三角形中位線定理的四基復(fù)習(xí)

摘要：三角形中位線定理是初中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也是一種重要的解題工具.熟練掌握定理的內(nèi)涵、定理的表現(xiàn)形式及建構(gòu)模型的基本方法，定能助力數(shù)學(xué)解題，提高解題效率，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：中位線；解題工具；構(gòu)造；核心素養(yǎng)

三角形中位線定理既是一個(gè)重要解題依據(jù)，也是一個(gè)重要解題工具，既能獨(dú)立解題，也能與其他知識(shí)融合高效解題，其意義不言而喻.為全面規(guī)范把握三角形中位線定理，學(xué)好、用好定理助力數(shù)學(xué)解題，需要落實(shí)好以下四個(gè)方面.

1 基本知識(shí)

（1）三角形中位線的定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.

（2）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.

（3）三角形中位線的深層理解：

①三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相同的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.

②三條中位線把原三角形分成全等的4個(gè)小三角形，每個(gè)小三角形的周長(zhǎng)均為原三角形周長(zhǎng)的12，每個(gè)小三角形的面積均為原三角形面積的14.

③三角形的中位線與三角形的中線是兩個(gè)不同的概念，因此所具有的性質(zhì)也是不同的[1].

2 基本模型和結(jié)論

2.1 雙中點(diǎn)模型

條件：如圖1，在△ABC中，D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn).

結(jié)論：數(shù)量關(guān)系——DE=12BC或BC=2DE;位置關(guān)系——DE∥BC.

2.2 “中點(diǎn)+平行線”模型

條件：如圖1，在△ABC中，D是邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC.

結(jié)論：數(shù)量關(guān)系——DE=12BC或BC=2DE;位置關(guān)系——E是AC的中點(diǎn).

證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

∵DE∥BC，CF∥AB，

∴四邊形BDFC是平行四邊形.

∴BD=CF.

∵AD=BD，

∴AD=CF.

∵CF∥AB，

∴∠A=∠ACF，∠ADE=∠EFC.

∴△ADE≌△CFE.

∴AE=EC.

∴E是AC的中點(diǎn)，DE是△ABC的中位線.

∴DE=12BC.

3 基本應(yīng)用類型和輔助線構(gòu)造方法

（1）雙中點(diǎn)模型

在△ABC中，已知兩邊的中點(diǎn)，完全具備定理的條件，可以直接使用.

（2）過(guò)已知中點(diǎn)線段的一端點(diǎn)構(gòu)造平行線型

如圖3，在△ABC中，D是邊AB的中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE，則DE是△ABF的中位線，定理可用.

（3）過(guò)中點(diǎn)構(gòu)造平行線型

如圖4，在△ABC中，D是邊AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，則DE是△ABC的中位線，定理可用.

4 基本應(yīng)用舉例

4.1 雙中點(diǎn)型三角形中用定理解決問(wèn)題

例1 如圖5，面積為1的等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，則△DEF的面積是（" ）.

A.1

B.12

C.13

D.14

解析：根據(jù)三角形中位線定理，易證四邊形DBEF，DECF，EFAD都是平行四邊形，則

S△ADF=S△BDE=S△ECF=S△DEF=14S△ABC

，所以選D.

點(diǎn)評(píng)：利用三角形中位線定理判定三個(gè)四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵，當(dāng)然也可利用定理和相似三角形的性質(zhì)來(lái)實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo).

4.2 “中點(diǎn)+平行線”型三角形中用定理探求線段長(zhǎng)

例2 如圖6，在△ABC中，D，E為邊AB的三等分點(diǎn)，EF∥DG∥AC，H為AF與DG的交點(diǎn).若AC=6，則DH=.

解析：∵AD=ED，EF∥DH，

∴EF=2DH，AH=HF.

∵HG∥AC，

∴HG=12AC=3.

∵BE=ED，EF∥DG，

∴DG=2EF，即DH+GH=4DH.

∴DH=1.

