2+b2=-2，得出a2+b2=5.

3 有效分析圖形元素，發掘隱含條件

數與形是數學知識構成的重要形式，在數學知識中，不僅是“數”的問題中有隱含條件，在“形”的問題中同樣也有隱含條件.在一些圖形元素的問題中，題目中的已知條件可能不是解題的關鍵條件，而在圖形中蘊藏著解題的關鍵點.因此，在解題教學中，教師需要指導學生發掘并利用圖形元素中的隱含條件，尋找條件與問題的關系，有效解決數學問題.

例4 如圖1，四邊形ABCD是正方形，內部包含四個全等的直角三角形以及正方形EFGH，且AH=12，EF=4，求解AB的值.

分析：此題是平面幾何中較為簡單的題目.在解題中，需要學生根據圖形元素進行分析，找出相應的隱含條件，即AH=BG=12，EF=HG=4.根據這些隱含條件，學生才能快速解決問題.對于本題目，可利用三角形全等知識，得出AH=BG=12，利用正方形性質，可得出EF=HG=4，HB=16.在直角三角形AHB中，利用勾股定理求解AB的值，即AB=AH2+BH2=122+162=20.

對于平面幾何問題，需要有效利用數形結合思想，將數與形進行轉化，結合隱含條件的發掘與利用，簡化問題解答過程，有效解決圖形類問題.

4 結合關鍵詞句分析，發掘隱含條件

在初中數學解題中，需要學生認真審題，找出題干中的關鍵詞句，通過關鍵詞的分析，發掘題目中的隱含條件，從而順利解答問題.如語義沖突內容等，是學生需要把握的重要內容，以提高學生解題能力[3].

例5 已知函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點（-1，7），與x軸相交后，得到的線段長度為3，且其對稱軸是直線x=1，求二次函數的解析式.

分析：通過對題目的分析，可以找出其中的已知條件，即“截取x軸上長度為3的線段”“對稱軸是直線x=1”.根據二次函數的性質，有效利用已知條件對題目進行分析，得出函數圖象與x軸的交點坐標是-12，0，52，0.利用此隱含條件，可設二次函數解析式y=ax－52x+12，將點（-1，7）代入函數解析式，可以得出a=4.

所以y=4x-52x+12，即y=4x2-8x-5，順利得出函數解析式.

5 結合結構特點，發掘隱含條件

在初中數學解題中，發現不少數學問題的已知條件是通過一定的關系呈現的，這些關系具有其自身的結構特點，通常在結構特征中隱含一些條件.在解題中，需要分析結構特點，找出其中的隱藏關系，以順利完成問題的解答.

例6 已知方程（x2+5x+4）2+（x2+5x+4）－8=0，則x2+5x+4=.

分析：在求解此題時，需要學生閱讀和分析題干信息，若從整體上觀察，可以看出求解部分的式子結構與條件中的部分內容一致，結構中都是一元二次形式.因此，在解題過程中，指導學生采取整體代換的方式，對問題進行簡化求解，將（x2+5x+4）看作整體t，那么題目條件可以轉化成t2+t－8=0.同時，需要結合（x2+5x+4）≥-94的隱含條件，引導學生快速簡化，完成問題解答.

初中數學解題中，隱含條件是重要的解題信息，確保數學問題解答的準確性與高效性.作為初中數學教師，應當結合典型例題，幫助學生掌握發掘隱含條件的方法，利用隱含條件解題.在具體教學中，結合數學概念、數學公式、圖形元素以及題目關鍵詞句等，發掘隱含條件，簡化解題過程，提高解題有效性.

參考文獻：

[1]王志軍.發掘隱含條件 助力數學解題——初中數學解題教學中隱含條件的應用[J].數理化解題研究，2021（32）：6-7.

[2]朱穎.探討初中數學解題教學中隱含條件的應用[J].數理化解題研究，2021（2）：7-8.

[3]楊冬花.關于初中數學解題教學中隱含條件的應用研究[J].數學大世界（下旬），2019（3）：73.