點(diǎn)評(píng)：選擇適當(dāng)?shù)木€段中點(diǎn)，對(duì)接恰當(dāng)?shù)钠叫芯€，生成“中點(diǎn)+平行線”型定理模型，是解題的關(guān)鍵.耐心使用定理，構(gòu)造以所求線段為主元的等式是解題的根本.當(dāng)然，也可以借助三角形相似的方法實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo).

4.3 “中點(diǎn)+平行線”型三角形中用定理探求三角形面積變化規(guī)律

例3 如圖7，四邊形ABCD是矩形，延長(zhǎng)DA至點(diǎn)E，使AE=DA，連接EB，點(diǎn)F1是CD的中點(diǎn)，連接EF1，BF1，得到△EF1B；點(diǎn)F2是CF1的中點(diǎn)，連接EF2，BF2，得到△EF2B；點(diǎn)F3是CF2的中點(diǎn)，連接EF3，BF3，得到△EF3B；……；按照此規(guī)律繼續(xù)進(jìn)行下去，若矩形ABCD的面積等于2，則△EFnB面積為（用含正整數(shù)n的式子表示）.

解析：設(shè)AE=DA=y，AB=CD=4x，則4xy=2，即xy=12.

設(shè)EF1，EF2，EF3，……，EFn分別與AB交于點(diǎn)G1，G2，G3，……，Gn.

∵AE=AD，AB∥CD，

∴AG1是△EDF1的中位線，AG1=12DF1.

∵F1是CD的中點(diǎn)，DF1=12CD=2x，

∴AG1=x，G1B=AB-AG1=3x.

∴S△EBF1=S△BG1F1+S△EBG1=12BG1（AE+AD）=BG1

×y=3xy=32=2+12.

同理，AG2是△EDF2的中位線，AG2=12DF2.

∵F2是F1C的中點(diǎn)，

∴DF2=3x.

∴AG2=32x，G2B=AB-AG2=4x-32x=52x.

∴S△EBF2=S△BG2F2+S△EBG2=12BG2（AE+AD）=BG2

×y=52xy=54=22+122.

仔細(xì)觀察三角形中F的右下角碼與底數(shù)2的指數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)，底數(shù)2的指數(shù)等于F的右下角碼，所以△EFnB的面積為2n+12n.

點(diǎn)評(píng)：以矩形為問(wèn)題背景，以線段的中點(diǎn)為問(wèn)題生成的基本途徑，以圖形的面積為問(wèn)題結(jié)論，通過(guò)三角形面積大小的變化揭示中點(diǎn)變化時(shí)三角形面積變化中的規(guī)律，用熟悉的知識(shí)生成富有創(chuàng)意的問(wèn)題，值得深思，富有挑戰(zhàn).

解答時(shí)，需要從如下幾個(gè)方面探索：

（1）涉及的知識(shí)：矩形的性質(zhì)，矩形的面積，線段的中點(diǎn)，三角形中位線定理，三角形的面積公式.

（2）涉及的數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，即如何把矩形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積；探索規(guī)律變化的思想；運(yùn)動(dòng)的思想；整體思想；方程的思想.

（3）涉及的方法：圖形面積分割的方法；三角形中位線定理的用法；代數(shù)式變形表示法；等等.

5 反思

三角形中位線定理既是一個(gè)重要的獨(dú)立知識(shí)點(diǎn)，可以單獨(dú)使用直接解決問(wèn)題，也是一種重要的解題方法，與其他知識(shí)有機(jī)融合，雖不是問(wèn)題的“主角”，卻是問(wèn)題解決環(huán)節(jié)上的一顆重要“棋子”，是問(wèn)題解決的一種有效破解方法.因此，從四基入手，全面把握三角形中位線定理，其中基礎(chǔ)知識(shí)是解題的依據(jù)，基本模型是解題的圖形依據(jù)，基本方法是定理具體運(yùn)用的方法依據(jù)，基本應(yīng)用展示了定理的基本用途和使用說(shuō)明，做到夯實(shí)基礎(chǔ)，掌握構(gòu)建模型的方法，明確解題目標(biāo)，這也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)、生成的一片知識(shí)沃土、智慧源頭之一.

參考文獻(xiàn)：

[1]黃征.三角形的中位線[J].數(shù)理天地（初中版），2020（11）：7-9.